椭圆双曲线的结论

椭圆双曲线的经典结论
一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y
a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=.
6.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b
+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=. 7.
椭圆22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭
圆的焦点角形的面积为12
2tan
2
F PF S b γ
∆=.
8.
椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10.
过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即02
02y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
13.
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22
002222x x y y x y
a b a b
+=+.
二、双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5.
若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=.
6.
若000(,)P x y 在双曲线
22
2
21x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2
F PF S b co γ
∆=.
8.
双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10.
过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q
交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
02y a x b K K AB
OM =⋅，即
0202y a x b K AB =。

12.
若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-. 13.
若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
-=-.
椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆
1. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于
P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=. 2.
过椭圆22
22
1x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C 两点，则直线BC 有定向且2020
BC
b x k a y =（常数）.
3.
若P 为椭圆22
22
1x y a b
+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则tan t 2
2
a c co a c
αβ-=+.
4. 设椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，
在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c e a αβγ==+.
5.
若椭圆22
221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，
可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6.
P 为椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7.
椭圆220022
()()1x x y y a b
--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
8.
已知椭圆
22
2
21x y a b
+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）2222
1111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为2222
4a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是22
22a b a b +. 9. 过椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2
PF e MN =.
10.
已知椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相
交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<. 11.
设P 点是椭圆22
22
1x y a b
+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，
则(1)2122||||1cos b PF PF θ
=
+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.
12. 设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2
2222|cos |||s ab PA a c co αγ
=-.(2)
2
tan tan 1e αβ=-.(3) 2222
2cot PAB
a b S b a γ∆=-. 13.
已知椭圆22
221x y a
b
+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭
圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.
椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1.
双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b +=.
2.
过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2
020
BC b x k a y =-（常数）.
3.
若P 为双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 2
2
c a co c a
αβ-=+（或tan t 2
2
c a co c a
βα-=+）.
4.
设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任
意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )c e a
αγβ==±-.
5.
若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1
时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6.
P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7.
双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C -≤.
8. 已知双曲线22
22
1x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）22
221111
||||OP OQ a b
+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222
a
b b a
-. 9.
过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||
2
PF e MN =.
10.
已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-. 11.
设P 点是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记
12F PF θ∠=，则(1)2
122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 12
2cot 2
PF F S b γ∆=. 12.
设A 、B 是双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22
222|cos ||||s |
ab PA a c co αγ=-. (2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22
22
2cot PAB a b S b a
γ∆=+. 13.
已知双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦
点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半
径互相垂直.
16.
双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心
率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.
双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB k x x y y k
=+-=+-
2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。

3、知直线横截距，常设其方程为(它不适用于斜率为0的直线)
与直线
垂直的直线可表示为。

4、两平行线间的距离为。

5、若直线与直线
平行
则
（斜率）且
（在
轴上截距） （充要条件）
6、圆的一般方程：
，特别提醒：只有当
时，方程
才表示圆心为
，半径为
的圆。

二元二次方程
表示圆的充要条件是
且
且。

7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为
，半径为。

圆的参数方程的主
要应用是三角换元：
；
8、为直径端点的圆方程
切线长：过圆
（
）外一点所引圆的切线的长为
（
）
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来
解：；②过两圆
、
交点的圆(公共弦)系为
，
当
时，方程
为两圆公共弦所在直线方程.。