2018年云南省曲靖市高考数学二模试卷(文科)

2018年云南省曲靖市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在本小题给出的四个
选项中，只有一项分符合题目要求的。

1．（5分）设集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|3x}，则M∩N的所有子集的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则||=（）A．3B．C．D．1
3．（5分）已知向量，满足||=1，||=2，=（），则||=（）
A．2B．C．D．2
4．（5分）在我国古代的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：良马与驽马几日相逢？（）
A．8日B．9日C．12日D．16日
5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|（m∈R）为偶函数，记a=f（log25），b=f（log0.53），c=f（2m），则（）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 6．（5分）如图是把二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）
A．i＞4B．i≤4C．i＞5D．i≤5
7．（5分）已知sinx+cosx=2a﹣3，则a的取值范围是（）A．≤a≤B．a≤C．a＞D．﹣≤a≤﹣
8．（5分）设实数x，y满足条件，则z=1﹣的最小值为（）A．1B．C．0D．
9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．40B．40C．48D．60
10．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上的两点A，B关于直线ax﹣2by+3=0
对称，其中a＞0，b＞0，设点P（a，b），则已知圆与动点P的轨迹的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相交或相切D．相离
11．（5分）已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当m取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）设定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），且f（﹣1）=0，若x＞0时，f（x）+xf′（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）采集到两个相关变量x，y的四组数据发别为（3，2.5），（4，m）（5，4），（6，4.5），根据这些数据，求得y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则m=．
14．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣3（n∈N*），则数列{a n}通项为a n=．
15．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的体积为．
16．（5分）给出下列命题：
①“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件；
②“矩形的两条对角线相等”的否定形式为假命题；
③在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；
④△ABC中，若sinA=sinB．则△ABC为直角三角形．
其中所有真命题的序号为．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（1）求角B的大小；
（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．
18．（12分）某校为了调查“喜欢空间想象”与“性别”的关系，从该校高三年级全体同学中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人，女生20人），并准备了立体几何题和其他数学题各一道，让每位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如表：（单位：人）
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？
（2）经统计织，选做立体几何题的学生答对率为，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．附表及公式
K2=，n=a+b+c+d．
19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=1，AB=3，E，F分别是棱AB，PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求三棱锥C﹣PEF的体积．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，点P （2，），Q（2，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx的图象在点x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+﹣bx．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）在区间[上是单调函数，求实数b的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的
参数方程为（θ为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|的解集；
（2）若不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，且=a（m＞0，b＞0），求证：m．
2018年云南省曲靖市高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在本小题给出的四个
选项中，只有一项分符合题目要求的。

1．（5分）设集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1}，N={x|3x}，则M∩N的所有子集的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据集合的交集定义先求出交集，判断元素个数即可．
【解答】解：N={x|3x}={x|3x＜3﹣2}={x|x|x＜﹣2}，
则M∩N={﹣4，﹣3}，
则M∩N的所有子集的个数为22=4个，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据子集个数与元素个数之间的关系是解决本题的关键．
2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）=﹣1﹣i，则||=（）A．3B．C．D．1
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：由z（1﹣i）=﹣1﹣i，得z=，
∴||=|z|=1．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．（5分）已知向量，满足||=1，||=2，=（），则||=（）
A．2B．C．D．2
【分析】根据题意，利用数量积的定义求出•的值，再计算||的值．
【解答】解：向量，满足||=1，||=2，=（），
∴﹣2•+=1﹣2•+4=+=5，
∴•=0，
∴=﹣4+4=1﹣4×0+4×22=17，
∴||=．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题．
4．（5分）在我国古代的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：良马与驽马几日相逢？（）
A．8日B．9日C．12日D．16日
