苏教版数学七年级上册 压轴解答题(培优篇)(Word版 含解析) 汇编经典

苏教版数学七年级上册 压轴解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 汇编经典
一、压轴题
1．已知M ，N 两点在数轴上所表示的数分别为m ，n ，且m ，n 满足：|m ﹣12|+（n +3）2＝0
（1）则m ＝ ，n ＝ ；
（2）①情境：有一个玩具火车AB 如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A 移动到点B 时，点B 所对应的数为m ，当点B 移动到点A 时，点A 所对应的数为n ．则玩具火车的长为 个单位长度：
②应用：一天，小明问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小明心想：奶奶的年龄到底是多少岁呢？聪明的你能帮小明求出来吗？
（3）在（2）①的条件下，当火车AB 以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P 和点Q 从N 、M 出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记火车AB 运动后对应的位置为A ′B ′．是否存在常数k 使得3PQ ﹣kB ′A 的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k 和这个定值；若不存在，请说明理由． 2．请观察下列算式，找出规律并填空．
111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545=-⨯． 则第10个算式是________，第n 个算式是________．
根据以上规律解读以下两题： （1）求
111
1
122334
20192020
++++
⨯⨯⨯⨯的值；
（2）若有理数a ，b 满足|2||4|0a b -+-=，试求：
1111
(2)(2)(4)(4)
(2016)(2016)
ab a b a b a b ++++
++++++的值．
3．已知：b 是最小的正整数，且a 、b 、c 满足()2
50c a b -++=，请回答问题． (1)请直接写出a 、b 、c 的值．
a =
b =
c =
(2)
a 、
b 、
c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子：1
125x x x (请写出化简过程)．
(3)在(1)(2)的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
4．一般情况下
2323
a b a b ++=+是不成立的，但有些数可以使得它成立，例如：0a b ．我们称使得2323
a b a b
++=
+成立的一对数,a b 为“相伴数对”，记为(),a b ． （1）若()1,b 为“相伴数对”，试求b 的值；
（2）请写出一个“相伴数对”(),a b ，其中0a ≠，且1a ≠，并说明理由；
（3）已知(),m n 是“相伴数对”，试说明91,4m n ⎛
⎫ ⎪⎝
+⎭-也是“相伴数对”．
5．如图一，点C 在线段AB 上，图中有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决）
（2）如图二，点A 和B 在数轴上表示的数分别是20-和40，点C 是线段AB 的巧点，求点C 在数轴上表示的数。

（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 处，以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿BA 向点A 匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A 、P 、Q 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间()t s 的所有可能值．
6．已知x ＝﹣3是关于x 的方程（k +3）x +2＝3x ﹣2k 的解． （1）求k 的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB ＝6cm ，点C 是线段AB 上一点，且BC ＝kAC ，若点D 是AC 的中点，求线段CD 的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A 所表示的数为﹣2，有一动点P 从点A 开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q 从点B 开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD ＝2QD ？
7．已知线段AB ＝m （m 为常数），点C 为直线AB 上一点，点P 、Q 分别在线段BC 、AC 上，且满足CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP ．
（1）如图，若AB ＝6，当点C 恰好在线段AB 中点时，则PQ ＝ ；
（2）若点C 为直线AB 上任一点，则PQ 长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不
是，请说明理由；
（3）若点C 在点A 左侧，同时点P 在线段AB 上（不与端点重合），请判断2AP+CQ ﹣2PQ 与1的大小关系，并说明理由．
8．如图，A 、B 、C 三点在数轴上，点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14，点C 为线段AB 的中点.动点P 在数轴上，且点P 表示的数为x .
（1）求点C 表示的数；
（2）点P 从点A 出发，向终点B 运动.设BP 中点为M .请用含x 的整式表示线段MC 的长.
