高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学文科置换卷24

高考数学高三模拟考试试卷压轴题猜题押题高考数学（文科）置换卷2
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1
2
x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x ＜8｝，则（CUA ）∩B 等于
A ．[－1，3）
B ．（0，2]
C ．（1，2]
D ．（2，3）
2.若向量a 、b 满足)1,2(-=+b a ，)2,1(=a
，则向量a 与b 的夹角等于 ( )
A.︒45B ．︒60C ．︒120D ．︒135
3已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}
22,,a b a b =，则a b +=（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1
4.甲.乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分。

若甲.乙两人射击的命中率分别为35
和P ，且甲.乙两人各射击一次得分之和为2的概率为9
20。

假设甲.乙两人射击互不影响，则P 值为（） A.35
B.45
C.34
D.14
5.设12,F F 分别是双曲线2
2
221x y a b
-=的左.右焦点，若双曲线上存在点A ，使120AF AF ⋅=，且123AF AF =,则双曲线的离心率为（） A.
52
B.102
C.152
D.5
6.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,
即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3
16
9
d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据
判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）
A ．3
16
9
d V ≈
B 3
2d V ≈ C 3
300
157d V ≈
D 3
2111
d V ≈ 7.设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
8.将函数3sin(2)3y x π
=+的图象向右平移2
π
个单位长度，所得图象对应的函数（）
A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减
B ．在区间7[,]1212ππ
上单调递增
C ．在区间[,]63ππ-上单调递减
D ．在区间[,]63
ππ
-上单调递增
9.执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =
A 111
1+2310
+
++…… B.1111++
+23223410⨯⨯⨯⨯ C 111
1+2311
+++…… D.1111+++
22323411⨯⨯⨯⨯ 10.函数f （x ）=
的零点个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
11.如图1是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是（） A.
3
π
B. 4π
C. 6π
D. 12π 12.设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）.若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得
00(())f f y y =，则a 的取值范围是（）
A [1,]e
B 1
[,-11]
e -， C [1,1]e + D 1
[-1,1]e e -+ 第II 卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

13.在数列{
}中，已知11(1)1,sin
2
++=-=n n n a a a π
，记S 为数列{an}的前n 项和，则 2014=S ______________ ．
14.设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x
x
f e x e =+，则'
(1)f =
15.设变量x ，y 满足约束条件1
121
x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2+=x y z 的最大值为.
16.设21,F F 分别是椭圆)10(1:22
2
<<=+b b
y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若
x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为。

三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知
2
3cos 2sin 23)(2-+=
x x x f （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.
（2）当]2
,
0[π
∈x 时，方程0)(=-m x f 有实数解，求实数m 的取值范围.
18.如图，在四棱锥P ABCD PA -⊥中，平面ABCD ，
90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=∠=∠=，E 为PD 的中点，F 在
AD 上且
30FCD ∠=.
（1）求证：CE//平面PAB ；
（2）若PA=2AB=2，求四面体PACE 的体积.
19.某工厂对某产品的产量与单位成本的资料分析后有如下数据：
月份
1 2 3 4 5 6 产量x 千
件
2 3 4 3 4
5 单位成本y
元/件
73 72 71 73 69 68
(1) 画出散点图，并判断产量与单位成本是否线性相关。

(2) 求单位成本y 与月产量x 之间的线性回归方程。

（其中结果保留两位小数） 参考公式：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：^
^
^12
21
1
,n
i i i n
i x y n x y
b a y b x x
n x
--
-
-
=-=-=
=--∑∑
20.如图，设F(－c, 0)是椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的左焦点，直线l ：x ＝－
c
a
2
与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P 的直线m 与椭圆相交于不同的两点A, B 。

①证明：∠AFM ＝∠BFN ； ②求△ABF 面积的最大值。

21.已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[1，1]上的减函数.
（1）求λ的最大值；
（2）若]1,1[1)(2
-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围； （3）讨论关于x 的方程
m ex x x f x
+-=2)
(ln 2的根的个数. 请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.选修4—1:几何证明选讲.
如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD=OB ，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC ，MB ，OT ． （1）求证：DC DO DM DT ⋅=⋅；
（2）若 60=∠DOT ，试求BMC ∠的大小． 23.选修4 4：坐标系与参数方程 已知椭圆C ：
22
1169
x y +=与x 正半轴、y 正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，求PAB ∆面积的最大值。

