线性代数详细知识点

第一章行列式
§ 1二阶和三阶行列式
一、二元一次线性方程组与二阶行列式
结论：如果a 11a 22 a 12a 21 0，则二元线性方程组
的解为
有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为
、三阶行列式与三元一次线性方程组
811 812
813
定义：
821 822 823
831
832
833
811822833 812823831 813821832 813822831 812821833 811823832
811 812 813
定理：如果D
821 822 823
0 ,则(X 1 ,X 2, X 3)是下面的三兀线性方程组的解
831
832
833
811X 812X 2
813X 3
bi
821 X [ 822X 2 823X 3
b
2
831X 1
832X 2
833X 3
b s
当且仅当
a^i X 812X 2 *21 X [ 822X 2
b
b 2
X 1
4822
811822
812821
X 2
*11 b ? 811 b
d 821 d 821
定义: 设 811,812,821,822，记 811 822
812 821 为
811
a 12。

称 811 812
为二阶行列式
821
822
X 1
性质2 :行列式某两行或列互换，其值变号。

例如
a ii a i2
3i3
a 2i a 22 a 23
a 2i a 22 a 23
a ii a i2 a i3
a 3i a 32 a 33
a 3i a 32 a 33
推论：行列式有两行相同，其值为零。

性质3 :行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。

例如
a ii a i2 a i3
a ii a i2 a i3
ka 2i ka ?2
ka ?3
k
a 2i a 22 a 23
a 3i
a 32
a 33
a 3i a 32 a 33
推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。

推论：行列式有一行全为零，其值为零。

性质4 :行列式有两行成比例时，其值为零。

性质5:行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。

例如
素上，其值不变。

例如
性质7:行列式按某一行展开
bi a i2 a i3
a ii
b i a i3
a ii a i2
b i *
X i
b 2 a 22
a 23
/D , x ；
a 2i
b 2 a 23
/D , x 3
a 2i
a 22
b 2
b s
a 32 a 33
a 3i
b 3
a 33
a 3i a 32
b 3
/D
a ii
a i2
313
其中 a 2i
a 22 a 23
a 3i a 32
a 33
证
明:
略。

为系数行列式。

性质1 ：行列式行列互换，其值不变。

即
a ii
a i2
3i3
a 2i
a 22 a 23
a 3i a 32
a 33
a ii a 2i a 3i
a i2
a 22 a 32
a i3 a 23
a 33
a ii a i2 a i3
a ii a i2 a i3 a 2i
b 2i a 22 b 22 a 23 ^3
a 2i a 22 a 23 a 3i a 32 a 33
a 3i a 32 a 33
a ii a i2 a i3
S
b 22 b 23
a 3i a 32 a 33
性质6:将行列式的某一行 （列）的所有元素都乘以数 k 后加到另一行（列）对应位置的元
a
n
a 31
a i2
a ?2 ka i2
a 32
a i3
a ?3 ka i3
a 33
a ii a i2 a i3
a 2i
a 22 a 23
a 3i a 32
a 33
a 21
a i1 a i2 耳3
a 21 a 22 a 23 a 31
a 32
a 33
a 22 a 23
a 12
a 21 a 23
a 13
a 21 a 22 a 32
a 33
a 31
a 33
a 31
a 32
定理的证明：用
a i1
a 22 a 32 a 22 a 23
a 32
a 33
a i2 a 13
a 32 a 33
同理，有 a 23 a 33
X 1
a i2
乘第一个方程 乘第一个方程 a ii X i a^X 2 a i3X 3 b ，得
a 22 a 23
X 2
a 13
a 32
a 33
821X 1 822X 2 823X 3
t )2，得
a 12 a 13 X
a 22
a 12 a 13 X 2
a 23
a 12 a 13 X 3
b 2
a 12 a 13 a 32 a 33
a 32
a 33
a 32
a 33
a 32
a 33
a 12 a i3 X 1
a 32 a 12 a 13 X 2
a 33 a 12 a 13 X 3
a 12 a 13
a 22 a 23
a 22
a 23
a 22
a 23
a 22
a 23
a 21 a 31 ②;
③。

①+ ( -1 ［②+③，得
a 22 a 23
a 12 a 13
a 12 ai3
01 a 32
a 33
a 21
a 32 a 33 a 31
a 22 a 23 (a 12
a 22 a 23
a 22 a 12 a 13
a 32
ai 2
ai 3 a 32 a 33
a 32 a 33
a 22
a 23
@3
a 22
a 23
a 23
a 12
a 13
a 33
a i2 a i3
a 32 a 33
a 32 a 33
a 22
a 23
a 22 a 23
b 2
a 12 a 13 t b
a 12 a,3
a 32 a 33
a 32
a 33
a 22
a 23
)X i
利用性质7,得
从而 )X 2
)X 3
a )i
a i2 a i3
a i2 a i2 a i3
a i3 a i2 a i3
b i a i2 a i3 a 2i
a 22
a 23 X i
a 22 a 22
a 23 X 2
a 23 a 22 a 23 X 3
b 2 a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 32
a 32
a 33
a 33
a 32
a 33
b 3
a 32
a 33
3i1
a i2 a i3
b i a i2 耳3
a 21 a 22
a 23
X i
b 2 a 22
a 23
a 31 a 32 a 33
b 3 a 32 a 33
§ 2全排列及其逆序数
定义：1,2, ,n 的一个排列是指这n 个数组成的一个有序组。

定义（逆序与逆序数）：设i i i 2
i n 是1,2, ,n 的一个排列，如果j k ，而i j i k ，则
称（i j ,i k ）构成一个逆序对，排列i 1i 2 i n 的所有逆序对的个数叫做置换排列 M2 i n 的逆序
数，记为（坤2
i n ）。

（ 1）
（i1i2 in ）
叫做排列i 1i 2 i n 的符号， 记为 sgn(id 2
i n )。

sgn （hi 2 i n ） 1的排列叫做偶排列， sgn(症 i n ） 1的排列订2
i n 叫做奇排列。

定理 3.2.1 :设卅2 i n ，j 1j 2 j n
是 1,2,
,n 的任意两个排
列，
那么总可以通过一系
列对换把是 吐 i n 变成jj j n 。

例：排列7523146包含的逆序对有
75、72、73、71、74、 76 ；
52、 53、 51、 54； 21 ；
a 〔1 x 〔 a 〔2 X 2
a 13X 3
定理： 821X 1 822 X 2 a 23X 3 0有非零解当且仅当系数行列式 D 0。