（3）在（2）的条件下，当x 为何值时，2AP CM PC -=？
9．对于数轴上的,,A B C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两点的“倍联点”. 例如数轴上点,,A B C 所表示的数分别为1，3，4，满足2AB BC =，此时点B 是点,A C 的“倍联点”.
若数轴上点M 表示3-，点N 表示6，回答下列问题：
（1）数轴上点123,,D D D 分別对应0，3. 5和11，则点_________是点,M N 的“倍联点”，点N 是________这两点的“倍联点”；
（2）已知动点P 在点N 的右侧，若点N 是点,P M 的倍联点，求此时点P 表示的数. 10．(1)如图1，在直线AB 上，点P 在A 、B 两点之间，点M 为线段PB 的中点，点N 为线段AP 的中点，若AB n =，且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；
②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2，点C 为线段AB 的中点，点P 在线段CB 的延长线上，试说明PA PB
PC
+的值不变.
11．已知AOB ∠是锐角，2AOC BOD ∠=∠.
（1）如图，射线OC ，射线OD 在AOB ∠的内部（AOD AOC ∠>∠），AOB ∠与
COD ∠互余；
①若60AOB ︒∠=，求BOD ∠的度数； ②若OD 平分BOC ∠，求BOD ∠的度数.
（2）若射线OD 在AOB ∠的内部，射线OC 在AOB ∠的外部，AOB ∠与COD ∠互补.方方同学说BOD ∠的度数是确定的；圆圆同学说：这个问题要分类讨论，一种情况下
BOD ∠的度数是确定的，另一种情况下BOD ∠的度数不确定.你认为谁的说法正确?为什么?
12．观察下列各等式：
第1个：2
2
()()a b a b a b -+=-； 第2个：2
2
3
3
()()a b a ab b a b -++=-； 第3个：3
2
2
3
4
4
()()a b a a b ab b a b -+++=- ……
（1）这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用发现的规律猜想并填空：若n 为大于1的正整数，则1
2322321()( )n n n n n n a b a
a b a b a b ab b -------++++++=______；
（2）利用（1）的猜想计算：1233212222221n n n ---+++++++（n 为大于1的正整
数）；
（3）拓展与应用：计算1233213333331n n n ---+++
++++（n 为大于1的正整数）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）m ＝12，n ＝﹣3；（2）①5；②应64岁；（3）k ＝6，15
【解析】 【分析】
（1）由非负性可求m ，n 的值；
（2）①由题意可得3AB ＝m ﹣n ，即可求解；②由题意列出方程组，即可求解； （3）用参数t 分别表示出PQ ，B 'A 的长度，进而用参数t 表示出3PQ ﹣kB ′A ，即可求解． 【详解】
解：（1）∵|m ﹣12|+（n +3）2＝0， ∴m ﹣12＝0，n +3＝0， ∴m ＝12，n ＝﹣3； 故答案为：12，﹣3；
（2）①由题意得：3AB ＝m ﹣n ， ∴AB ＝
3
m n
-＝5， ∴玩具火车的长为：5个单位长度， 故答案为：5；
②能帮小明求出来，设小明今年x 岁，奶奶今年y 岁，
根据题意可得方程组为：40
116y x x y x y -=+⎧⎨-=-⎩ ，
解得：12
64x y =⎧⎨=⎩
，
答：奶奶今年64岁；
（3）由题意可得PQ ＝（12+3t ）﹣（﹣3﹣t ）＝15+4t ，B 'A ＝5+2t ，
∵3PQ ﹣kB ′A ＝3（15+4t ）﹣k （5+2t ）＝45﹣5k +（12﹣2k ）t ，且3PQ ﹣kB ′A 的值与它们的运动时间无关， ∴12﹣2k ＝0， ∴k ＝6
∴3PQ ﹣kB ′A ＝45﹣30＝15 【点睛】
本题主要考查数轴上的动点问题，关键是用代数式表示数轴上两点之间的距离，体现了数形结合思想和方程思想.
