2025年九年级中考数学一轮复习课件：第20讲圆的有关性质
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所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
④了解三角形的外心.
核心知识梳理
串联体系，厘清脉络
. 定义：经过三角形三个顶点的圆
三
角
形
外
接圆ຫໍສະໝຸດ 垂直平分线 的交点). 圆心 ：外心(三角形三条边的㉓ ___________
. 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
BD.若∠BOC＝2∠COD，则∠CBD＝(
A.25°
B.30°
A)
C.35°
D.40°
三角形的内心与外心
15.(2023·内蒙古)如图，☉O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，
OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周
长为21，则EF的长为(B
☉O于点F，连接AF，则∠BAF等于( B )
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，☉O是△ABC的外接圆，
点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是
.
考查角度2：跨学科整合
19.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
OB，OC.若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为
100° .
垂径定理及其应用
3.(2024·北京)如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝
55
°.
4.(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半
径长为( B )
A.4
B.4
∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(
A.50°
B.100°
C)
C.130°
D.150°
13.(2024·广元)如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上一点，
∠AOC＝128°，则∠CDE等于(
A)
A.64°
C.54°
B.60°
D.52°
14.(2023·赤峰)如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，
材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何?”用数学语言表
达：如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径
CD的长度为 26
寸.
21.(2023·岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺
五寸.欲为方版，令厚七寸，问广几何?”其大意：如图，今有圆形材质，直径BD为25
小明的解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交
AB于点D，交 于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为( C )
A.50cm
B.35cm
C.25cm
D.20cm
考查角度3：数学文化
20.(2023·东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆
寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. �� 寸
C.24 寸
B.25 寸
D.7 寸
第20讲
圆的有关性质
中考课标要求
明确要求，精准备考
①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念.
②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等(新
增).了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径
. 角度关系：如图乙，∠
. 半径： =
＝
△
＝ ∠
基础知识逐点练
巩固基础·提升能力
圆心角、圆周角、弧、弦的关系
1.(2022·聊城)如图，AB，CD是☉O的弦，延长AB，CD相交于点P.已知∠P＝30°，
ҭ
20° .
∠AOC＝80°，则 的度数是
2.(2022·温州)如图，AB，AC是☉O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接
C.5
D.5
圆周角定理
考查角度1：圆周角定理及其推论的应用
5.(2023·枣庄)如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，
则∠B的度数为( A )
A.32°
B.42°
C.48°
D.52°
6.(2023·牡丹江)如图，A，B，C为☉O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC.若∠ACB＝
A.8
)
B.4
C.3.5
D.3
16.(2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.
若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(
A.15°
B.17.5°
C)
C.20°
D.25°
学科整合与数学文化
考查角度1：考点整合
17.如图，点A，B，C是☉O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交
＝50°，则∠A的度数为( A )
A.65°
B.55°
C.50°
D.75°
11.(2022·泰安)如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则☉O的
半径为( D )
A.2
B.3
C.2
D.
圆内接四边形
12.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于☉O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若
OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(
A.61°
B.63°
B)
C.65°
D.67°
考查角度2：直径所对的圆周角等于90°或90°的圆周角所对的弦是直径
9.(2024·宜宾)如图，AB是☉O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
A)
10.(2024·泰安)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，BA平分∠CBD.若∠AOD
60°，则∠BAC的度数是(
A.20°
C)
B.18°
C.15°
D.12°
7.(2023·烟台)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器
的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为
52.5° .
8.(2024·赤峰)如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交
④了解三角形的外心.
核心知识梳理
串联体系，厘清脉络
. 定义：经过三角形三个顶点的圆
三
角
形
外
接圆ຫໍສະໝຸດ 垂直平分线 的交点). 圆心 ：外心(三角形三条边的㉓ ___________
. 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
BD.若∠BOC＝2∠COD，则∠CBD＝(
A.25°
B.30°
A)
C.35°
D.40°
三角形的内心与外心
15.(2023·内蒙古)如图，☉O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，
OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周
长为21，则EF的长为(B
☉O于点F，连接AF，则∠BAF等于( B )
A.12.5°
B.15°
C.20°
D.22.5°
18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，☉O是△ABC的外接圆，
点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是
.
考查角度2：跨学科整合
19.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，
OB，OC.若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为
100° .
垂径定理及其应用
3.(2024·北京)如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝
55
°.
4.(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半
径长为( B )
A.4
B.4
∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(
A.50°
B.100°
C)
C.130°
D.150°
13.(2024·广元)如图，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上一点，
∠AOC＝128°，则∠CDE等于(
A)
A.64°
C.54°
B.60°
D.52°
14.(2023·赤峰)如图，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，
材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何?”用数学语言表
达：如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径
CD的长度为 26
寸.
21.(2023·岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺
五寸.欲为方版，令厚七寸，问广几何?”其大意：如图，今有圆形材质，直径BD为25
小明的解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交
AB于点D，交 于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为( C )
A.50cm
B.35cm
C.25cm
D.20cm
考查角度3：数学文化
20.(2023·东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆
寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. �� 寸
C.24 寸
B.25 寸
D.7 寸
第20讲
圆的有关性质
中考课标要求
明确要求，精准备考
①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念.
②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等(新
增).了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径
. 角度关系：如图乙，∠
. 半径： =
＝
△
＝ ∠
基础知识逐点练
巩固基础·提升能力
圆心角、圆周角、弧、弦的关系
1.(2022·聊城)如图，AB，CD是☉O的弦，延长AB，CD相交于点P.已知∠P＝30°，
ҭ
20° .
∠AOC＝80°，则 的度数是
2.(2022·温州)如图，AB，AC是☉O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接
C.5
D.5
圆周角定理
考查角度1：圆周角定理及其推论的应用
5.(2023·枣庄)如图，在☉O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，
则∠B的度数为( A )
A.32°
B.42°
C.48°
D.52°
6.(2023·牡丹江)如图，A，B，C为☉O上的三个点，∠AOB＝4∠BOC.若∠ACB＝
A.8
)
B.4
C.3.5
D.3
16.(2023·聊城)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.
若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(
A.15°
B.17.5°
C)
C.20°
D.25°
学科整合与数学文化
考查角度1：考点整合
17.如图，点A，B，C是☉O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交
＝50°，则∠A的度数为( A )
A.65°
B.55°
C.50°
D.75°
11.(2022·泰安)如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则☉O的
半径为( D )
A.2
B.3
C.2
D.
圆内接四边形
12.(2024·吉林)如图，四边形ABCD内接于☉O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若
OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(
A.61°
B.63°
B)
C.65°
D.67°
考查角度2：直径所对的圆周角等于90°或90°的圆周角所对的弦是直径
9.(2024·宜宾)如图，AB是☉O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
A)
10.(2024·泰安)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，BA平分∠CBD.若∠AOD
60°，则∠BAC的度数是(
A.20°
C)
B.18°
C.15°
D.12°
7.(2023·烟台)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器
的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为
52.5° .
8.(2024·赤峰)如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交