031X 1 a 32X 2 a 33X 3 0 证明：必要性：若齐次方程组有非零解，如果 D 0，由前面的定理，矛盾。

充分性:
若 D 0,注意
a 11 a 12 a 13
a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 =耳1
a 32 a 33 a 31 a 32 a 33
把产a 23
a 32 a 33 a 21 a 31 a 23 a 33 a 21 a 31
a 21 a 23
a 21 a 22
a 12 a 13
a 31 a 33 a 31 a 32 a 22）带入第2和第3个方程，容易验证它是方程组的解。

a 32 因此，如果 a 22不全为零，则定理得证。

a 32 如果 a 22 a 23 0, a 21 a 23 0, a 21 a 22
0,则並 a 32 a 33 a 31 a 33
a 31 a 32 a 31
a 22 a 32 a 23 a 33
022 a 32 011 X 1
013X 3 —。

原方程组实际上
a 33 等价于
a ?i X [
012X 2 a ?2 X 2
a 23X 3
0。

而该方程组一定有非零解（为什么？自己讨论） 0
31。

故逆序数为12。

§ 3 n阶行列式的定义一、n阶行列式的正式定义定义：数域K上的n阶行列式定义为
a11 a12 a1n
a21 a22
a n1 a n2 a2n
a nn
(1)皿"划內 2
j
1
j
2
j
n
其中对任意的i, j 1,2, n，a ij K。

通常记之为A 。

0 0 0 1
0 0 2 0 例1:
0 3 0 0
4 0 0 0 1 2 3 4 24
o
1 0 L 0 0 1 L 0
例2: L L L L 0 0 L 1
a21 0a120
0 0
a32 a33
a14
a24
0 0 a43 0
a b a2
b2
a s
b3
a4
b4
a5
b5
例4 :。

q C
2 0 0 0
a d2 0 0 0
e e2 0 0 0
0 例5:
L ai2 L
a22 L L L a2n a11a22 L a nn
a nn
§ 5、行列式的性质
a11 a1n
性质1:行列式行列互换，其值不变。

即
an a12 L a1n an a21 L a n1
a21 a22 L a2n a12 a22 L a n 2
L L L L L L L L
a n1 a n2
L a nn a1n a2n L a nn
性质2 :行列式某两行或列互换，其值变号。

推论：行列式有两行相同，其值为零。

性质3:行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。

推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。

推论：行列式有一行全为零，其值为零。

性质4:行列式有两行成比例时，其值为零。

性质5:行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。

性质6:将行列式的某一行
素上,其值不变。

（列）的所有兀素都乘以数k后加到另一行（列）对应位置的兀§ 6行列式按行展开
a11 a12
L a1n
定义1:在a21 a22 L a
2n
L L L L
a n1 a n2
L a nn
中，把位于i行，j列的元素划去后留下的n 1行列式叫做a y的余子式，记为M y。

而j M j叫做a j的代数余子式。

a11 a i2 a in
引
理：
证明: 1,2, ,(n a n 11
a n 12
a n 1n
a nn
a nn A nn。

注意j1 j2 j1n 的逆序数与j1j2 j n 1的逆序数的关系，其中j1j2j n 1是1）的一个排
列。

引理：在n阶行列式A中，若a y0，而对所有的k j，a i k0。

则A a j A j。

例13:
行列式的计算
1）一般方法：把它化为上三角行列式。

2） 递推法
例：计算下面行列式的值
例：计算下面行列式的值
a 11
a i2
a in
定理3:
a 21 L
a 22 L
a 2n
L
a i1
A 1
a i2
A 2
a in
A n
a n1
a n2
a nn
推论：如果i
则 a i1 A k1
a i 2
A k2
a in
A kn
厲2
0 a 21
a 22
0 0 G1
C 12
bi 2
021 C ?2
b 21 b ?2 G 31
C 32
b 31
^32
10:
bi3
b 23
^3
a n 2
a n 1
例12:
例10:
的元素后余下的元素按照原来的位置组成的行列式称为该子式的余子式。

记为
M(h,i 2, ,i k ； j 1, j 2, , j k )。

定义：A(i 1,i 2,, i k ； j 1, j 2, , j k ) ( 1厂
j1j2
人 M (hl,, i k ； j 2, , j k )叫做原
子式的的代数余子式。

2.拉普拉斯(Laplace)定理
定理：设在n 阶行列式D 中任意取定k 行，贝V 由这k 行元素组成的一切 k 阶子式与它们 的代数余子式的乘积之和等于
D 。

即
a o
ai
n 1
a °x
a n
a 。

1 0
x 1
0 0 a 1 1 0 0 a
x 1
x
1
a 2
x
1
a °
a n 2 0 0 1
0 0 0 1 a n 2 0 0 1 a n 1
0 0
x
x a
n 1
x
D n
1
n D n 1
a °x
补充 拉普拉斯定理
1.方阵中某 k 阶子式的余子式和代数余子式
定义1：
a n
a 12
L
a 21 a 22 L L L
L
a n1 a n2 L
中，选取位于 i 1、 i 2、…
i k 行, j 1、 j
2、…、j k
列的元素构成的行列式 D(i 1, i 2, ,i k ； j 1, j 2, , j k )叫做原行列式的 k 阶子式。

划去这些行列 a nn
a 2n L
a 1 n
D
D(i 1,i 2,,i k ； j 1, j 2, , j k ) ( 1严 ik j1 j2 jk M(i 1,i 2,,i k ；j 1, j 2, , j k )
j 1 j 2 j
k
3.拉普拉斯(Laplace)定理的应用
例2 :计算
an ai 2 a in 0 0 0 a 2i a 22 a 2n
0 a ni
a n 2 a nn
0 0 0 1 0 0 bi 1 t>12 bl n
1
b ^1 b 22
b 2n 0 0 1
b n2
b nn
证明：构造
a 11
a 12
a 1n
0 0 0 a 21 a 22 a 2n
0 0 0 a n1 a n2 a nn
0 1
0 0 b n
b l2
bi n
1
p1
b 22
t bn 0 0 1 b n1 b n2
bn
n
§ 7克拉默法则
线性方程组的有关概念 定理：克拉默法则
5
G2 L
Gn
a l1 a 12
L a 1n
b 12
L bi n
c 21
C 22
L c 2n
a 21 a 22 L a 2n
b 21 b 22
L b 2n L
L
L L
L
L
L L
L L
L L C n1
C n2
L
C nn
a n1
a n2
L
a nn
b n1 b n2
L
b nn
1b 1 j
a i2
b 2j
a in
b r
j。