2．111=10111011-⨯，()111=11n n n n -++；（1）20192020；（2）10094040
【解析】 【分析】
归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n 个等式即可； （1）原式变形后，计算即可得到结果；
（2）利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】
解：第10个算式是111
=10111011
-⨯， 第n 个算式是()111
=11
n n n n -++；
（1）1111 (12233420192020)
++++⨯⨯⨯⨯ =111111...22320192020-
+-++- =112020-
=20192020
； （2）∵|2||4|0a b -+-=， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4， ∴1111
(2)(2)(4)(4)
(2016)(2016)
ab a b a b a b ++++
++++++
=1111
244668
20182020
++++
⨯⨯⨯⨯
=
1111111...2244620182020⎛⎫
-+-++- ⎪⎝⎭
=111222020⎛⎫
- ⎪⎝⎭
=
1009
4040
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（1）-1；1；5；（2）2x+12；（3）不变，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据b 是最小的正整数，即可确定b 的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a ，b ，c 的值；
（2）根据x 的范围，确定x+1，x-3，5-x 的符号，然后根据绝对值的意义即可化简； （3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2． 【详解】
解：（1）∵b 是最小的正整数，∴b=1． 根据题意得：c-5=0且a+b=0， ∴a=-1，b=1，c=5． 故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0， 则：|x+1|-|x-1|+2|x+5| =x+1-（1-x ）+2（x+5） =x+1-1+x+2x+10 =4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0． ∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5） =x+1-x+1+2x+10 =2x+12；
（3）不变．理由如下：
t 秒时，点A 对应的数为-1-t ，点B 对应的数为2t+1，点C 对应的数为5t+5． ∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t ）=3t+2， ∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB 值的不随着时间t 的变化而改变． 【点睛】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 4．（1）94b =-；（2）92,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭（答案不唯一）；（3）见解析
【解析】 【分析】
（1）根据“相伴数对”的定义，将()1,b 代入2323
a b a b
++=+，从而求算答案； （2）先根据“相伴数对”的定义算出a 、b 之间的关系为：94a b =-，满足条件即可；
（3）将将,a m b n == 代入
2323a b a b ++=+得出4
9m n ，再将4
9
m n 代入91,4m n ⎛
⎫ ⎪⎝+⎭-得到491,9
4n n -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别去计算等式左右两边，看是否恒等即可． 【详解】
解：（1）∵()1,b 为“相伴数对”，将()1,b 代入
2323
a b a b
++=+得： 112323
b b ++=+ ，去分母得：()151061b b +=+ 解得：94
b =- （2）
2323
a b a b ++=+化简得：94a b =-
只要满足这个等量关系即可，例如：92,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（答案不唯一） （3）∵(),m n 是“相伴数对” 将,a m b n == 代入2323
a b a b ++=+： ∴
2323
m n m n ++=+ ，化简得：49
m n 将49m
n 代入91,4m n ⎛
⎫ ⎪⎝+⎭-得到：491,9
4n n -+-⎛⎫ ⎪⎝⎭
将：491,94
a n
b n =-
+=- 代入2323a b a b
++=+
左边=49
149942336n n n -+--+
= 右边=49149942336
