北师大版八年级上册期中知识点

第一章、勾股定理
勾股定理定义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，，．
勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
勾股定理的作用
1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；
3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．
第二章、实数
1.有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.
2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
4.实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
5.平方根的定义 如果2
x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
6.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.
要点、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
7、平方根的性质 20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()
20a a a =≥
8、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.
一、立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
要点诠释：一个数a 的立方根，用3a 表示，其中a 是被开方数，3是根指数. 开立方和立
方互为逆运算.
二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.
三、立方根的性质
33a a -=- 33a a = ()33a a
=
要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
四、立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动
1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝.
一、二次根式的概念 一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
二、二次根式的性质
1.a ≥0，（a ≥0）；
2. （a ≥0）；
3..
4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即
（a ≥0，b ≥0）. 5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商， 即()a a a b a b b b =÷=÷或（a ≥0，b >0）.
要点诠释：（1）二次根式
(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2()(0a a a =≥）.
（2）2a 与2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为
任意值。

②a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 三、最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开放数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.。