【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.5.1曲边梯形的面积(含答案解析)

1.5.1 曲边梯形的面积
明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
1．曲边梯形的概念
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．2．求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
3．求曲边梯形面积的步骤：①分割，②以直代曲，③作和，④逼近．
4．求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
[情境导学]
任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y
＝0和曲线y ＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？为此，我们需要学习新的数学知识——定积分．
探究点一 求曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
问题 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S? 思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) 答 (如下图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．
S ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n
(i －1n )2·Δx
＝∑i ＝1n
(i －1n )2·1n (i ＝1,2，…，n) ＝0·1n ＋(1n )2·1n ＋…＋(n －1n )2·1n
＝1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝13(1－1n )(1－12n
)． 所以，当n→＋∞时，13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n →13.
求曲边梯形的面积可以通过分割、以直代曲、作和、逼近四个步骤完成．
思考4 在“以直代曲”中，如果认为函数f(x)＝x 2在区间[i －1n ，i n
](i ＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点i n 处的函数值f(i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13
吗？取任意ξi ∈[i －1n ，i n
]处的函数值f(ξi )作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？ 答 都能求出S ＝13
.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．
例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝12
x 2所围成的图形的面积． 解 (1)分割
将区间[0,1]等分为n 个小区间：
[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n
，1]， 每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n
. 过各区间端点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .
(2)以直代曲
在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n)上，以i －1n 的函数值12⎝⎛⎭⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx ＝1n 作为底边，小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即
ΔS i ≈12(i －1n )2·1n
. (3)作和
曲边梯形的面积近似值为
S ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n
12(i －1n )2·1n ＝0·1n ＋12(1n )2·1n ＋12(2n )2·1n ＋…＋12(n －1n )2·1n
＝12n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝16(1－1n )(1－12n
)． (4)逼近
当n→＋∞时，16⎝
⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n →16， 所以，曲边梯形的面积为16
. 反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近；(3)关键：以直代曲；(4)结果：分割越细，面积越精确．
跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．
解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2(x≥0)，y ＝4， 得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2] n 等分，
则Δx ＝2n ， 取ξi ＝2(i －1)n
. (2)以直代曲、作和
S ＝∑i ＝1n
[2(i －1)n ]2·2n ＝8n 3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83(1－1n )(1－12n
)． (3)逼近
当n→＋∞时，83⎝
⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n →83. ∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163
. ∴2S 阴影＝323
， 即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积为323
. 探究点二 求曲边梯形面积方法的实际应用
思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
答 物体以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t 分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．
例 2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v(t)＝－t 2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间行驶的路程是多少？
解 (1)分割
将时间区间[0,1]分成n 个小区间，[0，1n ]，[1n ，2n ]，[2n ，3n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n
，1]， 则第i 个小区间为[i －1n ，i n
](i ＝1,2，…，n)． (2)以直代曲
第i 个小矩形的高为v[－(i －1n
)]， ∴ΔS i ≈v[－(i －1n )]·1n ＝[－(i －1n )2＋2]·1n
.
(3)作和
S ＝1n ∑i ＝1n [－(i －1n
)2＋2] ＝－1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋2 ＝－(n －1)(2n －1)6n 2＋2＝－13(1－1n )(1－12n
)＋2. (4)逼近
当n→＋∞时，－13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋2→53
. ∴这段时间行驶的路程为53
km. 反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、以直代曲、作和、逼近四步解决．
(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v(t)＝－t 2＋2在t ＝0，t ＝1，v(t)＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．
跟踪训练2 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)＝kx (k 为常数，x 为伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．
解 将物体用常力F 沿着x 的方向移动距离x ，则所做的功为W ＝Fx.
本题F 是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x 的函数F(x)＝kx.将[0，b]区间n 等分，记Δx
＝b n ，分点依次为x 0＝0，x 1＝b n ，x 2＝2b n ，…，x n －1＝(n －1)b n
，x n ＝b. 当n 很大时，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力约为kx i ，所做的功为ΔW ＝kx i ·Δx ＝kx i ·b n
，则从0到b 所做的总功W 近似地等于∑n －1i ＝0ΔW i ≈∑n －1i ＝0kx i ·Δx ＝∑n －1
i ＝0k·ib n ·b n ＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝kb 22⎝⎛⎭
⎫1－1n . 当n→＋∞时，W→12
kb 2. 答 弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为12
kb 2.