n n n -++--=+
∴左边=右边
∴当(),m n 是“相伴数对”时， 91,4m n ⎛⎫
⎪⎝+⎭
-也是“相伴数对” 【点睛】
本题考查定义新运算，正确理解定义是解题关键． 5．（1）是；（2）10或0或20；(3) 152t =；t=6；607t =；t=12；907t =；454
t =． 【解析】 【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C 点表示的数为x ，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t 的代数式表示出线段AP ，AQ ，PQ ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t 的值． 【详解】
解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点， 故答案为：是；
（2）设C 点表示的数为x ，则AC=x+20，BC=40-x ，AB=40+20=60， 根据“巧点”的定义可知： ①当AB=2AC 时，有60=2（x+20）， 解得，x=10；
②当BC=2AC 时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC 时，有x+20=2（40-x ）， 解得，x=20．
综上，C 点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得()
()60601026046601015t t AP t AQ t PQ t t -≤≤⎧⎪==-=⎨-≤⎪⎩
，，＜，
（i ）、若0≤t ≤10时，点P 为AQ 的“巧点”，有 ①当AQ=2AP 时，60-4t=2×2t ， 解得，15
2
t =
， ②当PQ=2AP 时，60-6t=2×2t ， 解得，t=6；
③当AP=2PQ 时，2t=2（60-6t ）， 解得，607
t =
； 综上，运动时间()t s 的所有可能值有152t =；t=6；607
t =； （ii ）、若10＜t ≤15时，点Q 为AP 的“巧点”，有 ①当AP=2AQ 时，2t=2×（60-4t ）， 解得，t=12；
②当PQ=2AQ 时，6t-60=2×（60-4t ），
解得，907t =
； ③当AQ=2PQ 时，60-4t=2（6t-60）， 解得，454
t =
． 综上，运动时间()t s 的所有可能值有：t=12；907t =；454
t =． 故，运动时间()t s 的所有可能值有：152t =；t=6；607t =；t=12；907t =；454
t =． 【点睛】
本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解． 6．（1）2；（2）1cm ；（3）910秒或116
秒 【解析】 【分析】
（1）将x ＝﹣3代入原方程即可求解；
（2）根据题意作出示意图，点C 为线段AB 上靠近A 点的三等分点，根据线段的和与差关
系即可求解；
（3）求出D 和B 表示的数，然后设经过x 秒后有PD ＝2QD ，用x 表示P 和Q 表示的数，然后分两种情况①当点D 在PQ 之间时，②当点Q 在PD 之间时讨论即可求解． 【详解】
（1）把x ＝﹣3代入方程（k +3）x +2＝3x ﹣2k 得：﹣3（k +3）+2＝﹣9﹣2k ， 解得：k ＝2； 故k ＝2；
（2）当C 在线段AB 上时，如图，
当k ＝2时，BC ＝2AC ，AB ＝6cm ， ∴AC ＝2cm ，BC ＝4cm ， ∵D 为AC 的中点， ∴CD ＝
1
2
AC ＝1cm ． 即线段CD 的长为1cm ；
（3）在（2）的条件下，∵点A 所表示的数为﹣2，AD ＝CD ＝1，AB ＝6， ∴D 点表示的数为﹣1，B 点表示的数为4．
设经过x 秒时，有PD ＝2QD ，则此时P 与Q 在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x ，4﹣4x ． 分两种情况：
①当点D 在PQ 之间时， ∵PD ＝2QD ，
∴()()1222441x x ⎡⎤---=---⎣⎦，解得x ＝9
10
②当点Q 在PD 之间时， ∵PD ＝2QD ，
∴()()1222144x x ⎡⎤----=---⎣⎦，解得x ＝116
． 答：当时间为910或11
6
秒时，有PD ＝2QD ． 【点睛】
本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．
7．（1）4；（2）PQ 是一个常数，即是常数2
3
m ；（3）2AP+CQ ﹣2PQ ＜1，见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据已知AB ＝6，CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP ，以及线段的中点的定义解答；