24.选修4—5：不等式选讲 已知函数()|1|||.f x x x a =-+-
（1）若1a =-,解不等式()3
f x ≥；
（2）如果
(),2
x R f x ∀∈≥，求a 的取值范围.
高考置换卷2答案解析
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
【解析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为a ：b ，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实
值的那一个即可．由 设选项中的常数为 ，则可知，选项A 代入得
，选项B 代入得π==3，选项C 代入可知，选项D 代入可知
，故D 的值接近真实的值，故选D.
7.【答案】C
命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.
【解析】有题意知m S =
1()
2
m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S 1m S -）=－2， 1m a += 1m S +m S =3，∴公差d =1m a +m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.
8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】C
【考点】： 函数零点的判定定理．
【专题】： 计算题；作图题；函数的性质及应用． 【分析】： 作函数f （x ）=
的图象，利用数形结合求解．
【解析】： 解：作函数f （x ）=的图象如下，
由图象可知， 函数f （x ）=
的零点个数是2，故选：C ．
【点评】： 本题考查了学生的作图与用图的能力，属于基础题． 11.【答案】A 12.【答案】A 13.答案】1008
【解析】由an+1an=sin
(1)2n π+，所以an+1=an+sin (1)2n π+， ∴a2=a1+sinπ=1，a3=a2+sin 32π==0，a4=a3+sin2π=0，a5=a4+sin 52π
=0+1=1，∴a5=a1=1
可以判断：an+4=an 数列{an}是一个以4为周期的数列，=4×503+2 因为S=503×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=503×（1+1+0+0）+1+1=1008.
【思路点拨】由an+1an=sin
(1)2n π+，得an+1=an+sin (1)2n π
+，运用列举的方法，确定出周期，再求解数列的和即可得到答案．
14.2 15.【答案】
4
3 16.【答案】22
312
x y +
= 【解析】，由题意得通径2
2AF b =，∴点B 坐标为2
51(,)33
c B b -
- 将点B 坐标带入椭圆方程得2222
1()53()13b c b --+=，又221b c =-，解得22231
3b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴椭圆方程为2
23
12
x y +=。

17.解： (1)
31cos 2331()sin 2sin 2cos2x-1=sin(2)1222226
x f x x x x π
+=
+-=++- ()sin(2)16
f x x π
∴=+-………2分
∴最小正周期为π………4分
令z=26
x π
∴+
.函数()sin z 1f x =-的单调递增区间是
-2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
，由-222262k x k πππππ+≤+≤+， 得,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈
∴函数()f x 的单调递增区间是Z k k k ∈++-
],6
,
3
[ππ
ππ
………6分
（2）当]2
,
0[π
∈x 时，]67,6[62πππ
∈+
x ，]1,21[)62sin(-∈+πx ]0,2
3[)(-∈x f m x f =)( ]0,2
3
[-∈∴m ………12分
18.【答案】（1）见解析;（2）
23
解析：（1）证明：因为90ABC ACD ∠=∠=︒，
60BAC CAD ∠=∠=︒，所以30FDC ∠=︒，
又30FCD ∠=︒，所以60ACF ∠=︒， 所以AF CF DF ==，
所以F 为AD 的中点， ………3分 又E 为PD 的中点，所以//EF PA ，
而AP ⊂平面PAB,所以//EF 平面PAB 又60BAC ACF ∠=∠=︒， 所以CF//AB ，可得CF//平面PAB 又EF
CF F =,
所以平面CEF//平面PAB ，而CE ⊂平面CEF ， 所以CE//平面PAB. ………6分 (2)因为EF//AP ，所以EF//平面APC ，
又90,60,22ABC ACD BAC PA AB ∠=∠=︒∠=︒==， 所以22,23tan 30AC
AC AB CD ===
=︒
， ………9分
所以11
32
PACE E PAC F PAC P ACF ACD V V V V S PA ---∆====
-- 1112322323223
-----=. ………12分 【思路点拨】（1）取AD 中点F ，连接EF 、CF ，利用三角形中位线，得出EF ∥PA ，从而EF ∥平面PAB ．在平面四
边形ABCD 中，通过内错角相等，证出CF ∥AB ，从而CF ∥平面PAB ．最后结合面面平行的判定定理，得到平面CEF ∥平面PAB ，所以CE ∥平面PAB ；
（2）由PA ⊥平面ABCD 且AC ⊥CD ，证出CD ⊥平面PAC ，从而平面DPC ⊥平面PAC ．过E 点作EH ⊥PC 于H ，由面面垂直的性质定理，得EH ⊥平面PAC ，因此EH ∥CD ，得EH 是△PCD 的中位线，从而得到EH=CD=，最后
求出Rt △PAC 的面积，根据锥体体积公式算出三棱锥E ﹣PAC 的体积． 19.【答案】（1）见解析 （2）x y 82.137.77-= 【解析】(1) 略
(2) 已计算得：1481662211=+++y x y x y x ，,1481,79,71,6216
1
612
====∑∑==i i i i i y x x y x
代入公式得：()37.7762182.171,82.162167971
621
614812
≈⨯--=-≈⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-⨯⨯-=a b 故线性回归方程为：x y 82.137.77-=.
20.【答案】（1）
112162
2=+y x （2）①见解析 ②33 【解析】（1）∵|MN|＝8, ∴a ＝4，又∵|PM|＝2|MF|，∴e ＝
2
1
∴c ＝2, b2＝a2－c2＝12， ∴椭圆的标准方程为
112
162
2=+y x （2）①证明：当AB 的斜率为0时，显然∠AFM ＝∠BFN ＝0，满足题意
当AB 的斜率不为0时，设AB 的方程为x ＝my －8，代入椭圆方程整理得(3m2＋4)y48my ＋144＝0
△＝576(m²4), yA ＋yB ＝43482+m m , yAyB ＝4
3144
2+m .
则6622-+-=+++=+B B A A B B A A BF AF my y my y x y x y k k )6)(6()
(62)6)(6()6()6(--+-=
---+-=B A B A B A B A A B B A my my y y y my my my my y my y , 而2myAyB －6(yA ＋yB)＝2m·431442+m －6·4
3482+m m
＝0∴kAF ＋kBF ＝0，从而∠AFM ＝∠BFN.
综合可知：对于任意的割线PAB ，恒有∠AFM ＝∠BFN.
②方法一：S △ABF ＝S △PBF －S △PAF ,434
72||||2122+-=-•=m m y y PF A B
即S △ABF ＝
4
164372
16
)4(347222
2
2-+
-=
+--m m m m 3316
3272=•≤
，
当且仅当4
164322-=
-m m ，即m ＝±
3
21
2时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。

