大学线性代数课程 第二章第三节 矩阵的相似对角化 课件

1
( p1,
p2 ,L
,
pn
)
2
O
P,
n
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
的列向量必须满足上述条件。满足这个条件的向量称为
特征向量。
反之，若满足条件的向量 p1, p2 ,L , pn，
即 Api i pi (i 1, 2,L , n), 设 P ( p1, p2 ,L , pn ), 则Ｐ
可逆，且 AP ( Ap1, Ap2 ,L , Apn ) (1 p1,2 p2 ,L ,n pn )
若 P p1, p2,L , pn ,
1
有
A
p1 ,
p2 ,L
,
pn
p1 ,
p2 ,L
,
pn
2
O
1 p1,2 p2 ,L ,n pn
n
于是有 Api i pi (i 1, 2,L , n), 因为Ｐ可逆， 故
pi 0(i 1, 2L , n)
若存在可逆矩阵P,使得P-1AP成为对角矩阵，那么，P
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
B1 P 1 A1P
（7）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ Bm
（8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 A ∽ B
特别 若有可逆矩阵Ｐ使 P 1 AP , 则 Ak P K P 1,
( A) P()P1.
一、定义
定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似．
记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P 1AP, 称为对Ａ进行相似变换，
可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
二、性质
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ； （3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk(n)源自这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
设存在Ｐ可逆，使得 P1AP AP P