定理:
这里q a j
a 〔1 X 1
a 12X 2 a 1 n X n
推论：齐次线性方程组
a ?1 X [ a ?2 X 2
a 2n X n
( 1)有非零解当且仅当系数行列
a n1X 1
a n2X 2
a nn X n
式为零。

证明：必要性。

若齐次线性方程组有非零解，由克拉默法则，系数行列式为零。

充分性。

若系数行列式为零，利用归纳法。

当n 2时，结论成立。

假设k n 1时，结论成立。

现在证明 k n 时，结论成立。

非零解。

例1：求一个二次多项式f (X )，使得f(1) 1，f( 1) 9，f(2) 3。

不妨设a 11
0。

把方程化为
a 11X 1
0 X 1 a 12X 2
b 22x 2
a 1n X n
b 2n X n
(2)。

b n2X 2
b nn X n
其系数行列式为
a 11
b nn
b 22x 2
b 2n X n 注意方程
b 32X 2
b 3n X n
b n2X 2
b nn X n
S
b
23
L b 2n
^2 b 33
L b 3n
L L
L
L
bn 2 b n3 L
b nn
a 11 a 21 L
(3)的系数行列式
a i2 a 1 n
a 22 L
a 2n
L
a n2
a n1
有非零解。

因此
1) 有非零解。

9ii X i
a 〔2X a in X n
推论：在齐次线性方程组
a 21X l
a ?2 X 2
a 2n X n
( 1)中，若m n ，则它有
a m1 X 1 a m2X 2
a mn X n
所以(3)有非零解，从而
b n2
a11x1 a12 x2 a33x3 a14 x4
a21x1 a22 x2 a33x3 a24 x4 0的系数行列式为零，证明x1 A11，x2 A12 ，例2：若
a31x1 a32 x2 a33x3 a34 x4 01 11 2 12
a41 x1 a42 x2 a43x3 a44 x4
x3 A13，x4 A14 是它的一个解。

第二章 矩阵
§ 1 矩阵
1．矩阵的定义
定义1 :数域K 上的m n 矩阵为m 行n 列的数表
a 11 a 12
...
a 1n
a 21 a 22
...
a 2n
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
a m1 a m2 ... a mn
记为
A {
a
ij }m n 或者
A m n。

a ij 叫做矩阵A m n 的第i 行j 列的元。

对角元素。

当
m = n ，矩阵A n n 叫做n 阶方阵。

实矩阵与复矩阵。

[ 矩 阵 的 相 等 ] m n 矩 阵 A (a ij ) 与 B (b ij ) 是 相 等 的 ， 若 a ij b ij
( i 1,2,..., m, j
1,2,..., n )。

[零矩阵]若a j
0( i 1,2,..., m, j 1,2,..., n )，则称矩阵A 佝)为零矩阵。

[负矩阵](a ij )m n 叫做矩阵A (a j )的负矩阵，记为
A 。

a 11
a
12 ... a 1n
a 11
a
12 ... a 1m .
..
a 1n 0
a
22 ...
a 2n
[ 上三角矩阵
] 形如
a 22 ... a 2m .
..
a 2n 和
0 0 ... a nn 的矩阵叫
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
0 ... a .
..
a mn
0 0
0 ...
做上三角矩阵。

a
11 0 ...
[ 对角矩阵 ]
n 阶方矩阵 E n
0 a
22 ...
叫做 n 阶对角矩阵。

00
n
§ 2 矩阵的运算
矩阵的加法】
a 11 a 12
... a 1n b 11 b 12
... b 1n
a 11
b 11 a 12 b 12 .
..
a 1n
b 1n
a 21 a 22 ... a 2n
b 21
+
b 22 ...
b 2n
=
a 21
b 21 a 22 b 22 .
..
a 2n
b 2n
a m1 a m2
... a
mn
b m1 b m2
... b
mn
a m1
b m1
a m2
b m2 .
..
a mn
b mn
矩阵与数的标量乘法】
a 11
a
12 ... a 1n k a 11
k a
12 .. .k a 1n
a 21
k
a
22 ...
a 2n k a 21
k a
22 ..
.k
a 2n
a m1
a m2 ...
a mn k a m1
k a m2 .. .k
a mn
命题： 对数域 K 上的任意 m n 矩阵 A 、 B 、C ，以及任意的k,l
K ,有
1) A
(B C) (A B) C
BA A
8) 【矩阵的乘法】
定义：对数域K 上的任意m n 矩阵A & ) ,n r 矩阵B (b j )，定义A B (C j )。

其中
c ij a
i1b
1j
a i2
b 2j ... a in b nj (i 1,2,..., m, j 1,2,..., r )。

命题： 1)矩阵的乘法满足结合律：
A(BC) (AB)C ；
[ 单位矩阵 ] E n
10 01
叫做 n 阶单位矩阵。

2) 3) 4)
( A)
5) k(l A) (k l) A
6) (k l)A
7) k(A B)
2) A(B C) AB AC (A B)C AC BC 3) (AB) (A)B A( B)
4) A E E A A （A 为n 阶方阵）
矩阵的方幕
【矩阵的转置】
a ii a 21 ・・・a
m1
定义：n m 矩阵
a i2
a 22
叫做m n 矩阵A （a j ）的转置矩阵，记为A T 。

a i n
a 2n
・・・ a
mn
命题：1）（A T ）T A
2) (A B)T A T B T ; 3) (kA)T k A T ； 4) (AB)T B T A T 。

【方阵的行列式】
a 12
.
a 1n
定义：行列式
a 21 a 22 a 2n
叫做n 阶方阵A （a j ）的行列式。

记为 A 。

a n1 a n2 a nn
命题：1) A T A
2) A n A ； 3)
AB AB ;
4) (AB)T B T A T 。

§ 3逆矩阵
1矩阵的定义
定义：数域K上的m n矩阵为m行n列的数表
an a12 . a1n
a21 a22 . a2n
a m1 a m2
. ..a mn
记为A {a j}m n或者A m n。

a ij叫做矩阵A m n的第i行j列的元。

对角元素。

当m = n，矩阵A n n叫做n阶方阵。

行列式a ii
a21
a i2
a22
a i n
a2n
叫做n阶方阵A (a j)的行列式。

记为
a n1 a n2
m n矩阵A (a j)与B (b )是相等的，若a ij b ij
(i 1,2,..., m, j 1,2,..., n )。

［零矩阵］若a j 0( i 1,2,..., m, j 1,2,..., n )，则称矩阵A 佝)为零矩阵。

［负矩阵］(a n )m n叫做矩阵A (a j)的负矩阵，记为A。

a)1 ai2 ..
. a1m
［上三角矩阵
］形如
a22 ..
.
a2m
0 0
..
. a mm
做上三角矩阵。

a11
0 ［对角矩
阵］
n阶方矩阵E n0 a22
0 0
an
a12 ...
a22 ...
a(n
a2n
a n
a2n 和
0 0 ...
a nn的矩阵叫
a mn
0 0 0
0 0 0
0 叫做n阶对角矩阵。

