2019-2020学年广西桂林市高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年广西桂林市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．设集合{}
2A x x =>，则（ ） A ．3A ∉ B ．5A ∈
C ．2A ∈
D ．0A ∈
【答案】B
【解析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】
{}2A x x =>Q ，3A ∴∈，5A ∈，2A ∉，0A ∉.
故选：B. 【点睛】
本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
2．如图在三棱柱111ABC A B C -中，下列直线与1AA 成异面直线的是（ ）
A ．1B
B B ．1CC
C ．11B C
D ．AB
【答案】C
【解析】根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线1AA 的位置关系，可得出结论. 【详解】
由在三棱柱111ABC A B C -中，
11//BB AA ，11//CC AA ，11B C 与1AA 异面，1AA AB A =I . 故选：C. 【点睛】
本题考查异面直线的判断，要理解空间中直线与直线的三种位置关系，考查推理能力，属于基础题.
3．函数()1
1f x x
=
-的定义域为（ ） A ．{}
1A x x => B ．{}
1A x x =<
C ．{}
1A x x =≠
D ．{}
1A x x ==
【答案】C
【解析】根据分式分母不为零可得出函数()y f x =的定义域. 【详解】
由题意可得10x -≠，解得1x ≠，因此，函数()1
1f x x
=-的定义域为{}1A x x =≠. 故选：C. 【点睛】
本题考查具体函数的定义域，一般结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
4．过两点()4,A y ，()2,3B -的直线的倾斜角为45︒，则y =（ ）． A ．3
-
B ．
32
C ．-1
D ．1
【答案】C
【解析】由题意知直线AB 的斜率为tan 451AB k =︒=，
所以
33
1422
y y ++==-， 解得1y =-．选C ．
5．下列图象中，可以表示函数()y f x =的图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据函数定义中x 与y 之间的对应关系为一对一或多对一的形式判断即可.
【详解】
A 、
B 、D 三个选项中x 与y 之间的对应关系存在一对二的情况，不符合函数的定义，
C 选项中x 与y 之间的对应关系为一对一或多对一，符合函数的定义. 故选：C. 【点睛】
本题考查函数图象的判断，应结合函数的定义来判断，考查推理能力，属于基础题. 6．函数()3
f x x =的图象（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于直线y x =对称
D ．关于原点对称
【答案】D
【解析】根据定义判断函数()3
f x x =的奇偶性，即可得出结论.
【详解】
函数()3
f x x =的定义域为R ，且()()()3
3f x x x f x -=-=-=-，
因此，函数()3
f x x =为奇函数，该函数的图象关于原点对称.
故选：D. 【点睛】
本题考查函数图象对称性的判断，本质上就是判断函数的奇偶性，考查推理能力，属于基础题.
7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】【详解】
详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形
故俯视图为
故选A.
点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

8．方程ln 260x x +-=的实数根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
【答案】C
【解析】设()ln 26f x x x =+-，利用零点存在定理即可判断出该函数零点所在的区间，由此可得出结论. 【详解】
设()ln 26f x x x =+-，由于函数ln y x =和26y x =-在区间()0,+∞上均为增函数，
所以，函数()ln 26f x x x =+-在区间()0,+∞上为增函数，
()140f =-<Q ，()2ln 220f =-<，()3ln30f =>，
由零点存在定理可知，方程ln 260x x +-=的实数根所在的区间为()2,3. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用零点存在定理判断方程的根所在的区间，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
9．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.50.2c =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】B
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0和1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 这三个数的大小关系. 【详解】
对数函数2log y x =在()0,+∞上为增函数，所以，22log 0.2log 10a =<=； 指数函数2x
y =为增函数，则0.20221b =>=；
指数函数0.2x y =为减函数，则0.5000.20.21<<=，即01c <<. 因此，a c b <<. 故选：B. 【点睛】
本题考查指数式与对数式之间的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 10．为了得到函数2
lg
10
x y -=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D
【解析】将所得函数解析式变形为()2
lg lg 2110
x y x -==--，然后利用函数图象的平移法则可得出结论. 【详解】
()2
lg
lg 2110
x y x -==--Q ，为了得到函数2lg 10x y -=的图象，只需把函数lg y x
=的图象上所有的点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度. 故选：D. 【点睛】
本题考查函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题.