1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为________．
答案 2n
解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n
. 2．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时，克服弹力所做的功为________． 答案 0.36 J
3．在“以直代曲”中，函数f(x)在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值可以是________．
答案 该区间内任一点的函数值f(ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])
4．求由曲线y ＝12
x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95
，2]， 于是所求平面图形的面积近似等于
110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525
＝1.02. [呈重点、现规律]
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n 等分区间[a ，b]；
(2)以直代曲：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；
(3)作和： i ＝1n
f (ξi )·b －a n ； (4)逼近：“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．变速运动的路程，变力做功问题等可转化为曲边梯形面积问题．
一、基础过关
1.∑n i ＝1 i n
＝________. 答案 n ＋12
解析 ∑n i ＝1 i n
＝1n (1＋2＋…＋n)＝1n ·n(n ＋1)2＝n ＋12. 2．在区间[0,8]上插入9个等分点之后，则所分的小区间长度Δx ＝________，第5个小区间是____________．
答案 0.8 [3.2,4]
3．求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t>0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间
[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为____________．
答案 ⎣⎡⎦⎤i －2n t ，i －1n t
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为________．
答案 12
解析 曲线v(t)＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝12
即为这段时间内物体所走的路程．
5．由直线x ＝1，y ＝0，x ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
答案 2564
解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：[0，14]，[14，12]，[12，34]，[34
，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S ＝(14)3×14＋(12)3×14＋(34)3×14＋13×14＝2564
. 6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t 2，在0≤t≤a 内经过的路程为9，则a 的值为________． 答案 3
解析 将区间[0，a]n 等分，记第i 个区间为[a(i －1)n ，ai n ](i ＝1,2，…，n)，此区间长为a n
，用小矩形面积(ai n )2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑n i ＝1 (ai n
)2·a n ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33
(1＋1n )(1＋12n
)近似地等于速度曲线v(t)＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得当n→＋∞时，a 33(1＋1n )(1＋12n )→9，∴a 33
＝9，解得a ＝3. 7．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积．
解 令f(x)＝x 2.
(1)分割
将区间[0,2]n 等分，分点依次为
x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n
，x n ＝2. 第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n
. (2)以直代曲、作和
取ξi ＝2i n
(i ＝1,2，…，n)， S ＝∑n
i ＝1f(2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑n i ＝1i 2 ＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n(n ＋1)(2n ＋1)6
＝43(2＋3n ＋1n 2)． (3)逼近
当n→＋∞，43(2＋3n ＋1n 2)→83
， 即所求曲边梯形的面积为83
. 二、能力提升
8．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
答案 3.92 5.52
解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
9．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间
[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．
答案 [n ＋i －1n ，n ＋i n
] 10．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处
的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
答案 55
解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n 等份．
把时间[0，t]分成n 个小区间，则第i 个小区间为[i －1n t ，it n
](i ＝1,2，…，n)， 每个小区间所表示的时间段
Δt ＝it n －i －1n t ＝t n
， 在各个小区间物体下落的距离记作ΔS i (i ＝1,2，…，n)．
(2)以直代曲：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在[i －1n t ，it n
]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n)， 可取ξi 使v(ξi )＝g·i －1n
t 近似代替第i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n
内所经过的距离可近似表示为 ΔS i ≈g·i －1n t·t n
(i ＝1,2，…，n)． (3)作和：
S ＝∑n i ＝1ΔS i ＝∑n
i ＝1
g·i －1n t·t n ＝gt 2
n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2(1－1n
)． (4)逼近：当n→＋∞时，S→12
gt 2. 即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为12
gt 2. 12．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与二次函数曲线f(x)＝x 2＋2x ＋1所围成的曲边梯形的面积． 解 (1)分割
将[0,2]n 等分，则⎣⎡⎦⎤2(i －1)n
，2i n (i ＝1,2，…，n)的区间长度Δx ＝2n ，原曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，如图所示．
(2)以直代曲
用f ⎣⎡⎦⎤2(i －1)n 作为第i 个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积．
(3)作和
n 个小矩形面积之和S ＝∑i ＝1n f ⎣⎡
⎦⎤2(i －1)n Δx ＝∑i ＝1n
⎣⎡⎦⎤4(i －1)2n 2＋4(i －1)n ＋12n ＝⎣⎡⎦⎤4n 2[12＋22＋…＋(n －1)2]2n ＋[1＋2＋…＋(n －1)]8n 2＋n·2n
＝8n 3·16n(n －1)(2n －1)＋8n 2·12
n(n －1)＋2 ＝43⎝
⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫2－1n ＋4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋2 (4)逼近
当n→＋∞时，1n →0，所以S→263
. 所以，由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与二次函数曲线f(x)＝x 2＋2x ＋1所围成的曲边梯形的面积为263
. 三、探究与拓展
13.某物体做变速运动，设该物体在时间t 的速度为v(t)＝6t 2，求物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程s.
解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n 个小区间[1＋i －1n ，1＋i n
](i ＝1,2，…，n)，区间长度为Δt ＝1n
，每个时间段内行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n)，
则s n ≈∑i ＝1n
Δs i .
(2)以直代曲：ξi ＝1＋i －1n
(i ＝1,2，…，n)， Δs i ≈v(1＋i －1n )·Δt ＝6·(n n ＋i －1)2·1n
＝6n (n ＋i －1)2
(i ＝1,2，…，n)． (3)作和：
s n ＝∑i ＝1n
6n (n ＋i －1)2≈∑i ＝1n
6n (n ＋i)(n ＋i －1) ＝6n(1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n
) ＝6n(1n －12n
)＝3. (4)逼近：
当n→＋∞时，s→3.
所以物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为3.。