2022-2023学年浙江省杭州市养正中学教育集团九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年浙江省杭州市养正中学教育集团九年级（上）期
中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列关于抛物线y=3(x−2)2+1的说法，正确的是( )
A. 开口向下
B. 顶点坐标是(−2,1)
C. 有最小值y=1
D. 对称轴是直线x=−2
2. 下列说法正确的是( )
A. 弧长相等的弧是等弧
B. 直径是最长的弦
C. 三点确定一个圆
D. 平分弦的直径垂直于弦
3. 9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从
中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为( )
A. 1
9B. 2
9
C. 4
9
D. 5
9
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=√3，那么tanB的值是( )
A. 1
2B. 1
3
C. √3
3
D. √3
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，已知AE=4，AD
AB =1
2
，则EC的
长
是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
6. 如图是一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为5cm的圆，杯内水面AB=8cm，则水深CD是( )
A. √2cm
B. √3cm
C. 2cm
D. 3cm
7. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D(不与O 重合)，连结CD.若∠A=22°，则∠ACD的度数为( )
A. 46°
B. 44°
C. 48°
D. 68°
8. 如图，在ABC纸板中，AC=4，BC=8，AB=11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是( )
甲：若CP=4，则有3种不同的剪法；
乙：若CP=2，则有4种不同的剪法；
丙：若CP=1，则有3种不同的剪法．
A. 乙错，丙对
B. 甲和乙都错
C. 乙对，丙错
D. 甲错，丙对
9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(x1,y1)，B(1−m,n)，C(x2,y2)，D(m+5,n)，若|x1−3|≥|x2−3|，则下列表达式正确的是( )
A. 对于任意a(a≠0)，a(y1−y2)>0恒成立
B. 不存在实数a，使得y1−y2>0成立
C. 存在实数a，使得a(y1−y2)<0成立
D. 对于任意a(a≠0)，y1−y2>0恒成立
10. 如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，且AE=AD，作DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF 的延长线交DE于点O，交CD于点G.以下结论：
①AF=BE；
②DE为∠FDC的角平分线；
③若AD=√2AB，则OF：BF=CE：CG；
④若AE平分∠BAD，DE=2，则矩形ABCD的面积为2+2√2．
则正确结论的个数是( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：2sin30°−tan45°=______ ．
12. 已知a=3b，则a：b的值是______．
13. 二次函数y=2x2−8x+1(0≤x≤3)的最小值是______，最大值是______．
14. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC=90°，AB=2√2，BC=1，则⊙O的半径为______．
15. 已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)，若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，则实数c的最小值为______．
16. 如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP 的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白
．
球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是1
3
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为1
，请求出m的值．
4
18. (本小题8.0分)
三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．即：如图，在△ABC中，AB=AC，且∠A=36°．
(1)尺规作图：在AC上求作一点D，使得AD=BD；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接BD，请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
19. (本小题8.0分)
已知二次函数经过点(−1,0)，(3,0)，且最大值为4．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
(3)当1<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
20. (本小题8.0分)
如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，BC//AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
(1)求BE的高度．
(2)如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移多少m时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°≈1.2)
21. (本小题8.0分)
如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AB⏜=CD⏜．
(1)求证：BE=DE；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AE的长．
22. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax+2(a<0)与y轴交于点A．
(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值；
(3)抛物线上的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若对于t<x1<t+1，t+2<x2<t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围．