11．若m
n 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若//,m n n α⊂，则//m α
B ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n
C ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥
D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥
【答案】C
【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断． 【详解】
对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误；
对于B ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；
对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确；
对于D ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题． 12．设函数()()
2
1
ln 11f x x x
=+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
U
B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U
【答案】B
【解析】分析出函数()y f x =为R 上的偶函数，且在[
)0,+∞上为增函数，然后利用偶函数的性质得出()()21f x f x >-，进而得出21x x >-，解此不等式即可. 【详解】
函数()(
)
2
1
ln 11f x x x =+-
+的定义域为R ，关于原点对称， 且()()()
()()2
2
11
ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--
=+-
=++-，该函数为偶函数， 当0x ≥时，()()2
1
ln 11f x x x
=+-
+， 由于函数()1ln 1y x =+在[
)0,+∞上为增函数，函数22
1
1y x =+在[)0,+∞上为减函数，
所以，函数()()
2
1
ln 11f x x x
=+-+在[)0,+∞上为增函数， 由()()21f x f x >-得()()21f
x f x >-，21x x ∴>-，即()
2
221x x -<，
化简得()()3110x x --<，解得1
13
x <<.
因此，使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，分析出函数的单调性和奇偶性是解答的关键，此外，在处理有关偶函数与单调性的问题时，可利用偶函数的性质()()
f x f x =来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题
13．()22,0
,0
x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则()2f =________.
【答案】0
【解析】根据分段函数()y f x =的解析式即可计算出()2f 的值. 【详解】
()22,0,0
x x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩Q ，()2
22220f ∴=-⨯=.
故答案为：0. 【点睛】
本题考查分段函数值的计算，在计算时要结合自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题.
14．.直线10x y --=与10x y -+=之间的距离是 ▲
【解析】
= 15．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发
明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N = ⇔ log a b N =. 现在已知23a =， 34b =，则ab =__________. 【答案】2
【解析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算. 【详解】
∵23a =， 34b = ∴2log 3a =， 3log 4b = ∴23ln3ln4ln4log 3log 42ln2ln3ln2
ab =⋅=⋅== 故答案为2 【点睛】
底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：log log log b b c
a
a c
=将其转化为
同底数的对数式进行运算.
16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC ∆为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为_____________________．
【答案】【解析】分析：求出△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．
详解：△ABC 为等边三角形且面积为24
AB =AB=6， 球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：
O′C=
263=， 则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为6，
则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：3
163
故答案为：183
点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.
三、解答题
17．设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A . （1）求点A 的坐标；
（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程. 【答案】（1）()4,2A -；（2）2320x y +-=.
【解析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点A 的坐标； （2）求出直线3240x y -+=的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. 【详解】 （1）由210
4310
x y x y -=⎧⎨
+=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，因此，点A 的坐标为()4,2-；
（2）直线3240x y -+=的斜率为32，垂直于直线3240x y -+=的直线斜率为2
3
-，
则过点()4,2-且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程为()2
243
y x +=--，
即：2320x y +-=. 【点睛】
本题两直线交点坐标的计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题. 18．已知集合{}13A x x =<<，集合{{}
21B x m x m =<<-， （1）当1m =-时，求A B I ，A B U ； （2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）{}
12A B x x ⋂=<<，{}
23A B x x ⋃=-<<；（2）(],2-∞-. 【解析】（1）将1m =-代入集合B ，利用交集和并集的定义可计算出集合A B I ，
A B U ；
（2）根据A B ⊆得出关于实数m 的不等式组，解出即可. 【详解】
（1）当1m =-时，集合{}
22B x x =-<<，
Q 集合{}13A x x =<<，因此，{}12A B x x ⋂=<<，{}23A B x x ⋃=-<<；
（2）Q 集合{}
13A x x =<<，集合{}
21B x m x m =<<-，A B ⊆，
2113
m m ≤⎧∴⎨-≥⎩，解得2m ≤-，因此，实数m 的取值范围是(],2-∞-. 【点睛】
本题考查交集、并集的计算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 19．已知函数()[]()2,61
m
f x x x =
∈-，()31f =. （1）求实数m 的值；
（2）用定义证明()f x 的单调性，并求出其最大值和最小值. 【答案】（1）2m =；（2）证明见解析，最大值是2，最小值是2
5
. 【解析】（1）由()31f =可求出实数m 的值；
（2）任取1x 、[]22,6x ∈且12x x <，作差()()12f x f x -，通分后判断差值的符号，即可证明出该函数在区间[]2,6上的单调性，进而求出该函数的最大值和最小值. 【详解】
（1）()31f =Q ，()3131
m
f ∴=
=-，因此，2m =； （2）设1x 、2x 是区间[]2,6上的任意两个实数，且12x x <， 则()()()()()()()()()
212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x ---⎡⎤-⎣
⎦-=-==------， 由1
226x x ??，得210x x ->，()()12110x x -->，
于是()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.
所以，函数()21f x x =
-是区间[]2,6上的减函数， 因此，函数()21f x x =-在区间[]2,6的两个端点分别取得最大值和最小值， 即在2x =时取得最大值，最大值是()22f =，在6x =时取得最小值，最小值是()265
f =. 【点睛】
本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了利用单调性求函数的最值，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面111A B C ，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 在侧棱1BB 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥，求证：
（1）直线//DE 平面11AC F ；
（2）平面1B DE ⊥平面11AC F .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由中位线的性质得出//DE AC ，由棱柱的性质可得出11//AC A C ，由平行线的传递性可得出11//DE A C ，进而可证明出//DE 平面11AC F ；
（2）证明出11A C ⊥平面11AA B B ，可得出111AC B D ⊥，结合11B D A F ⊥可证明出1B D ⊥平面11AC F ，再由面面垂直的判定定理即可证明出结论成立.
