(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知F 是双曲线2
2:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A ．25
B ．45
C ．15
D ．23
2．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF
与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34y x C ．35y x =± D ．53
y x =± 3．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>，过其右焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．(
B ．(1,1
C ．)+∞
D ．()
1++∞ 4．已知1F 、2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A ．
B ．)+∞
C ．⎛
⎝ D ．
5．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22
183
x y +=有相同的焦点，则a =（ ）
A B ．C ．2 D ．4
6．已知1F 、2F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF
F △与12QF F 的面积之比为（ ）
A ．2
B 1
C 1
D ．2+7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ）
A ．910+
B ．926+
C ．712612+
D ．832612
+ 8．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（ ）
A ．24480y x y -++=
B ．22220y x y +-+=
C ．2210y x y ---=
D ．24250y x y +-+= 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线
交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则
①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切；
②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；
③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；
④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知点P 是椭圆22
:110064
x y C +=上一点，M ，N 分别是圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=上的点，那么||||PM PN +的最小值为（ ）
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
11．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）
A ．45π
B ．34π
C ．(625)π-
D ．54
π 12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点，抛物线28y x =
的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（ ）
A B
C D ．2
二、填空题
13．点()8,1P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.
14．设12,F F 为双曲线22
212
x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且
123F PF π
∠=，若此双曲线的离心率等于2
，则点P 到y 轴的距离等于__________． 15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．
16．曲线412x x
y y
-=上的点到直线y 的距离的最大值是________．
17．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PF PA
的最小值为 ________. 18．动点P 在曲线221y x =+上运动，则点P 与定点(0,1)M -连线的中点N 的轨迹方程为_______．
19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若
2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.
20．已知1F 、2F 是椭圆22
143
x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．
三、解答题
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线
1x =交于点P ．若11
AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知长轴长为222222:1(0)x y C a b a b +=>>过点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,点F 是椭圆C 的右焦点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在x 轴上的定点D ,使得过点D 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，设E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.
23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率6e =，一条准线方程为36x （1）求椭圆C 的方程；
（2）设,G H 为椭圆上的两个动点，G 在第一象限，O 为坐标原点，若OG OH ⊥，GOH 的面积为3155
，求OG 的斜率. 24．过椭圆)(22
22:10x y C a b a b
+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为83 （1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
25．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S 的最大值为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点.
①若k 2=12,且S △AOB 2m 的值； ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
26．已知椭圆E ：22
154
x y +=. （1）求与方程E 焦点相同，且过62,Q ⎭
的椭圆方程C . （2）若直线12
y x m =+交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且1212340x x y y +=，试求AOB 的面积.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF =
+.
【详解】 由题意，双曲线2
2
:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===， 设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，
根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为
26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，
当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，
此时直线ME 的方程为)32y x =+， 联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩
，消去y 得450x +=，解得54x =-，则33y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭
，
过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，
则22
22533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EF
e QE QF ==+. 故选：B.
【点睛】 本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
2．A
解析：A
【分析】
结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥，
取线段2PF 的中点N ，连接1NF ，
由于1122PF F F c ==，
则122,NF PF NP NF ⊥=， 由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==， 则22442NP c a b =-=，
即有24PF b =，
由双曲线的定义可得212PF PF a -=，
即422b c a -=，
即2,2b c a c b a =+=-，
所以()2
222b a a b -=+， 化简得2434,34,3
b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43
y x =±
. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.
3．D
解析：D
【分析】
由题将x c =代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得22b c a
<，即可由此求出离心率. 【详解】
由题可得AB x ⊥轴，将x c =代入双曲线可得2b y a
=±， ∴以AB 为直径的圆的半径为2b AF a
=， 双曲线的左焦点在以AB 为直径的圆内，
2
2b c a
∴<，即22b ac >，即222c a ac ->， 两边除以2a 可得2210e e -->
，解得1e <
1e >
故双曲线离心率的取值范围是()
1+∞.
故选：D.
【点睛】 本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出2
2b c a
<. 4．A
解析：A
【分析】
求出||AB ，根据212||
2tan 2||
AB AF B F F ∠=tan 30<
可得2330e --<，再结合1e >可
解得结果.
