「优质」人教版最新高考数学二轮复习：三角函数专题Word版

高考数学二轮复习：三角函数的专题(附参考答案)
本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：
一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：
1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：
例1 已知θθθθ33cos sin ,3
3
cos sin -=
-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-
]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=
其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3
1cos sin 31)33(
cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39
43133]313)33[(332=⨯=⨯+=
例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。

A ．m 2=n
B ．m 2=
12+n C ．n m 2
2= D ．22m
n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：
sin θcos θ=2
1
21)cos (sin 22-=-+m θθ
而：n ctg tg ==
+θ
θθθcos sin 1
故：12
12122+=⇒=-n
m n m ，选B 。

例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

A ．21
B ．21-
C ．41
D ．4
1
-
分析：tg α+ctg α=4
1
cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα
故：2
1
2sin cos sin 22sin =⇒=αααα。

答案选A 。

例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +
分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。

由于tg α+ctg α=
⇒=2cos sin 1
α
α
2
1
cos sin =
αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可： 解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α
=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2
=1-2)21
(2⨯
=21
1-
=2
1
通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。

这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。

但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。

这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ± 二、关于“托底”方法的应用：
在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。

方法如下：
例5 已知：tg α=3，求α
αα
αcos sin 2cos 3sin +-的值。

分析：由于α
α
αcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，
即托出底：cos α；
解：由于tg α=30cos 2
≠⇒+
≠⇒απ
παk
故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+
⋅⋅
-ααα
ααααα
α
αtg tg
例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=?
分析：由于α
ααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有αα
sin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没
有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α：
解：α
αα
ααααααα2222
2
2
cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+
α2sin ,分母同除以分子 αααα
ααααα2222
1)
sin cos (1)
sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56
)3(1)3(32
2-=-+-+-= 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设20,2
0π
π
<
<<
<y x ，)6
sin()3sin(sin sin y x y x --=π
π且
求：)3)(3
3
(--
ctgy ctgx 的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于
2
0,2
0π
π
<
<<
<y x ，故0sin ,0sin ≠≠y x ，在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母y x sin sin 为底，得：
解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得：
1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--y
y
y x x y x y x π
πππππ 3
3
4
)3)(33(1
)3)(3
3(431)3)(13(4
1
1sin sin 3cos sin sin cos 341=--⇒=--⇒=--⇒=-⋅-⋅⇒
ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx y y
y x x x
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

由于αααc os s in =tg ，α
ααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通
过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。

而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos si n +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：
可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，
所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+±++=±x b a b
x b a a b a x b x a sin cos sin cos 222
222 由于1)(
)(
22
222
2=+++b a b b a a 。

故可设：2
2
sin b
a a A +=
，则A A sin 1cos -±=，即：2
2
cos b
a b A +±=
∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=± 无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，
22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a + 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：
例1（98年全国成人高考数学考试卷）
求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（AAAA ） A ．231+
B ．13-
C ．2
31- D ．13+ 分析：x x x x 2s i n 2
1
c o s s i n 221c o s s i n =⋅=，再想办法把x 2cos 变成含x c s o 2的式子：
2
1
2c o s c o s 1c o s 22c o s 22+=
⇒-=x x x x 于是：x x y 2sin 2
1
212cos 3-+⋅
= x x 2sin 21232cos 23-+=
2
3)2sin 212cos 23(
+-=x x
由于这里：1)2
1
()23(,21,232222=+=+==
b a b a 则 ∴2
3)2sin 212cos 23(
1+-⨯=x x y 设：21
cos ,23123
sin 2
2===+=
A b a a A 则 ∴2
3
2sin cos 2cos sin +
-=x A x A y 2
3)2sin(+
-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+
-≤y ≤2
31+ ∴y 的最大值为2
3
1+
，即答案选A 。

例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）
在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。

分析：首先，由于222224)3(1AB CA BC ==+=+，可知△ABC 为Rt △，其中AB 为斜边，所对角
∠C 为直角，又由于︒===
30,2
1
sin A AB BC A 故，则∠B= 90°—∠A=60°，由于本题要计算△DEF 的最短边长，故必要设正△DEF 的边长为l ，且要列出有关l 为未知数的方程，对l 进行求解。

观察△BDE ，已知：∠B=60°，DE=l ，再想办法找出另两个量，即可根据正弦定理列出等式，从而产生关于l 的方程。

在图中，由于EC=l ·cos α，则BE=BC-EC=1-l ·cos α。

而∠B+∠BDE+∠1=180°
∠α+∠DEF+∠1=180° ⇒∠BDE=∠α ∠B=60°，∠DEF=60°
∴在△BDE 中，根据正弦定理：
︒
=⋅-⇒∠=∠60sin sin cos 1sin sin l
l B DE BDE BF αα
ααααsin cos 2
3
23sin )cos 1(23⋅=⋅-⇒⋅=⋅-⇒
l l l l
ααsin cos 2
3
23+=
⇒l
在这里，要使l 有最小值，必须分母：
ααsin cos 2
3
+有最大值，观察：27
1)23(1,23,sin cos 232222=
+=+⇒==+b a b a αα ∴
)sin 7
7
2cos 721(27sin cos 23αααα+=+ 设：721sin =
A ，则7
7
2cos =A 故：
)sin cos cos (sin 2
7sin cos 23ααααA A +=+ )sin(2
7
α+=
A ∴
ααsin cos 23+的最大值为2
7。

即：l 的最小值为：721
2
723
=
而)sin(α+A 取最大值为1时，A k k A -+
=⇒+=+2
22
2π
παπ
πα
∴7
7
2cos )2
2sin(sin =
=-+
=A A k π
πα 即：772sin =
α时，△DEF 的边长最短，最短边长为7
21。

从以上例子可知，形如x b x a sin cos ±适合于计算三角形函数的极值问题。

计算极值时与式子的加、减是无关，与22b a +的最值有关；其中最大值为22b a +，最小值为22b a +-。

在计算三角函数的极值应用题时，只要找出形如x b x a sin cos ±的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间（-90º，90º）的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)k sinα(k∈Z)；
2. cos(kπ+α)=(-1)k cosα(k∈Z)；
3. tan(kπ+α)=(-1)k tanα(k∈Z)；
4. cot(kπ+α)=(-1)k cotα(k∈Z).
二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方（或下方）;
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.
三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。

四、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”：已知tanα,求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.
六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;
2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，起用平方法则：
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？
九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A≠0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称；
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；
3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式：
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;
2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.
十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化.
1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
倒数关系: 商的关系：平方关系：
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1
1＋tan2α＝sec2α
1＋cot2α＝csc2α。