【详解】
（1）D Q 、E 分别为AB 、BC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE AC ∴， 111ABC A B C -Q 为棱柱，11//AC AC ∴，11DE //AC ∴，
11A C ⊂Q 平面11AC F ，DE ⊄平面11AC F ，//DE ∴平面11AC F ；
（2）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，
11A C ⊂Q 平面111A B C ，111AA AC ∴⊥，
又1111A C A B ⊥Q 且1111AA A B A =I ，1AA 、11A B ⊂平面11AA B B ，
11A C ∴⊥平面11AA B B ，而1B D ⊂平面11AA B B ，故111AC B D ⊥.
又11B D A F ⊥Q ，且1111A F A C A =I ，1A F 、11A C ⊂平面11AC F ，
1B D ∴⊥平面11AC F ，又1B D ⊂Q 平面1B DE ，∴平面1B DE ⊥平面11AC F .
【点睛】
本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.
21．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数；当x ≥7时，
1()3x m y -=．测得部分数据如表：
（1）求y 关于x 的函数关系式y ＝f （x ）；
（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳．
【答案】（1）2884071()73
x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，；（2）当4x =时产品的性能达到最佳
【解析】（1）二次函数可设解析式为2
y ax bx c =++，代入已知数据可求得函数解析式；
（2）分段函数分段求出最大值后比较可得．
【详解】
（1）当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），
由x ＝0，y ＝﹣4可得c ＝﹣4，由x ＝2，y ＝8，得4a +2b ＝12①，
由x ＝6，y ＝8，可得36a +6b ＝12②，联立①②解得a ＝﹣1，b ＝8，
即有y ＝﹣x 2+8x ﹣4；
当x ≥7时，1
()3x m y -=，由x ＝10，19
y =，可得m ＝8，即有81()3x y -=； 综上可得2884071()73
x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，．
（2）当0≤x ＜7时，y ＝﹣x 2+8x ﹣4＝﹣（x ﹣4）2+12，
即有x ＝4时，取得最大值12；
当x ≥7时，81
()3x y -=递减，可得y ≤3，当x ＝7时，取得最大值3．
综上可得当x ＝4时产品的性能达到最佳．
【点睛】
本题考查函数模型的应用，考查分段函数模型的实际应用．解题时要注意根据分段函数定义分段求解．
22．已知函数()()2423
x f x a x a a R =⋅--∈. （1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值；
（2）若函数()2412
x x g x x +=-，关于x 的方程()()f x g x =有且只有一个实数根，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）0a =（2）{}
31a a a =->或
【解析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求a 的值；
（2）根据题意方程()()f x g x =有且只有一个实数根，等价于2
2441232x x x a x a x +⋅--=-只有一个实数根，等价于414223x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根，令，()20x t t =>则需关于t 的方程()241103
a t at ---=有且只有一个大于43
的实数根，结合二次函数的性质来分析． 【详解】
解：（1）因为()()2423
x f x a x a a R =⋅--∈是偶函数， 所以()()f x f x -=对任意的x ∈R 成立，
所以()22442233
x x a x a a x a -⋅---=⋅--对任意的x ∈R 成立， 所以()220x x a -⋅-=对任意的x ∈R 成立，
所以0a =.
（2）因为()2412
x x g x x +=-，()()f x g x =， 所以2
2441232x x x a x a x +⋅--=-， 所以420,34142.23x x x x
a a a a ⎧⋅->⎪⎪⎨+⎪=⋅-⎪⎩ 设()20x t t =>，则有关于t 的方程()241103
a t at ---=. 若10a ->，即1a >，则需关于t 的方程()241103a t at --
-=有且只有一个大于43的实数根.
设()()24113h t a t at =---，则403h ⎛⎫< ⎪⎝⎭
， 所以()244411033
3a a ⎛⎫-⨯-⨯-< ⎪⎝⎭， 所以250-<成立，
所以1a >，满足题意；
若10a -=，即1a =时，解得34t =-
，不满足题意； 若10a -<，即1a <时，()244103a a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，且()
43021a a -->-， 所以3a =-.
当3a =-时，关于t 的方程()241103
a t at ---=有且只有一个实数根12，满足题意. 综上，所求实数a 的取值范围是{}
31a a a =->或..
【点睛】
本题主要考查偶函数的性质以及指数函数性质的综合应用，同时考查了化归与方程的思想的综合运用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于难题．。