【详解】
因为1(,0)F c -，由22
221x c x y a b
=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2b y a =±，所以22||b AB a =， 因为260AF B ∠<，所以212||
2tan 2||
AB AF B F F ∠=tan 30<，
所以223b ac <
，所以2223
c a ac -<
，所以2123e e -<
，即2330e --<，
解得e <<1e >
，所以1e < 故选：A
【点睛】
关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据
212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式. 5．C 解析：C 【分析】
先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．
【详解】
椭圆22183
x y +=的半焦距为835c =-=， ∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．
故选：C ．
【点睛】
晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．
6．D
解析：D
【分析】
设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得
433t a =+，进而可得出121222
222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】
可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，
由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，
则22211PQ PF QF +=，即()2
22434a t t t -+=， 即有433a t t -=，解得33
t =+，
则12PF F △与12QF F
的面积之比为
12
12222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.
7．B
解析：B
【分析】 根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求.
【详解】
如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为()1,0F ，所以()10:01114
AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--， 又()2413
4y x y x
⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244
B B y x ==，所以()4,4B -， 又因为1254244
A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=
，
BM == 所以ABM
的周长为：2511944AB AM BM ++=
++=+ 故选：B.
【点睛】
结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）
（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+
； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+
； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02
p PF y =-+
. 8．D
解析：D 【分析】
首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】
由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，
()()2
2
22222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，
所以21
11
a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -
设(),P x y ，由条件可知PC x =()()
22
21x y x ++-=，
两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】
方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：
1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.
2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.
9．D
解析：D 【分析】
由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2
p
AB x my =+
，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】
对于①，设,AF a BF b ==，则11
,AA a BB b ，
所以线段AB 的中点到准线的距离为
2
2
AB
a b
， 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确； 对于②，连接11,A F B F ，如图，
因为11,AA AF BB BF ==，11
180BAA ABB ，
所以11
1802180
2180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，
所以1
1
90AFA BFB 即1190A FB ∠=，
所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确； 对于③，设直线:2
p
AB x my =+
，()()1122,,,A x y B x y ， 将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则2
12y y p =-， 又2
111
112,,,,22
y p
OA
x y y OB y p
，
因为
2
2
11222
y y p p
p ，22
111212
12
2
2
y y y y y y p y p p p ，
所以2
112y OA
OB p
，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确； 对于④，不妨设()
00,2A x px ，则00
22AT px k x =，
则直线002:x AT x y x p =
-，代入抛物线方程化简得020
2220x y px p
y p +=-， 则0
02
0228x p p
px ⎛⎫
∆=- ⎪ -⎪⎭
=⎝
，
所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；
②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.
10．C
解析：C 【分析】
由题意画出图形，数形结合以及椭圆的定义转化求解即可． 【详解】
解：如图，椭圆22
:110064
x y C +=的10a =，8b =，所以6c =，
圆22(6)1x y -+=和圆22(6)4x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，
则当M ，N 为如图所示位置时，||||PM PN +的最小值为2(21)17a -+=． 故选：C ． 【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
11．A
解析：A 【详解】
试题分析：设直线:240l x y +-=因为1
||||2
C l OC AB d -=
=，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为
11
22O l d -==，圆C 面积的最小值为2
455ππ⎛= ⎝⎭
．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.
12．B
解析：B 【分析】
求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可 【详解】
由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，
因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，2
2
2
212
124PF PF F F c +==，
点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故2
2
212
1224PF PF PF PF a +-⋅=，
则22444c a -=，所以a = 故选：B. 【点睛】
本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..
二、填空题
13．【分析】设弦的两端点分别为A （x1y1）B （x2y2）由AB 的中点是P （81）知x1+x2＝16y1+y2＝2利用点差法能求出这条弦所在的直线方程【详解】设弦的两个端点分别为则两式相减得因为线段的中 解析：2150x y --=
【分析】
设弦的两端点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点是P （8，1），知x 1+x 2＝16，y 1+y 2＝2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程． 【详解】
设弦的两个端点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，则221144x y -=，2222
44x y -=， 两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +--+-=，
因为线段AB 的中点为()8,1P ，所以1216x x +=，122y y +=，所以
()
1212121224y y x x
x x y y -+==-+， 所以直线AB 的方程为()128y x -=-代入2244x y -=满足0∆>，即直线方程为
2150x y --=.