【分析】由题可知，良马每日行程a n构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，可得：
a n=103+13（n﹣1）=13n+90，
b n=97﹣0.5（n﹣1）=97.5﹣0.5n，数列{a n}与数
列{b n}的前n项和为1125×2=2250，又数列{a n}的前n项和为×（103+13n+90）=×（193+13n），数列{b n}的前n项和为×（97+97.5﹣0.5n）
=×（194.5﹣n），整理解出即可得出．
【解答】解：由题可知，良马每日行程a n构成一个首项为103，公差13的等差数列，
驽马每日行程b n构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列，
则a n=103+13（n﹣1）=13n+90，b n=97﹣0.5（n﹣1）=97.5﹣0.5n，
则数列{a n}与数列{b n}的前n项和为1125×2=2250，
又∵数列{a n}的前n项和为×（103+13n+90）=×（193+13n），
数列{b n}的前n项和为×（97+97.5﹣0.5n）=×（194.5﹣n），
整理得：25n2+775n﹣9000=0，即n2+31n﹣360=0，
解得：n=9或n=﹣40（舍），即九日相逢．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|（m∈R）为偶函数，记a=f（log25），b=f（log0.53），c=f（2m），则（）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【分析】由f（x）为偶函数，可得m=0，再由指数函数的单调性，以及对数的运算性质和对数函数单调性，即可得到大小关系．
【解答】解：定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|（m∈R）为偶函数，
可得f（﹣x）=f（x），即有m=0，
当x≥0时，f（x）=2x递增，
由b=f（log0.53）=f（log23），
c=f（2m）=f（0），
a=f（log25），
且0＜log23＜log25，
可得c＜b＜a，
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性、指数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．
6．（5分）如图是把二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）
A ．i ＞4
B ．i ≤4
C ．i ＞5
D ．i ≤5
【分析】因为11111（2）=31（10），故执行程序框图，当i=4时满足条件，有S=31，i=5时此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S 的值为31． 【解答】解：因为11111（2）=31（10） 执行程序框图，有 S=1，i=1
满足条件，有S=3，i=2； 满足条件，有S=7，i=3； 满足条件，有S=15，i=4； 满足条件，有S=31，i=5；
此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S 的值为31． 故选：B ．
【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 7．（5分）已知sinx +cosx=2a ﹣3，则a 的取值范围是（ ）
A ．≤a ≤
B ．a ≤
C ．a ＞
D ．﹣≤a ≤﹣
【分析】由条件利用两角和的正弦公式可得sin （x +）=a ﹣，再由﹣1≤sin
（x +
）≤1，可得﹣1≤a ﹣≤1，解不等式求得a 的取值范围．
【解答】解：∵已知sinx+cosx=2a﹣3，∴sinx+cosx=a﹣，即sin（x+）=a﹣．
再由﹣1≤sin（x+）≤1，可得﹣1≤a﹣≤1，解得≤a≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题．8．（5分）设实数x，y满足条件，则z=1﹣的最小值为（）A．1B．C．0D．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设m=2x+3y，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线m=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到z值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设m=2x+3y，
将最小值转化为y轴上的截距，
当直线m=2x+3y经过点A（1，0）时，m最小，
最小值是：2×1+3×0=2．
则z=1﹣的最小值为：1﹣=0
故选：C．
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．40B．40C．48D．60
【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量，结合直观图求各个面的面积，再相加．
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，是正方体的一部分，如图：
其中SB⊥平面ABCD，正方体的棱长为4，CD=2，AD=，AE=4，ED=6，cos ∠EDA==，
sin∠EDA=
∴几何体的表面积S=+
=40+4．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征是解题的关键．
10．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上的两点A，B关于直线ax﹣2by+3=0对称，其中a＞0，b＞0，设点P（a，b），则已知圆与动点P的轨迹的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相交或相切D．相离
【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0配方为：（x+2）2+（y﹣1）2=6，可得圆心C（﹣2，1），半径r=．圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上的两点A，B关于直线ax﹣2by+3
=0对称，可得直线ax﹣2by+3=0经过圆心C，可得2a+2b﹣3=0．利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0配方为：（x+2）2+（y﹣1）2=6，可得圆心C （﹣2，1），半径r=．
圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上的两点A，B关于直线ax﹣2by+3=0对称，∴直线ax ﹣2by+3=0经过圆心C，
可得：﹣2a﹣2b+3=0，即2a+2b﹣3=0．
则圆心C到直线2x+2y﹣3=0的距离d==＞．
∴已知圆与动点P的轨迹的位置关系是相离．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当m取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．
【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，
则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，
过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则=m，
设PA的倾斜角为α，则sinα=m，
当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，
可得x2=4（kx﹣1），
即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为|PA|﹣|PB|=2（﹣1），
∴双曲线的离心率为=+1．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．