a nn
为 A T。

[ 单位矩
阵 ]
E n
叫做 n 阶单位矩阵。

a 11 a 21
[ 转置矩阵 ]
m 矩阵
a 12 a 22 ... a m2 叫做 m
n 矩阵 A (a ij ) 的转置矩阵，记
a 1n a 2n
a 11 a 12
... a 1n
b 11 b 12
... b 1n
a 11
b 11 a 12 b 12 .
..
a 1n
b 1n
a 21 a 22
... a
2n
+ b
21
b 22 ... b 2n =
a 21
b 21 a 22 b 22 .
..
a 2n
b 2n
a m1 a m2
... a
mn
b m1 b m2
... b
mn
a m1
b m1
a m2
b m2 .
..
a mn
b mn
[ 矩阵与数的标量乘法 ]
a 11
a
12 ... a 1n k a 11
k a
12 .. .k a 1n
a 21
k
a
22 ...
a 2n k a 21
k a
22 ..
.k
a 2n
a m1
a
m2 ...
a mn k a m1
k a
m2 ..
.k
a mn
命题： 对数域 K 上的任意 m
n 矩阵A 、
B 、
C ，以及任意的 k,l
K ，有
1) A
(B C) (A B) C
]
2．矩阵的运算 [ 矩阵的加法
2) 3) BBA
0A
4)
( A)
5) k(l A) (k l) A
6) (k l)A 7) k(A B)
矩阵的乘法
定义：对数域K 上的任意m n 矩阵A & ) ,n r 矩阵B (b j )，定义A B (q )。

其中 c j a i1b 1j a i2b 2j ... a in b nj
( i 1,2,..., m, j 1,2,..., r )。

命题：1)矩阵的乘法满足结合律： A(BC) (AB)C ;
2
)A(B C) AB AC (A B)C AC BC 3
)(A B)T A T B T 4) (kA)T k A T
5) (AB)T B T A T 。

6
)A E E A A ( A 为n 阶方阵)
3.矩阵的初等变换：初等行变换，初等列变换
初等行变换：1)交换两行的位置；
2) 用一个数乘以某一行；
3) 用一个数乘以某一行后加到另一行。

§ 4矩阵分块法
a n2
m n 矩阵A (a j )与B (h j )是相等的，若a j b j
(i 1,2,..., m, j 1,2,..., n )。

1.矩阵的定义
定义：数域
K 上的m n 矩阵为m 行n 列的数表
记为A {a j }mn 或者A m n 。

a ij 叫做矩阵 a 11 a 21
a m2 a mn
A m n 的第i 行j 列的元。

对角元素。

当 m = n ，矩阵A n n 叫做n 阶方阵。

行列式
a 11 a 21
a 12 a 22
a 1 n a 2n
叫做n 阶方阵A (a j )的行列式。

记为 A 。

a nn
[零矩阵]若a j 0 ( i 1,2,..., m, j 1,2,..., n )，则称矩阵A 佝)为零矩阵。

a
mm
做上三角矩阵。

为 A T。

2．矩阵的运算 [ 矩阵的加法 ]
a 11
a 12 .
..
a 1n
b 11 b 12 .
..
b 1n
a 11
b 11
a 12
b 12 .
..
a 1n
b 1n
a 21 a 22 .
..
a 2n
b 21
+
b 22 .
..
b 2n a 21 b 21 a 22 b 22 .
..
a 2n
b 2n
a m1 a m2 .
..
a mn
b m1
b m2 .
..
b mn a m1 b m1 a m2 b m2 .
..
a mn
b mn
[ 矩阵与数的标量乘法 ]
[ 对角矩阵 ]
阶方矩阵
a 22
0
n E n
叫做 n 阶对角矩阵。

... a nn
1 0 .. .0
0 1 ..
.0
[ 单位矩阵 ]
E n
叫做 n 阶单位矩阵。

0 0 .. .1
a 11 a 21
... a m1 [ 转置矩阵 ]
n m 矩阵
a 12 a 22
■ ■ ■
a
m2 叫做m n 矩阵A (a j )的转置矩阵,
a 1n a 2n
a mn
a 11
记
[负矩阵](a j )m n 叫做矩阵A
(a ij ) 的负矩阵，记为 A 。

a 11
a 12
a 1n
[ 上三角矩阵
a 11
] 形如 0
a 12
a 22 a 1m
a 2m a 1n
a 22
a 2n
a 2n
a nn 的矩阵叫 0
a
mn
a12 ... a1n k a11 k a12 ... k a1n
a11
a22 ... a2n k a21 k a22 ... k a2n
a21 k
k a m2 ... k a mn
a m1 a m2...a mn k a m1
命题：对数域K 上的任意m n 矩阵A、B、C，以及任意的k,l K ，有
1) A (B C) (A B) C
2) A B B A
3) A 0 A
4) A ( A) 0
5)k(l A) (k l) A
6)(k l)A k A l A
7)k(A B) k A k B
8 ) 1 A A 。

矩阵的乘法
(c ij ) 。

定义：对数域K上的任意m n矩阵A & ) ,n r矩阵B (b j)，定义A B
其中
c ij a i1b1j a i2b2j ... a in b nj (i 1,2,..., m, j 1,2,..., r )。

命题：1)矩阵的乘法满足结合律：A(BC) (AB)C ；
2) A(B C) AB AC (A B)C AC BC
3) (A B)T A T B T
4)(kA)T k A T
5)(AB)T B T A T。

6 ) A E E A A ( A为n阶方阵)
3．矩阵的初等变换：初等行变换，初等列变换
初等行变换：1)交换两行的位置；
2)用一个数乘以某一行；
3)用一个数乘以某一行后加到另一行。

第一章向量代数
§1 向量的线性运算
一．向量的基本概念
1．向量的概念、有向线段、向量的表示
2．向量的长度或模、单位向量、零向量、负向量二．向量的运算
1．向量的加法定义——平行四边形法则、三角形法则加法的性质
2．向量的减法
3．向量的标量乘法标量乘法的定义，标量乘法的性质
§ 2 向量的共线与共面
1．共线与共面的含义
2．共线与共面的判断和性质
命题（1）如果存在实数k，使得a k b，则a与I D共线；（2）如果v与Z共线并且
b 0，则存在唯一的实数k，使得a k I D 。

