云南省师范大学附属中学2016届高三数学适应性月考试卷(八)理(含解析)

云南省师范大学附属中学2016届高三适应性月考（八）数学一、选择题：共12题
1．已知集合,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查集合的运算和不等式的解法.
,或, 则.故选B.
2．已知复数(其中是虚数单位)是纯虚数,则复数的共轭复数是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查复数的概念.
若(其中是虚数单位)是纯虚数,则,解得
所以其共轭复数是.故选B.
3．已知三点不共线,若,则向量与的夹角为
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.锐角或钝角
【答案】B
【解析】本题主要考查向量加减法的几何意义.
表示以为邻边的平行四边形一条对角线的长,而
故选B.
4．已知,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查幂函数的单调性和定义域.
对于A,令;对于B,若则没有意义;对于C,令
则;对于D,由于在上是增函数,所以.故选D.
5．已知圆过坐标原点,面积为,且与直线相切,则圆的方程是A.
B.或
C.或
D.
【答案】C
【解析】本题主要考查圆的标准方程和性质.
设圆心坐标由圆的面积为,可得圆的半径为,则,解得或则圆的方程是
或.故选C.
6．已知某正四面体的内切球体积是1,则该正四面体的外接球的体积是
A.27
B.16
C.9
D.3
【答案】A
【解析】本题主要考查空间关系与距离,考查球的体积公式.
如图正四面体的两心重合,内切球半径为,外接球半径为R,设正四面体的每个面的面积为,则由等积法可得:,解得,该正四面体的外接球的体积是故选A.
7．一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的体积是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查三视图和几何体的体积计算.
由三视图可知,该几何体的左边是一个以俯视图中的半圆为底面的半圆锥,右边是一个以俯视图中的等边三角形为底面的三棱柱,它们的高都是2,所以,该几何体的体积是
.故选A.
8．运行如图所示的程序框图,如果在区间内任意输入一个的值,则输出的值不小于常数的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查程序框图和几何概型.
模拟程序运行:若输入的则输出的若输入的则输出的
故所求概率为.故选B.
9．已知为正实数,则是的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充分必要条件
【答案】D
【解析】本题主要考查函数的单调性,考查充分必要条件.
令,若所以内是增函数若为正实数,由得是的充分必要条件.故选D.
10．在中,角的对边分别为,若,则的面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题主要考查三角形面积的计算,考查余弦定理.
在中,作交于,设,则,因为,在中,由余弦定理得:,解得,所以
所以=,所以
的面积为
.故选
C.
11.
已知函数()
f x=，则
1212
,,
x x R x x
∀∈≠，12
12
|()()|
||
f x f x
x x
-
-
的取值范围是
（）
A．[0,)
+∞ B．[0,1] C．(0,1) D．[0,1)
【答案】D
【解析】本题主要考查双曲线的性质.表示等轴双曲线的上支,双曲线渐近线的斜率为,表示等轴双曲线上任意两点连线的斜率的绝对值,所以.故选D.
12．已知数列满足,且,则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查不等式的性质.由得,,由
得,,所以,,所以,综上,故选D.
二、填空题：共4题
13．二项式展开式各项系数和为 .
【答案】32
【解析】本题主要考查二项式定理.
令得二项式展开式各项系数和为.故答案为32.
14．已知,且为锐角,则 .
【答案】
【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系和倍角公式.
因为,且为锐角,所以,又,.
故答案为.
15．已知实数满足条件,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】本题主要考查线性规划.
作出可行域,如图中及其内部由,令, 显然,当直线最大,最大值是当直线最小,
最小值是.所以所以,,所以.故答案为
16．已知抛物线上一点,点是抛物线上的两动点,且,则点到直线的距离的最大值是 .
【答案】
【解析】本题主要考查直线的方程,考查直线与抛物线的位置关系.设则
所以,所以直线的方程:,因为点在抛物线上,,因为,所以所以
,所以,所以直线的方
程:+,所以直线恒过定点(8,4),则点到直线的距离的最大值是
故答案为
三、解答题：共8题
17．已知数列满足:.
(1)求数列的通项;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ)当时,,①
,②
由①−②得:,所以.
当时,也满足上式,
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)及得,
所以,所以,
所以,
.
以上两式相减得:
,
.
【解析】本题主要考查数列通项公式的求法和用错位相减法求和.(Ⅰ)由已知
,可得,当
时,,两式相减可得通项;(Ⅱ)由(Ⅰ)得
直接用错位相减法求
18．国内某大学有男生6000人,女生4000人,该校想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人,调查他们平均每天运动的时间(单位:小时),统
计表明该校学生平均每天运动的时间范围是,若规定平均每天运动的时间不少于2小时
的学生为“运动达人”,低于2小时的学生为“非运动达人”.根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计,得到如下列联表:
(1)请根据题目信息,将列联表中的数据补充完整,并通过计算判断能否在犯错误概率
不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关;
(2)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查该校的3名男生,设调查的3人中运动达人的人数为随机变量,求的分布列和数学期望及方差.
【答案】(Ⅰ)由题意,该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中,有60人为男生,40人为女生,据此列联表中的数据补充如下.
由表中数据得的观测值,
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下,可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关. (Ⅱ)由题意可知,该校每个男生是运动达人的概率为,故X ~,
X可取的值为0,1,2,3,
所以,
.
X的分布列为:
.
【解析】本题主要考查独立性检验的应用,离散型随机变量的分布列、数学期望和方差.
(Ⅰ)根据性别采取分层柚样的100人中,有60人为男生,40人为女生,据此易将列联表中的数据补充完整;计算,根据临界值表得出结论;(Ⅱ)每个男生是运动达人的概率为,分别计算0,1,2,3时的概率,得出分布列,根据分布列得到数学期望和方差.