∴△ABF 面积的最大值是33.
方法二：4
34
1244)(1||1||2
22212
212
212
+-•+=
-++=-+=m m m y y y y m
y y m AB
点F 到直线AB 的距离2
2
161|82|m m d +=
+-=
当且仅当4
164322-=
-m m ，即m ＝±
213
2
时取等号。

21.【答案】（1）1 （2）1t （3）见解析
【解析】（1）x x x g x x f sin )(,)(+=∴=λ，]1,1[)(-在x g 上单调递减，0cos )('≤+=∴x x g λ
x cos -≤∴λ在[1，1]上恒成立，1-≤∴λ，故λ的最大值为.1-
（2）由题意,1sin )1()]([max --=-=λg x g ,11sin 2
++<--∴t t λλ只需
01sin )1(2>++++∴t t λ（其中1-≤λ），恒成立，
令)1(011sin )1()(2
-≤>++++=λλλt t h ，则2
10
1sin110t t t +<⎧⎨--+++>⎩
， 01sin ,0
1sin 1
22>+-⎩⎨⎧>+--<∴t t t t t 而恒成立，1-<∴t （3）由
.2ln )(ln 2m ex x x x x f x +-==令,2)(,ln )(221m ex x x f x x x f +-==,ln 1)(2
'1x x
x f -= 当,0)(,),0('
1≥∈x f e x 时(]e x f ,0)(1在∴上为增函数； 当[)+∞∈,e x 时，,0)('
1≤x f [)+∞∴,)(1e x f 在为减函数；
当,1
)()]([,1max 1e
e f x f e x =
==时而,)()(222e m e x x f -+-= ,1
,122时即当e e m e e m +>>-∴方程无解；
当e e m e e m 1
,122+==-即时，方程有一个根；
当e
e m e e m 1
,122+<<-时时，方程有两个根.
22.【答案】（1）略（2）30°
【解析】（1）证明：因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理DM DT DN ⋅=2，DA DB DN ⋅=2，得
DA DB DM DT ⋅=⋅，设半径OB=)0(>r r ，因BD=OB ，且BC=OC=
2
r
， 则233r r r DA DB =⋅=⋅，232
32r r
r DC DO =⋅
=⋅，所以.DC DO DM DT ⋅=⋅ （2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠，
故DTO ∆∽CM D ∆，所以DMC DOT ∠=∠；根据圆周角定理得，DMB 2DOT ∠=∠，则.30 =∠BMC
23.【答案】62）
【解析】依题意(4,0)A ，(0,3)B ，5AB =，直线AB ：
143
x y
+=，即34120x y +-= 设点P 的坐标为(4cos ,3sin )θθ，则点P 到直线AB 的距离是
|34cos 43sin 12|12|2)1|554
d θθπ
θ⋅+⋅-=
=+-，
当sin()14
π
θ+
=-时，max 21)
5d =
，∴PAB ∆面积的最大值是max 16(21)2
S AB d =⋅=
24.【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
【解析】（1）当1a =-时，
()11f x x x =-++。