故答案为：2150x y --=. 【点睛】
本题考查弦的中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．
14．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得
解析：【解析】
依题意，由222
{b c a c a b ==
=+
，解得2,a c =
，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21
b cot
π22tan
6
P S y
∠===⋅
，解得y =
，代入双曲线方程解得x =
15．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题
【分析】
由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a
∠=∠=
，4tan tan 2b
BOA BOF a
∠=∠=
，解方程即可求解. 【详解】
由题意得FA b =，3FB b =，OA a =， 由题得tan tan b BOF AOF a
∠=∠=
，
∴24tan tan 21()b b b a a BOA BOF b a a
+
∠=
=∠=-， 整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，2
32e =
，即e =．
【点睛】
本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.
16．【分析】先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类再画出图象数形结合分析即可【详解】解：曲线表示的方程等价于以下方程画出图象有：故是双曲线与渐近线方程所以曲线上的点到直线的距离的最大值为椭圆上的点到直线的
解析：
3
【分析】
先根据绝对值的正负判断曲线方程的种类，再画出图象，数形结合分析即可. 【详解】 解：曲线
4
12
x x y y -
=表示的方程等价于以下方程，
()()()22
22
22
10,02410,02
410,042
x y x y x y x y y x x y ⎧-
=≥≥⎪⎪⎪+=≥<⎨
⎪⎪-=<<⎪⎩ ，画出图象有：
故2y x =是双曲线()2210,024x y x y -=≥≥与()22
10,042
y x x y -=<<渐近线方程，
所以曲线
4
12
x x y y -
=上的点到直线2y x =的距离的最大值为椭圆
()22
10,024
x y x y +=≥<上的点到直线2y x 的距离. 设直线()20y x m m =+<与曲线()2210,024
x y x y +=≥<相切，联立方程组，化简
得：
2242240x mx m ++-=，令()22
=81640m m ∆--=，解得22m =-
所以切线为：222y x -
故两平行线222y x =-2y x =之间的距离为022
263
3
d +=
=
. 所以曲线
4
12
x x y y -
=上的点到直线2y x =的距离的最大值是
263
.
故答案为：263
.
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线上的点到直线的距离问题，是中档题.
17．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线 2
【分析】
过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求
PF
PA
最小，转化为sin PM
PAM PA
=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

【详解】
由题意可得，抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，过P 做PM 垂直于准线，M 为垂足，如图所示。

由抛物线定义可得PF PM =，则
sin ,PF PM
PAM PA PA
==∠PAM ∠为锐角，故当PAM ∠最小时，PF PA 最小，即当PA 与
抛物线相切时，
PF
PA
最小。

设直线PA 斜率为k ，所以直线PA 的方程为(1)y k x =+，与抛物线联立2(1)
4y k x y x =+⎧⎨=⎩
可得
2222(24)0k x k x k -++=，因为相切，所以方程只有一个实根，故
2222(24)40k k k ∆=--⨯⨯=，解得21k =，1k =±，不妨令1k =，此时
45PAx ∠=︒，45PAM ∠=︒，所以
2
sin 452
PF PM PA PA ==︒=。

故答案为
2
2
【点睛】
本题考查抛物线的定义，图形的几何性质，难点在于分析出当PA 与抛物线相切时，
PAM ∠最小，再联立方程求解即可，属中档题。

18．【分析】设得到代入曲线整理得到答案【详解】设则即代入曲线得到即故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生的计算能力和转化能力确定坐标的关系是解题的关键
解析：24y x =
【分析】
设(),N x y ，()00,P x y ，得到00221
x x
y y =⎧⎨=+⎩，代入曲线整理得到答案.
【详解】
设(),N x y ，()00,P x y ，则00
2
12x x y y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，即00221x x y y =⎧⎨=+⎩，
代入曲线得到()2
21221y x +=⋅+，即24y x =. 故答案为：24y x =. 【点睛】
本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定,N P 坐标的关系是解题的关键.
19．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计
【分析】
由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13
||||22
CF AB p =
=，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用
1
3
ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.
【详解】
解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，3||2CF p =，||||AB AF =.
AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，
13||||22CF AB p ∴=
=，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得5
2
A x p =
，代入可取
A y =，
111
3533
2
ACE ABC S S p p ∆∆∴=
==，解得p =．
故答案为
【点睛】
本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.