命题如果存在实数k,m，使得v k a m I D，则£、b、C共面。

命题如果a、b、c共面，并且v与b不共线，则存在唯一的实数对k,m，使得
v
vv
c k a m b。

3．线性相关与线性无关线性相关与线性无关的定义命题、、的等价描述。

问题：若一组向量线性相关，再加进一个向量后还是否线性相关？若一
组向量线性无关，去掉一个向量后还是否线性无关？
4．自由向量、位置向量、空间点与向量的一一对应
3．向量的线性关系与线性方程组
命题：取定空间仿射标架[O ；e 1,e>,e],对任意三个向量v 、b 、C ,设
线性相关当且仅当
a 11x 1
a 12x 2
a 13x 3 0
a 21x 1
a 22 x 2 a 23x 3
a 31x 1
a 32x 2
a 33x 3
有非零解。

对任意三个不共面的向量
v a 、 b v
、 c v
， b 、 c ，
向量 d v
可被它们线性表示与线性方程组解的关
系。

命题 推论 命题 推论
第三章 线性方程组
§ 1 n 维向量空间
定义：数域K 中n 个数组成的有序数组(a 1,a 2,...,a n )称为数域K 上的一个n 维向量。

a i 称为该向量的分量。

记 (a 1,a 2,..., a n ) a v 。

(0,0,...,0) 叫做零向量。

向量 ( a 1, a 2,..., a n ) 叫做向量 佝赴,…〜*) a 的负向量。

记为 a ( a 1, a 2,..., a n )
定义：数域 K 中两个向量 a v (a 1,a 2,...,a n ) b (b 1,b 2,...,b n ) 叫做相等的，若对所有的
v
v
i 1,2,..., n ,都有 a i b i 。

这时记 a b 。

定义：对数域 K 中的任意两个向量 a (a 1,a 2,..., a n )、b (t i ,b 2,..., b n )，定义
a b (a 1 b 1,a 2 b 2,...,a n b n )。

v v v v
a b 叫做a 与b 的和。

定义：对数域 K 中的任意向量 a v ( a 1, a 2 ,..., a n ) 、任意 k K ，定义 k a
v v v a a 11e 1 a 21e
2
a 31e v 3，
b v
v a
12e 1
v a 22e
2
v v v v v v v
a 32e 3 ， c a 13e 1 a 23e 2 a 33e 3 。

则 a 、 b
、
(ka1,ka2,...,ka n )。

k a 叫做a与k的标量乘法。

命题：对数域K 中的任意向量a v、b v、c v，以及任意的k,l K ，有1) a (b c) (a b) c
2)v a v
b v
v
ba
3)v
a 0
v
a
4)v a (a v) 0
5)k(l v
a ) (kl)a v
6)(k l) v v v
a k a l a
7)k(a v v v v b) k a v k b
8) 1 a v v a。

定义：数域K中的全体n维向量a (a1,a2,..., a n)关于上面定义的加法和标量乘法构
成数域K上的n维向量空间。

记为K n。

定义：数域K上的n维向量空间K n的一个非空子集W叫做K n的线性子空间，如果它满足下面的性质：
1)对任意的a、b K n，有a b K n；
2)对任意的a K n和任意的k K,有k a K n。

命题：n维向量空间K n的任意有限个线性子空间的交仍然是K n的线性子空间。

所有的n维向量空间K n以及它的任意线性子空间通称为向量空间。

命题：对于向量空间K n中的向量曲、a2、…、a m，定义
v v v v v v
L(a i, a2 ,・・・,a m) { k i a i k2a2 ... k m a m I k i K, I 1,2,・・・,m}
则L(O V1,SI2,..., a m)是K n的子空间。

称为由a、a、…、O m张成的线性子空间。

§ 3 用消元法解线性方程组
三个例子:
2x 1 X 2 3x 3 1 1)
4x-| 2x 2 5x 3 4
2x 1
1x3 6
2x-i X 2 3x 3 1
2)
4x-| 2x 2 5x 3 4
2x-| X 2 4x 3
1
2x_j X
2 3x
3 1 3)
4x_j 2x 2
5X 3
4
2x-| X 2 4X 3 0
2X 1 X 2 3X 3 X 2 x 3 5 3x 3 2x 1
2x 1
18 1.线性方程组与矩阵
系数矩阵增广矩阵
线性方程组的矩阵形式
Q1X 1 812X 2
线性方程组
X 3 0 X 2
X 3
a 1n x n
3X 3 2
3X 3
2
b
b 2
a 11 812
8m1 X l
… 81n
8m2X 2
8m n X n
b m
811 812
■-
81n
b
系数矩阵821
822 … 82n
增广矩阵
821
822
■■
82n
a m1
a m2
(8)
mn
8m1
8m 2
■■
8mn
b m
811 812 ・・・ 8
1n
X 1
bi
线性方程组的矩阵形式
821 822 ・・・ 8
2n
X 2
b 2 或 A>
c b
8m1 8m2 … 8mn
X m
b m
2.线性方程组的初等变换
线性方程组的初等变换的定义。

命题：线性方程组的初等变换把线性方程组变成和它同解的方程组。

3 •阶梯形方程组与行阶梯矩
阵 定义（149页）： 821X
1
822X 2
a 2n X n
注意：对方程组作一个初等变换等价于对它的增广矩阵作一个同样的初等行变换。

a 〔1 X
a 13X 3
b 1 不X 1 812X 2 a 13X 3 b 1
a ?1 x
〔 a ?2 X 2
a 23X 3
b ? —►
a ：1 x 〔 a ：2 X 2
a 23X 3
b 2
a 32X 2
a 33X 3
b 3
(a
31
ka 11
)x
1
@32 ka 12)x 2
(a 33
ka 13)X 3 b s kd
a 11
a 12
a 13
b 1
a 11
a 12 a 13
b 1
a 21
b
a 23
b 2
a 22 a 23 b
2
a 21 a 22 a 31 a 32
a 33
b a
a 31
ka 11
a 32
ka 12
a 33
ka 13 b 3
4•消元法和将矩阵用初等行变换化为行阶梯矩阵
命题：任一线性方程组都可以用初等变换化为阶梯形方程组。