19．如图,在底面为菱形的四棱锥中,平面为的中
点,.
(1)求证:平面;
(2)若三棱锥的体积为1,求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:如图,连接BD交AC于点O,连接OE,
因为点O,E分别为BD,PD的中点,,
又.
(Ⅱ)
.
因为底面四边形为菱形,,
.
如图,以O为原点,为,为建立空间直角坐标系,, 则.
设平面PBC的法向量为,
因为,
所以,,
.
又,AC,,
,
所以平面PAC的法向量为,
,
由图可知二面角A−PC−B的平面角是锐角,
所以二面角A−PC−B的余弦值为.
【解析】本题主要考查线面平行,考查用空间向量求解二面角.(I)要证线面平行,只需证线线平行,连结交于点,连结,证明由线面平行的判定定理可得结论;(II)由体积求出.以为原点,为,为建立空间直角坐标系,求出平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式可得结论.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为,且,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,圆为椭圆上异于顶点的任意一点,点在圆上,且轴,与在轴两侧,直线分别与轴交于点,记直线
的斜率分别为,问:是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)由题意知,,
因为点在椭圆上,所以由椭圆的定义,
得,
,故椭圆C的方程为.
(Ⅱ)如图所示,设,且,
由题意,得圆O:.
因为点E在椭圆C上,点F在圆O上,
所以即,
因为,
所以,
所以直线与x轴的交点,直线与x轴的交点,
所以, 所以,
故为定值.
【解析】本题主要考查椭圆定义、性质、方程,考查直线与圆锥曲线的位置关系.
(Ⅰ)由焦点坐标可得,由椭圆定义可得,进而求出,得到椭圆方程;(Ⅱ)设出的坐标,由点E在椭圆上,点F在圆上,得到关系式,由点斜式写出直线的方程,得到点
求出,即得结论
21．已知函数在点处的切线为.
(1)求函数的解析式;
(2)若,且存在,使得成立,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)的定义域为,,
所以所以,
所以.
(Ⅱ)可化为,
令,使得, 则,,
令,则,
在内为增函数.
又,
故存在唯一的使得,即.
当时,,
所以在内为减函数;
当时,,
在内为增函数.
,
,,
因为
所以的最小值为5.
【解析】本题主要考查导数的综合应用,考查函数的零点存在性定理.(Ⅰ)求出的导数,求得切线斜率和切点,由切线方程可解得的值,得到解析式;(Ⅱ)可转化为
的最小值小于令,则
,令,利用导数研究其单调性,根据零点存在定理可知:函数在内有零点,且在上有唯一零点,即可得出的最小值,即得结论.
22．如图,是边上的一点,内接于圆,且是的中点,的延长线交于点,证明:
(1)是圆的切线;
(2).
【答案】证明:(Ⅰ)如图,连接CO与⊙O交于点G,连接GD.
因为是⊙O的直径,
所以.
因为,
所以,即,
所以BC是⊙O的切线.
(Ⅱ)如图,过点D作AC的平行线交BF于H.
因为,所以,
.
因为E是CD的中点,.
因为BC与⊙O切于点C,BDA为⊙O的割线,
所以由切割线定理,得,
所以即
【解析】本题主要考查圆周角定理、切割线定理、相似三角形的判定与性质.(Ⅰ)连接
,连接,由直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等,可得
,即得结论;(Ⅱ)过点作的平行线交,可得相似三角形,得对应边成比例,再利用切割线定理得到等积式,几式联立可得结论.
23．在平面直角坐标系中,曲线为参数),其中,以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,射线,设射线与曲线
交于点,当时,射线与曲线交于点;当时,射线与曲线交于点
.
(1)求曲线的普通方程;
(2)设直线为参数,)与曲线交于点,若,求的面积.
【答案】(Ⅰ)因为曲线的参数方程为(为参数),且,
所以曲线的普通方程为,
而其极坐标方程为.
因为将射线l:代入曲线,
得,即点P的极坐标为;
将射线l:代入曲线,
得,即点Q的极坐标为.
又,即或.
因为将射线l:代入曲线, 得,即点P的极坐标为,
又.
因为,
所以曲线的普通方程为.
(Ⅱ)因为直线的参数方程为(t为参数,), 所以直线的普通方程为,
而其极坐标方程为,
所以将直线代入曲线,
得,即.
因为将射线l:代入曲线,
得,即,
所以设的面积为S,
.
【解析】本题主要考查参数方程化为普通方程,进而化为极坐标方程,考查三角形面积公式.(Ⅰ)将曲线的参数方程消去参数化为普通方程,进而化为极坐标方程,将射线的方程与其联立,求得的值,即得曲线的普通方程;(Ⅱ)将直线的参数方程消去参数化为普通方程,进而化为极坐标方程,将曲线的方程与其联立,求得的值,代入三角形面积公式可得结论.
24．已知.
(1)关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)设为正实数,且,求证:.
【答案】(Ⅰ)由题意,得,
所以在上是减函数,
在上是增函数,在上是增函数,
所以对于任意都有,
又因为不等式恒成立,即,
.
(Ⅱ)证明:,
,
因为m,n,p,q为正实数,
.
【解析】本题主要考查绝对值不等式及恒成立问题,考查用作差法证明不等式.(Ⅰ)根据绝对值的代数意义,化简,分段讨论其单调性,得到最小值,恒成立,可转化为小于等于最小值,解不等式即得结论;(Ⅱ),利用作差法即可证明不等式.。