由
()3
f x ≥得
11 3.
x x -++≥ ①当1x ≤-时，不等式化为113,x x ---≥即23x -≥，其解集为3,2⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦.
②当11x -<≤时,不等式化为113x x -++≥,不可能成立.其解集为∅.
③当1x ≥时, 不等式化为113,x x -++≥即23x ≥.其解集为3
[,)
2+∞
综上得()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 若()1,21,a f x x ==-不满足题设条件.
若
()()()
21,1,1,1
21,1x a x a
a f x a a x f x x a x -++≤⎧⎪
<=-<<⎨⎪-+≥⎩的最小值为1a -.
若
()()()
21,11,1,121,x a x a f x a x a
f x x a x a -++≤⎧⎪
>=-<<⎨⎪-+≥⎩
的最小值为1a -
所以
(),2x R f x ∀∈≥.a 的取值范围是(][),13,.-∞-+∞
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分） 1.（5分）函数f （x ）=cos （2x ﹣）的最小正周期是（ ）
A.
B.π
C.2π
D.4π
2.（5分）设集合M={x|x≥0，x ∈R}，N={x|x2＜1，x ∈R}，则M∩N=（ ） A.[0，1]
B.[0，1）
C.（0，1]
D.（0，1）
3.（5分）定积分（2x+ex ）dx 的值为（ ）
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e ﹣1
4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ） A.an=2n B .an=2（n ﹣1） C .an=2n D.an=2n ﹣1
5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A.
B.4π
C.2π
D.
6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
（ ） A.
B.
C.
D.
7.（5分）下列函数中，满足“f （x+y ）=f （x ）f （y ）”的单调递增函数是（ ） A.f （x ）=x
B.f （x ）=x3
C.f （x ）=（）x
D.f （x ）=3x
8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a （a 为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（ ） A.1+a ，4
B.1+a ，4+a
C.1，4
D.1，4+a
10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ） A.y=
﹣x B.y=
x3﹣x
C.y=
x3﹣x D.y=﹣
x3+x
二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）
11.（5分）已知4a=2，lgx=a ，则x=.
12.（5分）若圆C 的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x 对称，则圆C 的标准方程为. 13.（5分）设0＜θ＜
，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.
14.（5分）观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F ）
顶点数（V ） 棱数（E ）
三棱柱 5 6 9 五棱锥
6 6 10 立方体
6
8
12 猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是. （不等式选做题）
15.（5分）设a ，b ，m ，n ∈R ，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.
（几何证明选做题）
16.如图，△ABC 中，BC=6，以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AC=2AE ，则EF=.
（坐标系与参数方程选做题）
17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）
18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.
（Ⅰ）若++=，求||；
（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.
21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
作物产量
（kg）
300 500
概率0.5 0.5
作物市场
价格（元
/kg）
6 10
概率0.4 0.6
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.
23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.
（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)
参考答案与试题解析
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.（5分）函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是（）
A. B.π C.2π D.4π
【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.
【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，
函数f（x）=cos（2x ﹣）的最小正周期是π，
故选：B.
【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.
2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）
A.[0，1]
B.[0，1）
C.（0，1]
D.（0，1）
【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.
【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，
∴M∩N=[0，1）.
故选：B.
【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.
3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可.
【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.
故选：C.
【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.
4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）
A.an=2n
B.an=2（n﹣1）
C.an=2n
D.an=2n﹣1
【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式.
【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，
∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.
故选：C.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.
5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）
A. B.4π C.2π D.
【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.
【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1
根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.
故选：D.
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.
6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）
A. B. C. D.
【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.
【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，
∴所求概率为=.
故选：C.
【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.
7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A.f（x）=x
B.f（x）=x3
C.f（x）=（）x
D.f（x）=3x
【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.
【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错.
D.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选：D.
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.
8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
A.真，假，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；
其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.
故选：B.
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.
9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）
A.1+a，4
B.1+a，4+a
C.1，4
D.1，4+a
【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，
∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，
方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4.
方法2：由题意知yi=xi+a，
则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，
方差s2=[（x1+a ﹣（+a）2+（x2+a ﹣（+a）2+…+（x10+a ﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4.
故选：A.
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.
10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式.
【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：
A 选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；
B 选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；
C 选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；
D 选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误.
故选：A.
【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用.
二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）