命题（154页）：任一矩阵都可以用初等行变换化为行阶梯矩阵。

5 •判断方程组解的情况
a 〔1 x 〔
a i2X 2
a 1n X n
a
定理（160页）：线性方程组
a
21X 1
a ：2 X 2
a 2n X n
b
2
经初等变换化为阶梯形方
a m1X 1 a m2X 2
a mn X n
b m
程组后，
1 ）若阶梯形方程组出现“ 0 d ”其中d 0为常数，则原线性方程组无解；
2） 若阶梯形方程组不出现“ 0 d ”且阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的 个数n ，则原线性方程组有唯一解；
3） 若阶梯形方程组不出现“ 0 d ”且阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的 个数n ，则原线性方程组有无穷多个解。

§ 4 向量组的线性相关性
[ 教材 166 页 ]
定义：设a i 、a 2、…、a m ( m 1)是数域K 上的向量空间V 中的向量组，如果存在 K 中不全为零的数k !、k 2、…、k m ,使得k i a i
k ?》？ ... k m ^m 0，则称a 、a 2、…
推论（163页）：齐次线性方程组
a*n X i a^x ?
a 2i X i a ?2X 2
a m1X l a m2 X 2
方程组后，
1 ）若阶梯形方程组中实际方程的个数等于未知数的个数
2）若阶梯形方程组中实际方程的个数小于未知数的个数
6nX n 0
a 2n X n 0
2n n
经初等变换化为阶梯形
a mn X n
n ，则原方程组只有零解； n ，则原方程组有无穷多个解
a m 是线性相关，否则称为线性无关。

定义：设a ,、a 2、…、a m ( m 1)是数域K 上的向量空间V 中的向量组，如果存在
v v v v
K 中不全为零的数k ,、k 2、…、k m ，使得k 1a 1
k 2a 2 ... k m a m ，则称 可被a ,
02 、…、
0m 线性表示(线性表出) ,或者 是 01 、 02 、…、
0m 线性组合。

例1 例2 例3 ：包含零向量的向量组一定线性相关。

：由一个向量组成的向量组线性无关当且仅当该向量是非零向量。

：若向量组的一个部分组线性相关,则整个向量组线性相关；若向量组线性无关,
则向量组的任一个部分组线性无关。

命题 向量组a 、a 2、…、a m ( m 2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个 向量可以被其余向量线性表示。

推论 向量组a 、a 2、…、a m ( m 2)线性无关的充分必要条件是其中任何一个向 量都不能被其余向量线性表示。

命题 如果向量b 可以被向量组》、a 2、…、a m 线性表示，则表示方式唯一的充分必 要条件是
a 、》2、…、a m 线性无关。

命题 如果向量组01、a 2、…、a m 线性无关，而 以、a 、V 、…、a m 线性相关，则 向量b 可以被向量组01、02、…、a m 线性表示。

推论 如果向量组01、02、…、0m 线性无关，并且向量 b 不能被向量组01、02、…、 a m 线性表示，则b 、a 、器、…、0m 线性无关。

命 题 n 维 向 量 空 间 K n 中 的 向 量 b （b 1,b 2 ,..., b n ） 可 被 m 个 向 量
a i
(a 1i ,a 2i ,.. .,a ni ) (i
1,2,..., m ）线性表示当且仅当方程
a 11x 1
a 12x 2 a 1m x m
b 1
a 21x 1 a 22x 2
a 2m x m
b 2
a n1x 1
a n2x 2
a nm x m
b n
有非零解。

命题 n 维向量空间
n
a
K 中m 个向量a i
(a 1i ,a 2i ,...,a ni ) (i 1,2,..., m ） 线性相关当且
仅当方程
a11x1 a12x2 a1m x m 0
a21x1 a22x2
a2m x m 0
a n1x1
a n2x2 a nm x m 0 有非零解。

例 5. n 维向量
空
间K n的自然基向量 1 、 2 、…、n 是线性无关的。

这里
i （0,...1,...0）。

例 6. n 维向量空间K n个数超过n 的向量组一定线性相关。

例7. K n中n个向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是向量组的行列式不等于
0。

§ 5 向量组的秩
定义：设（I）={ a、a2、…、a s}, （n）={ b i、v、…、b t}是向量空间V中的两个向量组，如果向量组（I）中的每一个向量都能被向量组（n）线性表示，则称向量组（I）
可以被向量组（n）线性表示；如果向量组（I）和向量组（n）可以互相线性表示，则称向量组（I）和（n）线性等价。

命题（231页）:向量组（I）={ a > a2、…、a s}可以被向量组（n）={ b、b2、…、v v v v v v v
b t}线性表示的充分必要条件是L（a1,a2,...,a s） L（b i,b2,...,b t）。

向量组（I）和向量组（n）线性等价的充分必要条件是L（a a1,a a2,...,a a s） L（b a1,b a2,...,b a t）。

推论：如果向量组（I）可以被向量组（n）线性表示；向量组（n）可以被向量组（川）线性表示，则向量组（I）可以被向量组（川）线性表示。

定义（232 页）：向量空间V 中非零向量组的一个部分组称为极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去，得到的新的部分组是线性相关的。

命题：向量空间V 中非零向量组的极大线性无关组一定存在。

证明：
推论：向量空间V 中非零向量组的极大线性无关组一定和这个向量组本身等价。

弓I理（181页）:在向量空间V中，若（n）=｛b、b2、…、b s｝可以被向量组（I ）=｛曲、
a、…、a t｝线性表示，如果s t，则
b、b、…、b s线性相关。

证明：设b b j b a j 1a1 b a j 2a2
... a jt a b t( j 1,2,..., s)。

bb
则
x1b1 x2 b2
.
b
.. x s b s
s
x
j1
j ( a j1a1
b
a j 2a2...
b a jt a t)
s
( x j
j1 a j1 )a1
s
( x j
j1
b
a j2)a2 ...
s b
( x j a jt)a b t
j1
a11x1 a21x2 a s1 x s
考虑方程组a12 x1 a22 x2 a s2 x s 0
a1t x1 a2t x2 a st x s 0
因为s t,所以它有非零解。

即有不全为零的数x.\,x2,...,x s使得xQ x2b2 ... x s b s 0。

所以b、
b2、…、b s线性相关。

推论：在向量空间V中，若（n ）=｛ bi、b＞、…、b s｝可以被向量组（I ）=｛鲁、
a2、…、af t｝线性表示，如果b1、b2、…、b s线性无关，则st。