（2）由题意根据已知条件AB ＝m （m 为常数），CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP 进行分析即可； （3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ ﹣2PQ ＝0，即可得出2AP+CQ ﹣2PQ 与1的大小
关系．
【详解】
解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ＝2
3AC，CP＝
2
3
BC，
∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC＝1
2
AB，
∵AB＝6，
∴PQ＝CQ+CP＝2
3AC+
2
3
BC＝
2
3
×
1
2
AB+
2
3
×
1
2
AB＝
2
3
×AB＝
2
3
×6＝4；
故答案为：4；
（2）①点C在线段AB上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ＝2
3AC，CP＝
2
3
BC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ+CP=2
3AC+
2
3
BC＝
2
3
×（AC+BC）＝
2
3
AB=
2
3
m；
②点C在线段BA的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ＝2
3AC，CP＝
2
3
BC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CP﹣CQ＝2
3BC﹣
2
3
AC＝
2
3
×（BC﹣AC）＝
2
3
AB＝
2
3
m；
③点C在线段AB的延长线上：
∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，
∴CQ＝2
3AC，CP＝
2
3
BC，
∵AB＝m（m为常数），
∴PQ＝CQ﹣CP＝2
3AC﹣
2
3
BC＝
2
3
×（AC﹣BC）＝
2
3
AB＝
2
3
m；
故PQ 是一个常数，即是常数
23
m ； （3）如图：
∵CQ ＝2AQ ，
∴2AP+CQ ﹣2PQ
＝2AP+CQ ﹣2（AP+AQ ）
＝2AP+CQ ﹣2AP ﹣2AQ
＝CQ ﹣2AQ
＝2AQ ﹣2AQ
＝0，
∴2AP+CQ ﹣2PQ ＜1．
【点睛】
本题主要考查线段上两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
8．（1）2；（2）52x MC =+
；（3）当25x =-或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【解析】
【分析】
（1）根据中点的定义，即可求出点C 的坐标；
（2）先表示出点M 的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC 的长度； （3）分别求出AP ，MC 和PC 的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x 的值.
【详解】
解：（1）点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14，
∴线段AB=14(10)24--=，
∴点C 表示的数为：142422-÷=；
（2）根据题意，
点M 表示的数为：142
x +， ∴线段MC 的长度为：
142522x x +-=+； （3）根据题意，
线段AP 的长度为：10x +，
线段MC 的长度为：52
x +， 线段PC 的长度为：2x -，
∵2AP CM PC -=，
∴10(5)222x x x +-+=-， 整理得：15242
x x -=+， ①当点P 在点C 的左边时，2x <，则20x ->， ∴15242
x x -=+， 解得：25
x =-； ②当点P 与点C 重合时，2x =， ∴15042
x +=， 解得：10x =-（不符合题意，舍去）；
③当点P 在点C 的右边时，2x >，则20x -<， ∴15242
x x -=+， 解得：6x =. ∴当25x =-
或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【点睛】
本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离.
9．（1）1D ；2D ，3D （2）点P 表示的数为24或
212
. 【解析】
【分析】
（1）分别计算D 1，D 2，D 3三点与M,N 的距离，再根据新定义的概念得到答案； （2）设点P 表示的数为x ，分以下情况列方程求解：①2NP NM =；②2NP NM =.
【详解】
解：（1）D 1M=3，D 1N=6，2D 1M=D 1N ，故D 1符合题意；
D 2M=6.5，D 2N=2.5，故D 2不符合题意；
D 3M=14，D 3N=5，故D 3不符合题意；
因此点D 1是点,M N 的“倍联点”．
又2D 2N= D 3N ，∴点N 是D 2，D 3的“倍联点”.
故答案为：D 1;D 2，D 3.
（2）设点P 表示的数为x ，
第一种情况：当2NP NM =时，
则62[6(3)]x -=⨯--，
解得24x =.