12．（5分）设定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），且f（﹣1）=0，若x＞0时，f（x）+xf′（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）
【分析】由当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，可得g（x）=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，可得关于x 的不等式f（x）≥0的解集．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）
令g（x）=xf（x），
∴g（﹣x）=g（x）是定义在R上的偶函数，
又∵f（﹣1）=0，∴f（1）=0，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=0，
∴g（1）=g（﹣1）=0
又∵当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，
即当x＞0时，g（x）′＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）是减函数，
∴当x＞0时，f（x）＞0，即g（x）＞g（1），解得：x＞1
∴当x＜0时，f（x）＞0，即g（x）＜g（﹣1），解得：﹣1＜x＜0，
∴不等式f（x）＞0的解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：A．
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于函数的导数的应用，着重考查奇函数的图象与性质，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）采集到两个相关变量x，y的四组数据发别为（3，2.5），（4，m）（5，4），（6，4.5），根据这些数据，求得y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则m=3．
【分析】根据线性回归方程为=0.7x+0.35，必过平均中心，即可求解m的值．【解答】解：由四组数据发别为（3，2.5），（4，m）（5，4），（6，4.5），
可得：==4.5．
将=4.5带入回归方程为=0.7×4.5+0.35，可得．
即3.5=
解得：m=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了线性回归方程的性质的应用回归方程必过平均中心，属于基础题．
14．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣3（n∈N*），则数列{a n}通项为a n=3•2n﹣1．
【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
【解答】解：数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2a n﹣3①，
当n=1时，a1=3．
则：S n
=2a n+1﹣3②，
+1
=2a n，
②﹣①得：a n
+1
即：，
所以：数列{a n}是以a1=3为首项，2为公比的等比数列．
故：．
当n=1时，首项符合通项．
故：．
故答案为：3•2n﹣1
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．
15．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，
若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的体积为．
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，
=V C﹣AOB，求出R=5，由此能求出球O的体积．设球O的半径为R，由V O
﹣ABC
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，
三棱锥O﹣ABC的体积最大，
=V C﹣AOB=R2×R=，
设球O的半径为R，此时V O
﹣ABC
解得R=5，
则球O的体积为πR3==π．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．（5分）给出下列命题：
①“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件；
②“矩形的两条对角线相等”的否定形式为假命题；
③在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；
④△ABC中，若sinA=sinB．则△ABC为直角三角形．
其中所有真命题的序号为②③．
【分析】①，判断充分性与必要性是否成立即可；
②，根据命题与它的否定一真一假，判断即可；
③，判断充分性与必要性是否成立即可；
④，举例说明该命题是假命题．
【解答】解：对于①，am2＜bm2时，得出a＜b成立，
m=0时，不能得出am2＜bm2，
∴“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件，①错误；
对于②，“矩形的两条对角线相等”是真命题，
∴它的否定形式为假命题，②正确；
对于③，△ABC中，“∠B=60°”，∴∠A+∠C=120°=2∠B，
∴“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”，充分性成立；
“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”时，
2∠B=∠A+∠B，∴∠B=（∠A+∠B+∠C）=60°，必要性成立；
是充要条件，③正确；
对于④，△ABC中，若sinA=sinB，则△ABC不一定为直角三角形，
如A=B=时，△ABC是等边三角形，④错误；
综上，正确命题的序号为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了充分必要条件、解三角形命题与命题的否定问题，是基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（1）求角B的大小；
（2）若b=2，a+c=4，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式，即可求角B的大小；（2）利用余弦定理求出ac的值，即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵（2a+c）cosB+bcosC=0，
∴（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0
2sinAcosB+sin（B+C）=0，
即2sinAcosB+sinA=0，
∴cosB=﹣，即B=；
（2）若b=，a+c=4，
则b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，
即12=16﹣2ac+ac，
则ac=4，
∵a+c=4，
∴a=c=2，
则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．
18．（12分）某校为了调查“喜欢空间想象”与“性别”的关系，从该校高三年级全体同学中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人，女生20人），并准
备了立体几何题和其他数学题各一道，让每位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如表：（单位：人）
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？
（2）经统计织，选做立体几何题的学生答对率为，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．附表及公式
K2=，n=a+b+c+d．
【分析】（1）由表中数据计算K2，对照临界值表即可得出结论；
（2）计算对应的基本事件数，求出对应的概率值．
【解答】解：（1）由表中数据，计算K2==＞5.024，
