2005年上海市普通高等学校春季招生考试

2005年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。

2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟。

一. 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1. 方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是 .
2. =++++∞→n
n n 212
lim
.
3. 若3cos 5α=
，且⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πα，则=2tg α . 4. 函数2()f x x =-)]2,((-∞-∈x 的反函数=-)(1
x f
.
5. 在△ABC 中，若90C ∠=，4AC BC ==，则BA BC ⋅= .
6. 某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作
业同时被抽中的概率是 (结果用最简分数表示). 7. 双曲线116922=-y x 的焦距是 . 8. 若()()3,2223≥∈+++++=+n n x c x b x a x x n
n n
且N ，且2:3:=b a ，则=n .
9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）. 关于数列{}n a 有下列三个命题： （1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则)(1
N ∈=+n a a n n ；
（2）若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，则{}n a 是等差数列； （3）若()n
n S 11--=，则{}n a 是等比数列.
这些命题中，真命题的序号是 .
10. 若集合{R ∈==x x x A x ,32cos 3π，}
R ∈==y y y B ,12，则B A = . 11. 函数x x y arcsin sin +=的值域是 .
12. 已知函数2()2log x f x x =+，数列{}n a 的通项公式是n a n 1.0=（N ∈n ），当|()2005|n f a -取得最小值时，n = .
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
13. 已知直线n m l 、、
及平面α，下列命题中的假命题是 （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥.
（C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .
[答] ( ) 14. 在△ABC 中，若
C
c
B b A a cos cos cos =
=，则△ABC 是
（A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形.
[答] ( ) 15. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ” 的
（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.
（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.
[答] ( ) 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：
（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；
（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是
（A ）0个. （B ）1个. （C ）2个. （D ）3个.
[答] ( )
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17. (本题满分12分) 已知z 是复数，i
z
i z -+22、
均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. [解]
18. (本题满分12分)
已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值.
[解]
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60.
（1）证明：BC PA ⊥； （2）求底面中心O 到侧面的距离. [证明]（1）
[解]（2）
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1
分。

某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.
假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [解]（1）
（2）
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。

已知函数x
a
x x f +
=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过
点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、
. （1）求a 的值； （2）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，
若不是，则说明理由；
（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. [解]（1） （2） （3）
22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分。

（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C 的方程是122
22=+b
y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、
两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. [解]（1）
[证明]（2）
[解]（3）
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参考答案及评分标准
说明
1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分.
3.第17题至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数.
4.给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1. }2,1{-.
2. 0.
3.
2
1
. 4. ]4,(,--∞∈--x x . 5. 16. 6.2601. 7. 6
5
. 8. 11.
9. （1）、（2）、（3）. 10. {}1.
11. ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+--21sin ,21sin ππ. 12. 110
二．
.
三．（第17至22题）17. [解] 设R)∈+=y x yi x z 、(，
i y x i z )2(2++=+ ，由题意得 2-=y . …… 2分
i x x i i x i i x i z )4(5
1
)22(51)2)(2(5
1222-++=+-=--=-
由题意得 4=x . …… 6分 ∴ i z 24-=.
∵ 2)(ai z +i a a a )2(8)412(2-+-+=， …… 9分
根据条件，可知⎩⎨⎧>->-+0
)2(80
4122a a a ，解得 62<<a ，
∴ 实数a 的取值范围是)6,2(. …… 12分 18. [解] ∵ αtg 是方程01sec 22=++αx x 的较小根， ∴ 方程的较大根是αctg .
∵ αtg +αctg =αsec 2-，即
α
ααcos 2
cos sin 1-
= ∴ 2
1
sin -=α. …… 5分
解得 672ππα+=k ，或Z ∈-=k k ,6
2π
πα. …… 8分
当)(6
72Z ∈+=k k π
πα时，αtg 33=
，αctg 3=； 当)(6
2Z ∈-=k k π
πα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意.
∴ Z ∈+=k k ,6
72π
πα. …… 12分
19. [证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，
则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC 平面APD . …… 4分
∴ BC PA ⊥. …… 6分
[解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角. 是点O 到侧 过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就
面的距离. …… 9分
设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上，
∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.
h BC h OD 4,3
2=∴=
, …… 11分
∴ 2234)4(43
h h S ABC ==
∆， ∵ 3
23
3823431372h h h =
⋅⋅=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3. …… 14分 20. [解]（1）2005年底的住房面积为
124020%)51(1200=-+（万平方米）,
2006年底的住房面积为
128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）
∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分 （2）2024年底的住房面积为
20%)51(20%)51(20%)51(20%)51(1200181920-+--+-+-+ …… 10分
64.252205
.01
05.120%)51(12002020
≈-⨯
-+=（万平方米） ∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分
21. [解]（1）∵ 2
2222)2(+=+
=a f ，∴ 2=a . …… 3分
（2）设点P 的坐标为),(00y x ，则有0
002x x y +
=，00>x ，
由点到直线的距离公式可知：00
00||,1
2
|
|||x PN x y x PM ==
-=， 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. …… 9分 （3）由题意可设),(t t M ，可知),
0(0y N .
∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即
100-=--t
x t
y ，解得 )(21
00y x t +=
，又0002x x y +=，∴ 0
022x x t +=. ∴22
212
+=
∆x S OPM ，222120+=∆x S OPN ， ∴ 212)1
(2120
20+≥++=
+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN ， 当且仅当10=x 时，等号成立.
∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. …… 16分
22. [解]（1）设椭圆的标准方程为122
22=+b y a x ，0>>b a ，
∴ 42
2
+=b a ，即椭圆的方程为14222
2
=++b
y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴ 12
442
2=++b b ，
解得 42=b 或22-=b （舍），
由此得82
=a ，即椭圆的标准方程为14
82
2=+y x . …… 5分 （2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分
与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，
则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12
2
22b y a x m kx y ， 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，
∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.
则 2
22221212
22
2212,2k
a b m
b m kx m kx y y k a b km
a x x +=+++=++-=+， ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分
∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分 （3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、
11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点
O 即为椭圆中心. …… 18分。