第二种情况：当2NP NM =时，
则2(6)6(3)x -=--， 解得：212
x =. 综上所述，点P 表示的数为24或
212. 【点睛】
本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义的概念是解题的关键．
10．（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由见解析； （2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由关于x 的方程()46n x n -=-无解．可得4n -=0，从而可求得n 的值； （2）根据线段中点的定义可知PN=
12AP ，PM=12PB ，从而得到MN=12（PA+PB ）=12AB ，于是可求；
（3）设AB=a ，BP=b ．先表示PB+PA 的长，然后再表示PC 的长，最后代入计算即可．
【详解】
解：（1）①∵关于x 的方程()46n x n -=-无解．
∴4n -=0，
解得：n=4．
故AB=4．
②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关，理由如下：
∵M 为线段PB 的中点，
∴PM= 12
PB ． 同理：PN= 12
AP ．． ∴MN=PN+PM=
12（PB+AP ）= 12AB= 12×4=2． ∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关．
（2）设AB=a ，BP=b ，
则PA+PB=a+b+b=a+2b ．
∵C 是AB 的中点，
1122
BC AB a ∴== 12PC PB BC a b ∴=+=
+
2212
PA PB a b PC a b ++∴==+， 所以
PA PB PC
+的值不变. 【点睛】 本题主要考查的是中点的有关计算，掌握线段中点的定义是解题的关键．
11．（1）①10°，②18°；（2）圆圆的说法正确，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AOB 与∠COD 互余求出∠COD ，再利用角度的和差关系求出
∠AOC+∠BOD=30°，最后根据∠AOC=2∠BOD 即可求出∠BOD ；
②设∠BOD=x ，根据角平分线表示出∠COD 和∠BOC ，根据∠AOC=2∠BOD 表示出∠AOC ，最后根据∠AOB 与∠COD 互余建立方程求解即可；
（2）分两种情况讨论：OC 靠近OA 时与OC 靠近OB 时，画出图形分类计算判断即可.
【详解】
解：（1）①∵∠AOB 与∠COD 互余，且∠AOB=60°，
∴∠COD=90°－∠AOB=30°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB －∠COD=60°－30°=30°，
∵∠AOC=2∠BOD ，
∴2∠BOD+∠BOD=30°，
∴∠BOD=10°；
②设∠BOD=x ，
∵OD 平分∠BOC ，
∴∠BOD=∠COD=x ，∠BOC=2∠BOD=2x ，
∵∠AOC=2∠BOD ，
∴∠AOC=2x ，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD +∠BOD=4x ，
∵∠AOB 与∠COD 互余，
∴∠AOB+∠COD=90°，即4x+x =90°，
∴x =18°，即∠BOD=18°；
（2）圆圆的说法正确，理由如下：
当OC 靠近OB 时，如图所示，
∵∠AOB 与∠COD 互补，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD ，∠COD=∠BOC+∠BOD ，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC ，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=2∠BOD ，
∴2∠BOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=60°；
当OC 靠近OA 时，如图所示，
∵∠AOB 与∠COD 互补，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD ，∠COD=∠AOC+∠AOD ，
∴∠AOD+∠BOD+∠AOC+∠AOD=180°，
∵∠AOC=2∠BOD ，
∴∠AOD+∠BOD+2∠BOD +∠AOD=180°，即3∠BOD+2∠AOD=180°，
∵∠AOD 不确定，
∴∠BOD 也不确定，
综上所述，当OC 靠近OB 时，∠BOD 的度数为60°，当OC 靠近OA 时，∠BOD 的度数不确定，所以圆圆的说法正确.
【点睛】
本题考查角的计算，正确找出角之间的关系，分情况画出图形解答是解题的关键.
12．（1）n n a b -；（2）21n
-；（3）312
n -． 【解析】
【分析】
（1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a 、b 两数n 次幂的差；
（2）将原式变形为123321(21)(2222221)----+++++++n n n ，再利用所得规律计算
可得；
（3）将原式变形为1233211(31)(3333331)2n n n ---=
⨯-+++++++，再利用所得规律
计算可得．
【详解】
解：（1）若n 为大于1的正整数，则根据这些等式的运算规律可得：12322321()( )n n n n n n a b a a b a b a b ab b -------+++
+++=n n a b -， 故答案为：n n a b -；
（2）1233212222221n n n ---+++++++
123321(21)(2222221)n n n ---=-+++
++++ 21n n =-
21n =-
（3）1233213333331n n n ---+++++++
1233211(31)(3333331)2
n n n ---=⨯-+++++++ 1(31)2
n n =⨯- 312
n -=． 【点睛】
本题考查规律型：数字的变化类，观察等式发现规律是解题关键．。