所以有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关；
（2）由题知选做立体几何题且答对的共24人，其中男生20人、女生4人，
故答错的共6人，其中男生2人、女生4人，
则从6人中任取2人共有15种不同结果，
其中恰好抽到一男一女的结果有8种，
所以P=．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=1，AB=3，E，F分别是棱AB，PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求三棱锥C﹣PEF的体积．
【分析】（1）取CD中点G、PC中点H，连结EG、HG推导出AD∥EG，FD∥HG，从而平面AFD∥平面EHG，由此能证明AF∥平面PEC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C﹣PEF的体积．
【解答】证明：（1）取CD中点G、PC中点H，连结EG、HG，
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，
PA=AD=1，AB=3，E，F分别是棱AB，PD的中点．
∴AD∥EG，FD∥HG，
∵AD∩FD=D，EG∩HG=G，AD、FD⊂平面AFD，EH、EG⊂平面EHG，
∴平面AFD∥平面EHG，
∵AF⊂平面AFD，∴AF∥平面PEC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则E（，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），F（0，），C（3，1，0），
=（），=（0，，﹣），=（3，1，﹣1），
设平面PEF的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，得=（3，2，2），
∴C平面PEF的距离d===．
||==，||==，
cos＜＞=，∴sin＜＞==，
∴S
=××=，
△PEF
∴三棱锥C﹣PEF的体积：
V C﹣PEF===．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，点P （2，），Q（2，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．
【分析】（1）由题意可得：=，+=1，a2=b2+c2，联立解得b，a，c．即可得出椭圆C的标准方程．
（2）设直线的方程为：y=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立化
为：x2+tx+3t2﹣12=0，四边形APBQ面积S=|PQ|•|x2﹣x1=
=3，再利用二次函数的单调性即可得出最大值．【解答】解：（1）由题意可得：=，+=1，a2=b2+c2，
解得b=2，a=4，c=2．
∴椭圆C的标准方程为：+=1．
（2）设直线的方程为：y=x+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化为：x2+tx+3t2﹣12=0，
△=3t2﹣4（3t2﹣12）＞0，化为：t2＜．
∴x1+x2=﹣t，x1x2=3t2﹣12，
四边形APBQ面积S=|PQ|•|x2﹣x1==
=3≤3=12，当且仅当t=0时取等号．
∴四边形APBQ面积的最大值为12．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、
弦长公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx的图象在点x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+﹣bx．
（1）求实数a的值；
（2）若函数g（x）在区间[上是单调函数，求实数b的取值范围．
【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．
（2）函数g（x）在区间[上是单调函数等价于g′（x）≥0或g′（x）≤0恒成立，即b≤+x+1，或b≥+x+1，构造函数h（x）=+x+1，由此能求出实数b的取值范围
【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′（x）=1+，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（1）=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=x+lnx+x2﹣bx，
∴g′（x）=+x+1﹣b，
∵函数g（x）在区间[上是单调函数，
∴g′（x）≥0或g′（x）≤0恒成立，
即b≤+x+1，或b≥+x+1，
设h（x）=+x+1，x∈[]，
∴h′（x）=﹣+1=，
当≤x＜1时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当1＜x≤2时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=3，
∴h（）=3++1=，h（2）=2++1=，
∴b≤3或b≥
综上所述b的取值范围为（﹣∞，3]∪[，+∞）
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于中档题
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值．
【分析】（1）由曲线C1的极坐标方程为=3，能求出曲线C1的直角坐标方程，由cos2θ+sin2θ=1，能求出曲线C2的普通方程．
（2）曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，求出圆心（0，2）到曲线C1的距离d，由|PQ|的最小值为：d﹣r，能求出结果．【解答】解：∵曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=3，
∴=3，
∴曲线C1的直角坐标方程为．
∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），
∴曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4．
（2）∵曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，﹣2）为圆心，以2为半径的圆，
圆心（0，2）到曲线C1：的距离d==4，
P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，
∴|PQ|的最小值为：d﹣r=4﹣2=2．
【点评】本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查两点间距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|的解集；
（2）若不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，且=a（m＞0，b＞0），求证：m．
【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．
（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，
即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；
当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，
当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）证明：若f（x）≤1的解集为[0，2]，
由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．
∴，得a=1，
即=1（m＞0，b＞0），
则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2．
当且仅当，即m2=8n2时取等号，
故m+4n≥2+3成立．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。