23. (本小题8.0分)
从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
(2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
(3)如图②，在△ABC中，AC=3，BC=√3，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由抛物线解析式可得，
a>0，
∴开口向上，A错误；
对称轴x=2，D错误；
顶点坐标为(2,1)，B错误；
开口向上有最小值，当x=1时有最小值为1，C正确．
故选：C．
根据二次函数顶点式解析式注意分析即可．
本题考查二次函数的性质和最值，通过二次函数顶点式的表达式得到相应的信息是关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；
C、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可．
本题考查的是圆的概念和有关性质，熟记等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：因为1到9共9个自然数，是奇数的有5个，
．
所以正面的数是偶数的概率为5
9
故选：D．
让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．
此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所
求情况数与总情况数之比．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，
∴tanB=AC
BC =√3
1
=√3．
故选：D．
直接利用正切的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵DE//BC，
∴AD AB =AE
AC
=1
2
，
∵AE=4，
∴AC=8，
EC=8−4=4，故选：A．
已知AD
AB =1
2
，根据平行线分线段成比例定理得出，AD
AB
=AE
AC
=1
2
，再代入求出答案即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA、OC，
则OC⊥AB，
∴AC=1
2
AB=4(cm)，
在Rt△OAC中，OC=√OA2−AC2=√52−42=3(cm)，
∴CD=5−3=2(cm)．
故选：C．
连接OA、OC，先由垂径定理可得AC长，再由勾股定理得OC长，从而求出CD长．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−22°=68°．
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°−68°=112°，
∴∠ACD=180°−∠ADC−∠A，
=180°−112°−22°，
=46．
故选：A．
先连接BC，根据圆周角定理求得∠ACB的度数，从而利用直角三角形的性质求得∠B的度数；再由翻折的性质可得，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，从而得到∠ADC+∠B= 180°，从而利用三角形内角和的性质得∠ADC即可．
此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，过P作PD//AB交AC于D或PE//AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA，
此时0<PC<8；
如图所示，过P作∠BPF=∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，
此时0≤PC<8；
如图所示，过P作∠CPG=∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，
当点G与点A重合时，CA2=CP⋅CB，即42=CP×8，
∴CP=2，
∴此时，0<CP≤2；
当0<CP≤2时，有4种不同的剪法；当2<CP<8时，有3种不同的剪法．
∴甲和乙对，丙错
故选：C．
依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
9.【答案】A
【解析】解：∵抛物线过B(1−m,n)，D(m+5,n)，
∴对称轴为：x=m+5+1−m
=3，
2
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(x1,y1)，C(x2,y2)，|x1−3|≥|x2−3|，
∴当a>0时，y1>y2，则a(y1−y2)>0；
当a<0时，y1<y2，则a(y1−y2)>0；
∴对于任意a(a≠0)，a(y1−y2)>0恒成立，
故选：A．
由对称性质可知，B、D两点的纵坐标相等，则B、D两点关于抛物线的对称轴是对称的，由此求
得抛物线的对称轴为直线x=3，再|x1−3|≥|x2−3|，结合二次函数的性质，便可得出结果．本题考查了二次函数的图象与性质，关键是根据对称点坐标求得抛物线的对称轴．
10.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，
∴AD//BC，∠AFD=∠ABE=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵AD=AE，
∴△ADF≌△AEB(AAS)，
∴AF=BE，
故①正确，符合题意；
②∵△ADF≌△AEB，
∴DF=AB=DC，∠AFD=∠ABE=90°，
∴∠DFE=90°=∠DCF，
∵DE=DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL)，
∴∠EDF=∠EDC，
∴DE为∠FDC的角平分线，
故②正确，符合题意；
③连接CF，
∵AD=√2AB，AB=DF，
∴AD=√2DF，
∴∠ADF=45°，
∴∠DAF=∠BAE=∠AEB=45°，AF=AB=BE，
∴∠CEF=135°，∠ABF=∠AFB=67.5°，
∴∠CBF=22.5°
∵△DEC≌△DEF，
∴CE=EF，∠OEF=∠OEC=67.5°，
∴∠CEF=∠EFC=22.5°，
∴∠CBF=∠ECF，∠CFG=∠CBF+∠BCF=45°，∠FCG=90°−22，5=67.5°，∴BF=CF，∠CGF=180°−67.5°−45°=67.5°，
∴∠FCG=∠CGF，
∴CF=FG=BF，
∵∠OFE=∠OFC+∠EFC=67.5°=∠OEF=∠FCG=∠FGC，
∴△OEF∽△FCG，
∴OF FG =EF
CG
，
∴OF BF =CE
CG
，
故③正确，符合题意；
④∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=BE=CD=x，
∴BC=AD=AE=√2AB=√2x，
∴CE=BC−BE=(√2−1)x，
∵CE2+CD2=DE2，DE=2，
∴[(√2−1)x]2+x2=4，
解得x2=2+√2，
∴矩形ABCD的面积为：√2x⋅x=√2x2=2+2√2，
故④正确，符合题意；
故选：D．
①根据AAS证明△ADF≌△AEB便可判断①的正误；
②根据HL证明Rt△DEF≌Rt△DEC，便可判断②的正误；