推论：向量空间V 中非零向量组的任意两个极大线性无关组都包含相同个数的向量。

定义：向量空间V 中非零向量组的极大线性无关组所含向量的个数叫做这个向量组的
秩。

向量组a1、a2、…、a s的秩记为rank｛a1、a2、…、a s｝。

推论：两个等价的向量组有相同的秩。

命题（233页）：向量组a1、a2、…、a s线性无关的充分必要条件是rank｛a1、a2、…、
a s } s 。

§ 6 矩阵的秩
定义：矩阵的行秩和列秩。

弓I 理：设 a 1、£、…、X s 是向量空间 K n 中的向量组，£ (a 1i , a 2i ,..., a ni ) (i 1,2,..., s)。

每个a i 都添上t 个分量(所添分量的位置对于 £、a 2、…、a s 都一样)，便得到K n '中的
向量组，称为原向量组的延伸组。

-^4- V
若
a 1
、
V
玄
a s
线性无关，则它的延伸组也线性无关。

a 11x 1
a 12x 2
a 1n x n 0
弓理 ：如果齐次线性方程组
a 21x 1 a 22x 2
a
2n x n 0
的系数矩阵的行秩 r n ，
a m1x 1
a m2x 2
a mn x n 0
那么它有非零解。

证明：不妨设系数矩阵的前
r 行线性无关。

则原方程经过初等变换可以化为
a 11x 1
a 12x 2
a 1n x n
0 a 21x 1 a 22 x 2 a 2n x n
0 a r1x 1 a r2x 2 a rn x n
该方程有非零解。

所以原方程有非零解。

定理 ：任意矩阵的行秩和列秩相等。

a 11
a 12 ...
a 1n
证明：设矩阵
A
a 21
a 22 ... a 2n
的行秩和列秩分别为 r 和r '。

不妨设矩阵的前
r 行线性无关，记
a m1 a m2 ...
a mn
v a
v i
(a i1,a i
2,...,a in )
，
v 则 x 1a v
1
v x 2a 2 . v
. x r a r 0 只有零解。

即
a 11x 1
a 21x 2 a r1x r
a 12x 1
a 22x 2 a r2x r
a 1n x 1 a 2n x 2 a rn x n
a in a 2n
... a
rn
的前r 列线性无关。

所以r r '。

同理可证r r '。

因此r r '。

定义：矩阵的行秩叫做矩阵的秩。

推论：rank （A T ） rank （A ）。

定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

定理：设矩阵A 经过初等行变换化为行阶梯矩阵 T ，则A 的秩等于T 的非零行的数目。

设T 的主元所在的列为j i 、j 2、…、j r ,则A 的第j i 、j 2、…、j r 列构成A 的列向量组 的一个极大线性无关组。

推论：设A 是n 阶方阵，则rank （A ） n AO 。

定理：一个m n 阶矩阵的A 的秩等于r 当且仅当 A 有一个r 阶子式不为零，而所有 r 1阶子式全为零。

§ 7 用矩阵的秩判断线性方程组解的情况
a l1 x 1
a^X ^ a ?2 X 2
a in X n a 2n X n
b l b 2
()
a m1 X 1 a m2X 2
a mn X n
b m
记A 为（）的系数矩阵， 脸（）
的增广矩阵。

定理 线性方程组（）有解的充分必要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，即 rank
（A ） rank （A ）。

证明：方程（）改写为
a 11
a i2
a in
b l
a 21
a 22 a 2n
a
x 2 ..
X n 。

a m1
a m2
a
mn
b m
定理 线性方程组（）有解时，如果它的系数矩阵的秩等于未知量的个数，则（）有唯 一解；如果它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，则（）有无穷多个解。

只有零解。

所以
a i1 a 21 a i2
a 22
a r1 a r2
的行秩等于r 。

不妨前r 行线性无关，由引理，矩阵A
推论：线性方程组()有唯一解的充分必要条件是rank ( A) ran( A%) n 。

()有无穷
多解的充分必要条件是rank (A) rank ( A%) n 。

推论：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。

§ 8 向量空间的基与维数
定义：设V是一个向量空间，V中的向量组a、a2、…、a m叫做V的一个基，如果V 中的任一向量都可以被a、a2、…、a m线性表示，并且表示方式是唯一的。

命题：V中的向量组a1、a2、…、a m是V的一个基当且仅当暮、丫2、…、盂线性无
关，并且V中的任一向量都可以被a、a2、…、a m线性表示。

定理：数域K上任一非零向量空间V都有一个基。

证明：首先证明对任意的n , K n有一个基恰好包含n个向量。

其次，证明对K n的任一非零子空间V都有一个基。

推论：数域K 上非零向量空间V 的任何两个基都包含相同个数的向量。

定义：数域K上非零向量空间V的基包含的向量个数叫做V的维数，记为dim K V。

零向量
空间V 的维数规定为0。

命题:设数域K上非零向量空间V的维数是r ,则V中任意r个线性无关的向量组是V 的一个基。

命题：设W、Z是向量空间V的两个非零子空间，如果W Z，则dimW dimZ。

命题：设W、Z是向量空间V的两个非零子空间，如果W Z且dimW dimZ , 则W Z。

命题：设(I) ={ v、a2、…、a s}是V中的非零向量组，则(I)的一个部分组是
极大线性无关组当且仅当它是L(a v1,a v2,...,a v s) 的一个基。

推论：设v、丫2、…、a s是V中的非零向量组，贝V
rank{ a v1、a v2、…、a v s} dim L (a v1 , a v2 ,..., a v s )
§ 9 齐次线性方程组解的结构
1．齐次线性方程组的解空间2．齐次线性方程组的基础解系3．齐次线性方程组的一般解4．基础解系的求法
a 11x 1 a 12 x 2
a 1n x n
0 命题 ：数域 K 上 n 元齐次线性方程组
a 21x 1 a 22x 2 a 2n x n
（） 解的集合
a m1x 1 a m2x 2 a mn x n
W { （C i ,C 2,..., C n ） | C|,C 2,...,C n 是方程组（）的解} K “是K “的子空间。

称为（）的解 空间。

定义：数域 K 上 n 元齐次线性方程组（）的非零解空间的一个基叫做（）的一个基础 解系。

定理：若数域K 上n 元齐次线性方程组（）的系数矩阵的秩
rank （A ） r n ，则它一
定有基础解系且基础解系包含的解向量的个数等于 n r 。

即 dimW n r 。

推论：对数域K 上n 元齐次线性方程组（），有dimW n r 。

§ 10 非齐次线性方程组解的结构、线性流形
定义：设Y 是数域K 上向量空间V 的非空子集，如果对任给v ，b Y 、任意的k 1,k 2 K 且k 1 k 2
1，都有k i ai k2lD Y 。

