2018-2019年上海市行知中学高二上第一次月考数学试卷(有答案)

上海市行知中学高二年级第一学期第一次月考数学试卷
一、填空题
1. 已知向量()4,1OA = ，()1,5OB =
，则向量AB 的单位向量是____________
2. 若三点()()()2,2,,0,0,4A B a C ，若存在实数λ，使得AB BC λ=
，则实数a =____________
3. 已知向量()()2,1,1,1m n =-=
，若()()
2m n am n -⊥+ ，则实数a =____________
4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1
2lim
32n
n n nS n S →∞+=+____________
5. 已知数列{}n a 满足10a =
，)*
1n a n N +=
∈，则10a 的值为____________
6. 求值：()1123122114⎡--⎤
⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⎢
⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎣⎦
____________
7. 已知2a b == ，a 与b 的夹角为3
π
，则a b + 在a 上的投影为____________
8. 各项都为正数的无穷等比数列{}n a ，满足24,a m a t ==，且x m y t =⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫
⎪⎝⎭
的线
性方程组11121
12222
a x a y c a x a y c +=⎧⎨
+=⎩的解，则无穷等比数列{}n a 各项和的数值是____________
9. 函数()2sin 2y x =的图像按a 平移后得到的图像解析式是2sin 213y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，则当a 取得最小时，
a =
____________
10. 已知数列{}n a 的通项公式是()*
23n a n n N =+∈，数列{}n b 满足()
*1n n b b a n N +=∈且11b a =，则数
列{}n b 的通项公式为____________
11. 如图，在同一个平面内，向量,,OA OB OC
的模分别为
OA 与OC 的夹角
为α，且t a n 7α=，OA 与OB 的夹角为135°，若(),O C m O A n O B m n R =+∈
，
则m+n=____________
12. 已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2
132n n S S n
n -+=≥，
若对任意的*
n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是____________
二、选择题
13. 用数学归纳法证明等式1+2+3+()()()
()*
3432
n n n n N ++++=
∈ 时，第一步验证n=1时，左边应
取的项是（ ） A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4
14. 有命题：
（1）三阶行列式的任一元素的代数余子式的值和其余子式的值互为相反数；
（2）三阶行列式可以按其任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；
（3）如果将三阶行列式的某一列的元素与另一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等 于零，其中所有正确命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.（1）（3） C.（2）（3） D.（1）（2）（3）
15. 当向量()()2,2,1,0a c b ==-=
时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
16. 已知数列{}n a 中，12a =，点列()1
,2,n P n = 在ABC 内部，且n P AB 与n P AC 的面积比为2:1，若对*
n N ∈都存在数列{}n b 满足()113202
n n n n n n b P A a P B a P C ++++=
，则4a 的值为（ ）
A. 54
B. 68
C. 76
D. 80
三、解答题
17. 已知()()()()1,2,2,1,3,2,2,3A B C D --.
（1）求23AD BD BC +- ；
（2）若非零向量AM 满足：AM ⊥BC
且AM = M 的坐标.
18. 用行列式解关于x 、y 的方程组：()1
2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩
19. 如图，平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=3，23
,,,34
AB a AD b BM BC AN AB ==== .
（1）试用,a b 来表示,DN AM
；
（2）若∠DAB=60°，求AD DN DN NA ⋅+⋅
的值； （3）若0AD DB ⋅= ，求DN AB ⋅ .
20. 已知数列{}n a 和{}n b 满足：111a b ==，且124,2,4a a a 成等比数列，2344,2,b b b 成等差数列.
（1）行列式()*2
11112132
34
2341
11
n n n a a a M M M n N ++-=-++∈，且1113M M =，求证：数列{}n a 是等差数列；
（2）在（1）的条件下，若{}n a 不是常数列，{}n b 是等比数列. ①求{}n a 和{}n b 的通项公式；
②设m,n 是正整数，若存在正整数(),,i j k i j k <<，使得,,m j m n i n k a b a a b a b ⋅⋅⋅⋅成等差数列，求m+n 的
最小值.
21. 设函数()()
23232,k k
f x x k x k x R =-++⋅∈.
（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a 的前2n 项和2n S ； （3）对于（2）中的数列{}n a ，设()
2121n
n n n
b a a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.
参考答案
一、填空题 1. 34,
55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
2. 4
3. 57
4. 2
5.0
6. 3612⎛⎫
⎪⎝⎭
7. 3 8. 32 9. ,16π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
10. 323n n b +=- 11. 3 12. 39,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、选择题
13. D 14. B 15. B 16. D
三、解答题
17.（1）()14,6-；（2）()3,4-或()1,0-
18. ①1a ≠±时，唯一解1
21
1a x a a y a ⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
；②1a =，无穷多解()2x t t R y t =⎧∈⎨=-⎩；
③1a =-时，无解
19.（1）34DN a b =- ，23
AM a b =+
；（2）9-；（3）3
20.（1）略；（2）n a n =，12n n b -=；②6 21.（1）()1,0,3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭
； （2）123415a a a a +++=，21233
2222
n n S n n +=+-+ （3）()2max 1
8
n T T ==-。