20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角
解析：3
2
【分析】
对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得
1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.
【详解】
在椭圆22143
x y +=中，2a =，3b =1c =，则122FF =.
（1）若12F MF ∠为直角，则()12222
1224
24MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； （2）若12MF F ∠为直角，则()12222
212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得12
32
52MF MF ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 121211133
22222
MF F S F F MF ∆∴=
⋅=⨯⨯=； （3）若12MF F ∠为直角，同理可求得123
2
MF F S ∆=. 综上所述，1232
MF F S ∆=. 故答案为：32
. 【点睛】
本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）22
143
x y +=；（2）6.
【分析】
（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得223
4b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得
22
1914a b +=，解出22
,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出
1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：1
1x y m
=-
-与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值. 【详解】
（1）由题意，得222221149
1
41b e a a b ⎧=-=
⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22
143
x y +=． （2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.
设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，
由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,
34
34
m
y y y y m m +=
=-
++，
因为11AF F B QA QB
λλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-
=-，解得1201223
y y y y y m
==-+．
于是1
FQ =． 直线2l 的方程为：1
1x y m
=-
- 联立11
1
x y m
x ⎧
=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，
，所以1PF =． 所以()1
2
113111362PQF m S
FQ F P m m m +⎛⎫
=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝
⎭， 当且仅当1m =±时，(
)
1min
6PQF S =．
【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223
y y y y y m
=
=-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出
三角形的面积，属于中档题.
22．（1）2
212
x y +=；（2）存在，(2,0)D .
【分析】
（1
）题意说明a =P 的坐标代入22
x ＋2
2y b ＝1，可得b ，即得椭圆方程；
（2）设存在定点D 满足条件．设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，
22(,)B x y ,则22(,)E x y -，将直线l 代入椭圆方程得y 的二次方程，判别式大于0，
应用韦达定理得1212,y y y y +，A ，F ，E 三点共线即,FE FA 共线，由向量共线得一等式，代入1212,y y y y +可求得t ． 【详解】
解(1)
因为2a =
，所以a =
(1,2
P 代入22221x y a b +=，得1b =，
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
(2) 存在点(2,0)D 满足条件.
设(,0)D t ，直线l 方程为x my t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ,则22(,)E x y -
联立22
12x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222
(2)220m y mty t +++-= 12222mt y y m ∴+=-+，21222
2
t y y m -=+且0∆>，
由,,A F E 三点共线，得2112(1)(1)0x y x y -+-=，所以12122(1)()0my y t y y +-+=，
所以222222(1)()022
t mt
m t m m -⋅+-⋅-=++解得2t =.
所以存在定点(2,0)D 满足条件．
【点睛】
方法点晴：解法中体现了“设而不求”的思想，即设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程得y 的二次方程（判别式大于0）， 应用韦达定理得1212,y y y y +，代入题中另外的条件求解．
23．（1）22193x y += （2
）k =
k =
【分析】
（1
）由离心率可得
c a =
2a c ，结合222b a c =-可得答案.