③连接CF，由AD=√2AB，得∠DAF=∠BAE=∠AEB=45°，进而证明BF=FG，再证明△OEF∽△FCG，由相似三角形的性质得OF：BF=CE：CG，便可判断③的正误；
④设AB=BE=CD=x，得BC=AD=AE=√2AB=√2x，在Rt△CDE中由勾股定理列出方程
求得x ，再根据矩形面积公式求得矩形的面积便可判断④的正误．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，关键是综合应用这些知识解题．
11.【答案】0
【解析】解：原式=2×12
−1=0． 根据特殊角的三角函数值计算．
本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°=12，cos30°=√32，tan30°=√33
，cot30°=√3； sin45°=√22，cos45°=√22，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°=
√32，cos60°=12，tan60°=√3，cot60°=√33．
12.【答案】3
【解析】解：∵a =3b ，
∴a b =3b b =3，
故答案为：3．
代入通过约分计算便可得出结果．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
13.【答案】−7 1
【解析】解：∵y =2x 2−8x +1=2(x −2)2−7，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(2,−7)，
将x =0代入y =2x 2−8x +1得y =1，
∴0≤x ≤3时，函数最小值为−7，最大值为1，
故答案为：−7，1．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
14.【答案】√262
【解析】解：过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，连接AC ．
∵∠AOC =90°，
∴∠ABC =12×(360°−90°)=135°，
∴∠ABE =45°，
∵∠E =90°，AB =2√2，
∴AE =EB =2，
∵BC =1，
∴EC =3，
∴AC =√AE 2+CE 2=√22+32=√13， ∴OA =OC =
√22AC =√262． 故答案为：√262．
过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E 连接AC.证明△AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE ，EC ，AC ，可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15.【答案】−9
【解析】解：抛物线在x 轴下方，
∴a <0且Δ<0，
即{a <09a 2−4ac <0
，
解得4c
9
<a<0，
∵符合条件的整数a有三个，
∴−4≤4c
9
<−3，
解得−9≤c<−27
4
，
∴c的最小值为−9，
故答案为−9．
由题意得：a<0且Δ<0，进而求解．
本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握不等式的解法是本题解题的关键．
16.【答案】49
20
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠A=∠ADG=∠C=90°，
∵四边形FGQP是正方形，
∴∠PQG=∠DQG=90°，∠QGF=90°，
∴∠ADE+∠QDG=∠QDG+∠DGQ=90°，
∴∠ADE=∠DGQ，
∵∠A=∠DQG=90°，
∴△ADE∽△QGD，
∴AD AE =QG
QD
，
设正方形ABCD的边长为2a，则AD=DC=AB=2a，
∵E为AB中点，
∴AE=a，
∴QG QD =2a
a
=2，
设正方形FGQP的边长为2b，则FG=QG=2b，QD=b，
∴DG=√QG2+QD2=√4b2+b2=√5b，∵∠DGQ+∠FGC=90°=∠DGQ+∠GDQ，∴∠GDQ=∠FGC，
∴cos∠GDQ=cos∠FGC=DQ
DG =GC
FG
，
∴
√5b =GC
2b
，
∴GC=2√5
5
b，
∵DC=2a=√5b+2√5
5
b，
∴2a=7√5
5
b，
∴S1：S2=49×5
25b2×1
4b2
=49
20
，
故答案为：49
20
．
由相似三角形的性质和锐角三角函数可求DC=2a=√5b+2√5
5
b，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，利用参数表示线段的长度是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是1
3
，
∴盒子中球的总数为：5÷1
3
=15(个)，
故盒子中黑球的个数为：15−3−5=7(个)；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：7
15
；
(2)∵任意摸出一个球是红球的概率为1
4
，
∴盒子中球的总量为：3÷1
4
=12，
∴可以将盒子中的白球拿出3个，
∴m=3．
【解析】(1)直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数；
(2)直接利用概率公式的意义分析得出答案；
(3)利用概率公式计算得出符合题意的方法．
本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
18.【答案】解：(1)如图所示，点D即为所求；
(2)△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=1
(180°−36°)=72°，
2
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=72°−36°=36°，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BDC是黄金三角形．
【解析】(1)作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD即可；
(2)由等腰三角形的性质求出∠ABD=∠A=36°，∠ABC=∠C=1
(180°−36°)=72°，则∠DBC=
2
36°，再证∠BDC=∠C，得BD=BC，即可得出结论．
本题考查了黄金三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，由最大值为4，得到−4a=4，即a=−1，
则抛物线解析式为y=−x2+2x+3．
(2)列表：
x…−10123…
y…03430…
描点、连线，
函数图象如图所示；
；
(3)∵x=1时，y=4，x=4时，y=−4，
∴由图象可知，当1<x<4时，y的取值范围是−4<y<4．
【解析】(1)根据题意设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，再由最大值为3求出a的值，即可确定出抛物线解析式．
(2)根据解析式列表，描点连线即可；
(3)根据图象求得即可．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)作∠DAG=50°，AG交BC于G，过点G作GH⊥AD于
