导数和二次函数

导数与二次函数
安庆优加教育 汪仕骏
导数是人教版高中教材中十分重要的模块，也是全国卷等高考试卷常常作为压轴题之所在的内容。

导数较晚的进入学生的学习序列，但是导数本身常常不是特别艰难，而导数的难点通常还是在函数，实际上，导数本身就是一个函数，而这个函数通常体现为二次函数、指数函数、反比例函数、三角函数或者他们之间的复合。

尤其是含参的二次函数，通常是导数题的考察点，因此，导数大题实际上是对函数基本功的检测。

这也启发老师和学生，高考备考一是要有长远性，也就是高一就是在准备高考了，不要到高三复习的时候才想到高考；二是备考要有战略眼光，即在学习和复习的时候，应该承前启后，详略得当，体现整体性，具体表现为两点，第一是高一学习要体现高考动向，把高考常考的内容作为重点，起码是不能忽略，比如高一学习二次函数的时候，对于含参二次函数零点的分布情况，零点大小的问题，一定要结合韦达定理、不等式性质、函数性质等仔细研究，因为这个很有可能出现在导数大题中，第二是可以将导数放到高一去学习，在基本函数学习完之后，先打好极限思想的基础，然后讲导数的概念，好处就是学生可以提前练习高考题中的导数大题。

而在实际中，很多学生碍于导数概念这个并不难的知识点而不能做导数大题，而导数中的难点，（通常这个难点是体现在高一函数部分的），没有充裕的时间去练习，于是学生在高三之前的学习中不能直接而深刻地体会高考压轴题的考察点，这样就使得很多有潜力的学生因为备战时间短而遗憾地不能拿到压轴题的分数。

本文从三个例题出发，试图对这个现象做一个生动的说明，以期学子精准备考，事半功倍。

1、解不等式：()0122>+++x a ax
【解析】解：
（1）0=a 时，方程为012>+x ，即解为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧->21x x （2）0≠a 时，
()2
22440a a a ∆=+-=+>
解得方程 ()2210ax a x +++=两根
1x =2x =，
a x x 121=
①当0a >时,
易得：12x x >
∴
解集为|x x x ⎧⎪><⎨⎪⎩ ②当0a <时, 易得：022422<--+=
a
a a x ，021<x x ，则01>x ，即21x x >
∴
解集为|x x ⎧⎪<<⎨⎪
)(x f 的定义域为),0(+∞，在这个区间上，0)1(2>+x x
令a x a ax x g +++=)22()(2
1、当0=a 时，x x g 2)(=，故此时，0)(>'x f 在),0(+∞上恒成立，)(x f 在),0(+∞递增。

上恒成立，)(x f 在),0(+∞递增。

3、当0<a 时，
恒成立，)(x f 在),0(+∞递减；
两根中，2x 显然为正，而两根之积为1，故1x 也为正，且21x x <
综上所述，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上递增；
且比第1题要复杂的在于，还要考虑根的正负性，这是由)(x f 的定义域决定的。

要对二次函数的开口、单调性、韦达定理应用十分熟悉，学者在学习二次函数的时候不可掉以轻心，而在学习导数的时候则宜更加小心翼翼地推求二次函数知识。

3、设0>a ，讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性.
解：x
x a x a a a x a a x x f 1)1(2)1(2)1(2)1(21)(2+---=---+='，)(x f 定义域为),0(+∞，即讨论)(x f '在),0(+∞上的正负。

（1）1=a 时
01)(>='x
x f 即)(x f 在),0(+∞上递增. （2）1≠a 时
令1)1(2)1(2)(2+---=x a x a a x g ，x
x g x f )()(=' )13)(1(4)844)(1()1(8)1(42--=---=---=∆a a a a a a a a ①13
1<≤a 时，0≤∆，0)(≥x g 恒成立，0)(≥'x f 恒成立，即)(x f 在),0(+∞上递增.
②3
10<<a 时，0>∆，0)(=x g 的两根为)
1(2)13)(1(1,)1(2)13)(1(121a a a a a x a a a a a x -----=---+-=，)1(2121a a x x -= 此时，显然，01>x ，021>x x ，即0,021>>x x ，且21x x > 在))
1(2)13)(1(1,0(a a a a a -----上，0)(>x g ，0)(>'x f ，)(x f 递增； 在))
1(2)13)(1(1)1(2)13)(1(1(a a a a a a a a a a ---+------，上，0)(<x g ，0)(<'x f ，)(x f 递减； 在))
1(2)13)(1(1(∞+---+-，a a a a a 上，0)(>x g ，0)(>'x f ，)(x f 递增； ③1>a 时，0>∆，0)(=x g 的两根为
)
1(2)13)(1(1,)1(2)13)(1(121a a a a a x a a a a a x -----=---+-=，)1(2121a a x x -= 此时，显然，021<x x ，而02>x ，则01<x 此时，在))
1(2)13)(1(1,0(a a a a a -----上，0)(>x g ，0)(>'x f ，)(x f 递增； 在),)
1(2)13)(1(1(+∞-----a a a a a 上，0)(<x g ，0)(<'x f ，)(x f 递减； 综上：
310<<a 时，)(x f 在))1(2)13)(1(1,0(a a a a a -----、))
1(2)13)(1(1(∞+---+-，a a a a a 递增，
在))
1(2)13)(1(1)1(2)13)(1(1(a a a a a a a a a a ---+------，递减；
13
1≤≤a 时，)(x f 在),0(+∞上递增； 1>a 时，)(x f 在))
1(2)13)(1(1,0(a a a a a -----上递增，在),)
1(2)13)(1(1(+∞-----a a a a a 上递减。

点评：本题实际上还是考察含参数二次函数的零点的分布，且要考虑两根大小关系以及正负性，比第2题更加复杂在于二次项系数和∆都是比较复杂的参数形式，这对于学生二次函数的基本功提出了更高的要求。

但是归结起来，还是考虑开口、判别式、韦达定理、不等式性质。

结语
上3题，层层递进而一脉相承，共同点是都考察二次函数零点和二次不等式解集问题，都要考虑两根大小关系，都要用到判别式、韦达定理，不等式性质，不同点是下面两题还要考虑两根的正负性，尤其是第3题，既要判断求根公式分子的正负，还要讨论分母的正负。

为什么要考虑两根的正负？这是由对数函数的定义域所决定的，这增加了题的难度，但是也算不上二次函数的新概念，无非是在正半轴上解二次不等式。

而这个二次函数是由求导数得来的，对于高一的学生来说，因为他无法求导，也就无法去练习这种在一定区间内而不是整个实数域内解不等式的问题，于是这种难度要远远大于之前题目的难题就被压缩到高三才来练习，对于很多优秀的学生来说，他前两年练习的二次函数问题都是相对简单的，如第1题，甚至连第1题在单元测试中都不是经常出现，而在时间短而压力巨大的高三才来练习诸如第2、第3题，这也就意味着学生在学习上时间精力分配要作战略性结构性调整。

方法有两种，第一是高一函数结束即学习导数概念，第二是对高一题作一些有益于高三学习的变动，如求含参二次不等式在正数范围内的解集，这样必然是时间分配均匀，压力被大大分解，最终到高三是平稳过渡，颇有娓娓道来、水到渠成之感。