（2）设直线OG 的方程为y kx =，则0k >，可得出点G 的坐标，求出OG 的长度，由
OG OH ⊥，则1
OH
k k
=-
，从而可得OH 的长度,
由125
GOH
S OH OG =⨯⨯=
建立方程可得答案. 【详解】 （1
）由离心率c e a ==
，
一条准线方程为x =
2a c
两式相乘可得23c a a a c ⨯=
==
，所以c
则222963b a c =-=-=
所以椭圆C 的方程为：22
193
x y +=
（2）由G 在第一象限，设直线OG 的方程为y kx =，则0k >
由2219
3y kx x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得22931x k =+，则2
2
2
931k y k =+
所以OG == 由OG OH ⊥，则1OH
k k =-
，所以OH ==
所以
2
11922
GOH
S
OH OG =⨯⨯=⨯=
化简得4231030k k -+=，解得23k =或2
13
k =
所以直线OG 的斜率为
k =k =【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据三角形面积求直线斜率，解答本题的关键是设出直
线OG 的方程为y kx =
，表示出OG =
OH =
的长度，由
125
GOH
S
OH OG =⨯⨯=
建立方程，属于中档题. 24．（1）2214
x y +=；（2）存在圆心在原点的圆22
45x y +=满足条件．
【分析】
（1）先利用椭圆定义得到48a =，结合离心率求得参数a ，c ，再解得b ，即得到方程；
（2）先假设圆存在，设方程)(
222
01x y r r +=<<，讨论直线PQ 斜率存在时与椭圆有
两个交点满足题意，结合直线PQ 是圆的切线，解得半径，再验证斜率不存在该圆也满足题意，即得结果. 【详解】
解：（1）结合椭圆的定义可知，1AF B △的周长为
4a ，故48
2a c a =⎧⎪
⎨
=
⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨
=⎪⎩ ∴2
2
2
1b a c =-=，故椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2）假设满足条件的圆存在，其方程为)(
222
01x y r r +=<<，
当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，
由22
14
y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得)(
222148440k x ktx t +++-=． 设)(11,P x y ，)(
22,Q x y ， 则())()
(
2
2
2
8414440kt k
t
∆=-+->，即2214<+t k ，
122814kt x x k +=-+，2122
44
14t x x k
-=+．① ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=．又11y kx t =+，22y kx t =+．
∴)()(
12120x x kx t kx t +++=，即)(
)(
22
121210k x x kt x x t ++++=．②
将①代入②得
)()
(2
2
2222
2
144
801414k t k t t k
k +--+=++，即)(
2224115t k k =+<+． ∵直线PQ 与圆222x y r +=相切，∴圆心()0,0到直线y kx t =+的距离d 等于半径r ，
即
)(0,1r d ==
=
=， ∴存在圆22
4
5
x y +=
满足条件． 当直线PQ 的斜率不存在时，圆22
4
5
x y +=
也满足条件． 综上所述，存在圆心在原点的圆22
4
5
x y +=
使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥． 【点睛】 思路点睛：
圆锥曲线中求与直线相关的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.
25．（1）2
212
x y +=；（2）①1m =±；②直线l 恒过定点(2,0).
【分析】
（1）根据题意，可求得1c =，1b =，进而求得a ，由此得到椭圆方程；
（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可；②依题意，120k k +=，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点． 【详解】
（1）由抛物线的方程24y
x =得其焦点为(1,0)，则1c =， 当点M 为椭圆的短轴端点时，
12MF F 面积最大，此时1
212
S c b =
⨯⨯
=，则1b =， ∴a =
22
12
x y +=；
（2）联立2
21
2x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得，222(12)4220k x kmx m +++-=，
∆222222164(21)(22)8(21)0k m k m k m =-+-=-+>，得2212(*)k m +>，
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2121222
422
,1212km m x x x x k k
-+=-=++， ①
0m ≠且21
2
k =
，代入(*)得，202m <<，
12|||AB x x -，
设点O 到直线AB 的距离为d
，则d =
=
∴12||||)23AOB
m S
AB d =
=
， 21(0,2)m ∴=∈，则1m =±； ②1122121122,1111
y kx m y kx m
k k x x x x ++=
===----，由题意，120k k +=， ∴
1212011
kx m kx m x x +++=--，即12122()()20kx x m k x x m +-+-=， ∴222
2242()()201212m km k m k m k k -+---=++，解得2m k =-，
∴直线l 的方程为(2)y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2,0)．
【点睛】
方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数
R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式
2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一
次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0
{(,)0(,)0f x y f x y
f x y ===，从而求得该定点.
26．（1）22
143
x y +=；（2
【分析】
（1）设出椭圆方程，可得出2222123
1
2a b a
b ⎧-=⎪
⎨+=⎪⎩，求出,a b 即可； （2）联立直线与椭圆，利用韦达定理求出22m =，再利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出O 到直线的距离，即可得出面积. 【详解】
解：（1）由题意得：椭圆E 的焦点为()1,0-和()1,0，
设椭圆C 的方程为22
221x y a b +=
，且过Q ⎭
，可建立方程组 222
212312a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2
2
43a b ⎧=⎨=⎩或221
2102a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩
（舍）. ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）联立直线与椭圆C 的方程，得
22
12
14
3y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 得2230x mx m ++-=， 由韦达定理得122
12
3x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩， 1212121111343422x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫
+=+++ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
()()221212424620x x m x x m m =+++=-=.
解得22m =满足0∆>，
则
12x x AB =-=
∴
12AOB
S
AB d ===
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.。