则称丫是数域K 上向量空间V 中的线性流形或仿射子 空间。

对比子空间的定义： Y 是向量空间 V 的子空间，如果对任给
a v
,b v
Y 、任意的
v
v
k 1,k 2 K ，都有 k 1a k 2b Y 。

定义：设Y i v W i 是数域K 上向量空间V 的线性流形（i 1,2 ）。

如果W | W 2或 W 2 W 1，则称这两个线性流形平行， 记为Y //%。

向量v 叫做和线性流形丫 a W 平行， 如果 b v W 。

记为 b v //Y 。

定理：数域K 上向量空间V 中的子集Y 是线性流形当且仅当它具有以下形式：
Y v 0 W {N o W I w W}
其中a 0是丫中任意取定的向量， W 是V 的线性子空间。

此外， W 被丫唯一确定。

W 叫做
线性流形丫的方向子空间。

W 的维数叫做线性流形 丫的维数。

定理：数域K 上n 元非齐次线性方程组如果有解，其解的集合
丫 { （C i ,C 2,..., C n ）丨 C |,C 2,...,c n 是方程组（）的解} K n
是 K n 的一个线性流形。

并且 丫 可表示为 丫 v 0 W ，其中 v 0 是非齐次线性方程组的一个 解；W 是对应的齐次线性方程组（导出组）的解空间。

推论：数域K 上n 元非齐次线性方程组如果有解，则解是唯一的充分必要条件是它的 导出组只有零解。

§ 11 几何空间中平面的仿射性质
F 1（x,y,z ） 0
定义：对 ? 3中的方程组
... （），记
F s （x, y,z ） 0
3
Z （F i ,...,F s ） { （x, y,z ） ? | （x, y, z ）是方程组（）的解}
称Z （R,…，F s ）是方程组（）的图象；而方程组（）叫做图象
Z （F i ,...,F s ）的方程。

命题： 几何空间中的子集是平面点集的充分必要条件是它是 ? 3中的 2维线性流形。

命题 几何空间中一次方程
Ax By Cz D 0 ， A,B,C 不全为零
的图象是一个平面。

反之，任何平面都是某个一次方程的图象。

Ax By Cz D 0
（ A,B,C 不全为零）叫做平面的一般方程。

(x 0, y 0,z 0)平行于平面Ax By Cz D 0 ( A, B,C 不全为
命题 已知两个平面
1） 1 与 2相交于一条直线的充分必要条件是两方程的一次项系数不成比例；
命题 几何空间向量 a v
零）的充分必要条件是
Ax 0
By 0
Cz 0
0。

1 ： A 1
x B 1y C 1z D 1 2 ： A 2
x B 2y
C 2z
D 2
(2)i与2重合的充分必要条件是
A B i
B2 C i
C2
D i
D2
(3)i与2平行的充分必要条件是A i B i
B2
C i
C2
D i
D2
平面方程的求法截距式方程三点式方程平面参数方程
§ 12几何空间中直线的仿射性质
命题：？3中的子集是直线的充分必要条件是它是？3中的1维线性流形。

v
命题：已知点M o(X0,y o,Z0)，向量(X,Y,Z)，过M o且平行于向量程为
X X o tX
y y o tY (t为任意实数)
Z Z o tZ
直线的标准方程
X X o y y o Z Z o
X Y Z
推论：经过点皿/人，％,^)，M2 (X2, y2, Z2)的直线的方程为
X X t y y Z Z
X2 x t y2 y i Z2 Z t
命题：由一般方程
A,X B t y C t z D t0
A,X B2y C2Z D20
确定的直线的方向向量为
(B i C i A C
i A B i)
(B2 C2 J A2 C2 J A2 B2) 命题：设直线L t通过M t(X,, y t, z t)，方向向量为v
的直线的方
(X i",Z i);直线L2通过
v
1
v
M 2 (x 2, y 2 , z 2 ) ，方向向量为 2 (X 2,Y 2,Z 2)。

则
uuuuu u r vv uuuuu u r v v （1） L i 与L 2异面的充分必要条件是
M i M 2 、 i 、 2 的混合积 (M i M 2, i , 2) 0；
uuuuu u r vv vv
（2） L i 与L 2相交的充分必要条件是 (M i M 2, i , 2
) 0 、 i 2 0；
uuuuu u r v vv
（3） L i 与L 2平行的充分必要条件是 M i M 2 i 0 、 i // 2 ；
uuuuu u r v v
（4） L i 与L 2重合的充分必要条件是 M i M 2// i // 2。

命题 :
设直线L 通过M 0( x 0, y 0, z 0) v
，方向向量为
（X,Y,Z ）;平面
的方程是
Ax By Cz D 0 ，则
（i ） L 与
平行的充分必要条件是
AX BY CZ 0
且
Ax
By 0
Cz 0 D
0 ;
（2） L 在 上的充分必要条件是
AX BY CZ 0 且 Ax 0 By 0 Cz 0 D
0;
（3） L 与
平行的充分必要条件是 AX BY CZ 0。

第四章矩阵的性质
§ 1 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
数域K 上全体n 阶方阵得集合记为 M n (K)。

定理：任意两个n 阶方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积。

a 12
.
a 1n
b 12
a ?1 a ?2
a 2n
b?1 b ?2
证明：设矩阵A
，B
a n1
a n2
a nn
b n1 b n2
Dn
b 2n b nn
a 11 a 21
a 12 a 22
构造矩阵D a n1 a n2
1 0
1
0 0
a 1n
0 0 .. .0 a 2n
0 0 .. .0 a nn
0 0 .. .0
0 b n
b l2
. b 1n
b 21
b 22
.
b 2n
1
01
b n2 .
b nn
由拉普拉斯(Laplace)定理,
D A B 。

现在对D 作初等变换，使得D 左上角的元素全变为零。

得到
0 0 ・0
C 11 C 12
・Gn
0 0 ・・
0 C 21 C 22
・・
C 2n
n 0 ...
C n1
C
n2
...
C nn
D 1 0 ・・0
・・bin 0 1 ・・0 b 21 b 22
・・
b 2n 0 0 ・・ 1
b n1
bn 2
...
b nn
(Laplace)
定理， 得
C 11 C 12 1
八
1
2
n (n 1)
2n C 21
C 22
D ( 1)
C n1 C n2
，其中 G n
p 2n
C nn
C j a ik b kj 1。

再次利用拉普拉斯
定义：对任意A
M n (K)，若 A
则称A 是非退化的。

否则称 A 是退化的。