H，
则BEHG为矩形，
∴GH=BE，BG=EH，
设BE=12x m，
∵斜坡AB的坡比为12：5，
∴AE=5x m，
由勾股定理得：(5x)2+(12x)2=262，
解得：x=2(负值舍去)，
∴BE=24m，AE=12m，
∴GH=BE=24m；
(2)在Rt△GAH中，tan∠GAH=GH
AH
，
则24
AH
≈1.2，
解得：AH=20，
∴EH=AH−AE=10(m)，
∴BG=EH=10m，
答：坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡．
【解析】(1)作∠DAG=50°，AG交BC于G，过点G作GH⊥AD于H，设BE=12x m，AE=5x m，利用勾股定理求出BE可得结论；
(2)解直角三角形求出AH，AE，再求出EH，可得结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度ℎ和水平宽度l的比是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AB⏜=CD⏜，
∴AB=CD，
在△ABE与△CDE中，{∠A=∠C AB=CD ∠B=∠D
，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE；
(2)过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得：AF=FD，BG=OG，
∵AD=BC，
∴AF=CG，
在Rt△AOF与Rt△OCG中，
{AF=CG
OA=OC，
∴Rt△AOF≌Rt△OCG(HL)，
∴OF=OG，
∵AD⊥CB，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF，
设OF=EF=x，
则AF=FD=x+1，
∴OF2+AF2=OA2，
即：x2+(x+1)2=52，
解得：x=3，x=−4(舍去)，
∴AF=4，
∴AE=7．
【解析】(1)根据圆心角、弧、弦的关系得到AB=CD，推出△ABE≌△CDE，根据全等三角形的性质得到结论；
(2)过O作OF⊥AD与F，OG⊥BC于G，连接OA，OC，根据垂径定理得到AF=FD，BG=OG，由于AD=BC，于是得到AF=CG，推出Rt△AOF≌Rt△OCG，根据全等三角形的性质得到OF= OG，证得四边形OFEG是正方形，于是得到OF=EF，设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练则全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)令x=0得y=2，
∴A(0,2)，
∵y=ax2−2ax+2=a(x−1)2+2−a，
∴二次函数图象的对称轴是直线x=1；
(2)由a<0可知抛物线开口向下，
∵对称轴是直线x=1，当0≤x≤3时，y的最大值是3，
∴最大值在顶点处取得，
∴2−a=3，解得a=−1，
∴二次函数表达式为y=−x2+2x+2，
∵抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，
∴当x=3时，y有最小值，y=−32+2×3+2=−1；
(3)∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，y1≠y2，
∴P(x1,y1)，Q(x2,y2)不关于对称轴x=1对称，
∴x1+x2≠2恒成立，即x1+x2>2成立或x1+x2<2成立，
∴t+(t+2)>2或(t+1)+(t+3)<2，
解得t>0或t<−1．
∴t的取值的范围t>0或t<−1．
【解析】(1)令x=0可得A的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴；
(2)0≤x≤3时，y的最大值是3，可知抛物线开口向下，且对称轴x=1，故最大值是顶点纵坐标，可求出a及抛物线解析式，又抛物线开口向小时，离对称轴越远，函数值越小，可知x=3时函数取最小值，即可得到答案；
(3)根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数性质列不等式．
23.【答案】(1)证明：∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°，
∵∠A≠∠B≠∠ACB，
∴△ABC不是等腰三角形．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=1
∠ACB=40°，
2
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形．
∴∠DCB=∠A=40°，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
(2)解：①如图3所示，
当AD=CD时，∠ACD=∠A=48°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，则∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②如图4所示，
=66°，
当AD=AC时，∠ACD=∠ADC=180°−48°
2
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③如图5所示，
当AC=CD时，∠ADC=∠A=48°．
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴这与∠ADC>∠BCD矛盾，
所以图5的情况不符合题意．
综上所述，∠ACB的度数为96°或114°；(3)解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，∴AC=AD，
∵AC=3，
∴AD=3，
∵CD是△ABC的完美分割线，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC BA =BD
BC
，
∴BC2=BA⋅BD，
设BD=x，则AB=AD+BD=2+x，∴(√3)2=x(x+3)，
∴x=−3±√21
2
，
∵x>0，
∴x=−3+√21
2
，
∴BD=−3+√21
2
，
∵△BCD∽△BAC，
∴BD BC =CD
AC
，即
−3+√21
2
√3
=CD
3
，
∴CD=−3+3√7
2
．
【解析】(1)根据完美分割线的定义，先证明△ABC不是等腰三角形，再证明△ACD为等腰三角形，最后证明△BCD∽△BAC；
(2)根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①如图3所示，当AD=CD时，②如图4所示，当AD=AC，③如图5所示，当AC=CD，然后结合美分割线的定义可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数；
(3)根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．
本题是相似形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想解决问题是解本题的关键．。