11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.
【分析】化指数式为对数式求得a ，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.
【解答】解：由4a=2，得，
再由lgx=a=，
得x=.
故答案为：.
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.
12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 x2+（y﹣1）2=1 . 【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程.
【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，
可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，
故答案为：x2+（y﹣1）2=1. 【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题.
13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.
【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），
∴sin2θ﹣cos2θ=0，
∴2sinθcosθ=cos2θ，
∵0＜θ＜，∴cosθ≠0.
∴2tanθ=1，
∴tanθ=.
故答案为：.
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题.
14.（5分）观察分析下表中的数据：
多面体面数（F）顶点数
（V）
棱数（E）
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案.
【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，
①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；
②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；
③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2.
根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2
故答案为：F+V﹣E=2
【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题.
（不等式选做题）
15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.
【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决.
【解答】解：由柯西不等式得，
（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）
∵a2+b2=5，ma+nb=5，
∴（m2+n2）≥5
∴的最小值为
故答案为：
【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题.
（几何证明选做题）
16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 .
【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论.
【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，
∴∠AEF=∠C，
∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF ∽△ACB ，
∴，
∵BC=6，AC=2AE ，
∴EF=3.
故答案为：3.
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题.
（坐标系与参数方程选做题）
17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 .
【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P.
直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0.
∴点P到直线的距离d==1.
故答案为：1. 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）
18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；
（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c 成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin （A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB==≥=，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键.
19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH 夹角θ的正弦值.
【分析】（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；
（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，
且侧棱AD⊥底面BDC.
如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，
∴AD∥EF.
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，
∴AD∥GH.
由平行公理可得EF∥GH.
∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，
∴BC∥FG.
∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，
∴BC∥EH.
由平行公理可得FG∥EH.
∴四边形EFGH为平行四边形.
又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴AD⊥BC，则EF⊥EH.
∴四边形EFGH是矩形；
（Ⅱ）解：
解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，
∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，
∵△MEH是等腰直角三角形，
∴MN=，又MF=AB=，
∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是.
解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由三视图可知DB=DC=2，DA=1.
又E为AB中点，
∴F，G分别为DB，DC中点.
∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）.
则.
设平面EFGH 的一个法向量为. 由，得，取y=1，得x=1.
∴.
则sinθ=|cos ＜＞|===.
【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题.
20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.
（Ⅰ）若++=，求||；
（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.
【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m +n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n 的最小值.
【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，
∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0
∴3x﹣6=0，3y﹣6=0
∴x=2，y=2，
即=（2，2）
∴
（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），
∴，
∵=m +n，
∴（x，y）=（m+2n，2m+n）
∴x=m+2n，y=2m+n
∴m﹣n=y﹣x，
令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m﹣n的最大值为1.
【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，
21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
作物产量
（kg）
300 500
概率0.5 0.5
作物市场
价格（元
/kg）
6 10
概率0.4 0.6
（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
【分析】（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；
（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论.
【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利润=产量×市场价格﹣成本，
∴X的所有值为：
500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，
300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，
则P（X=4000）=P （）P （）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，
P（X=2000）=P （）P（B）+P（A）P （）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
则X的分布列为：
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C1，C2，C3相互独立，
由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P （C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896.
【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力. 23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.
（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；
（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.
【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数
学归纳法加以证明；
（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x ）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式.
【解答】解：由题设得，
（Ⅰ）由已知，
，
…
可得
下面用数学归纳法证明.①当n=1时，，结论成立.
②假设n=k 时结论成立，即，
那么n=k+1时，=即结论成立.
由①②可知，结论对n∈N+成立.
（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立.
设φ（x）=ln（1+x ）﹣（x≥0），则φ′（x）=，
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），
∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，
又φ（0）=0，。