数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷培优测试卷

数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷培优测试卷
一、压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x =的图象为直线1．
（1）观察与探究
已知点A 与A '，点B 与B '分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出
()2,3C -关于线l 的对称点C '的位置，并写出C '的坐标______．
（2）归纳与发现
观察以上三组对称点的坐标，你会发现：
平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为______． （3）运用与拓展
已知两点()2,3E -、()1,4F --，试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到E 、F 点的距离之和最小，并求出相应的最小值．
2．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线1
22
y x =
+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．
（1）求ABC 的面积．
（2）判断ABC 的形状，并说明理由．
（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标． 3．如图，直线11
2
y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与直线26y kx =-交于点()C 4,2．
（1）b = ；k = ；点B 坐标为 ；
（2）在线段AB 上有一动点E ，过点E 作y 轴的平行线交直线y 2于点F ，设点E 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，
B 四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说
明理由．
4．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义： 若1,(2)
,(2)b a b b a -≥⎧=<⎩
'⎨
当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是
(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．
（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；
②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）
（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标
b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．
5．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ． （材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．
6．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝
3+a c ，y ＝3
+b d
，那么称点T 是点A 和B 的融合点．例如：M （﹣1，8），N （4，﹣2），则点T （1，2）是点M 和N 的融合点．如图，已知点D （3，0），点E 是直线y ＝x +2上任意一点，点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点．
（1）若点E 的纵坐标是6，则点T 的坐标为 ； （2）求点T （x ，y ）的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式：
（3）若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点A (
32
，3
2)和B 30)，且与y 轴交于点D ，直线OC 与AB 交于点C ，且点C 3． (1)求直线AB 的解析式；
(2)连接OA ，试判断△AOD 的形状；
(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，运动时间为t 秒，同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q 到达点D 时，P ，Q 同时停止运动．设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．
8．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段
CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)． （1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；
（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由；
（3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与
CQP 全等？
（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？
9．已知，在平面直角坐标系中，(42,0)A ，(0,42)B ，C 为AB 的中点，P 是线段AB 上一动点，D 是线段OA 上一点，且PO PD =，DE AB ⊥于E ．
（1）求OAB ∠的度数；
（2）当点P 运动时，PE 的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE 的值． （3）若45OPD ∠=︒，求点D 的坐标．
10．如图，直线l 1的表达式为：y=-3x+3，且直线l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）求点D 的坐标； （2）求直线l 2的解析表达式； （3）求△ADC 的面积；
（4）在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，求点P 的坐标．
11．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°
（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF ①求证：△AED ≌△AFD ；
②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；
（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长． 12．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y ＝
5
3
x 相交于点B ，与x 轴相
交于点C，其中点B的横坐标为3．
（1）求B点的坐标和k，b的值；
（2）点Q为直线y＝kx+b上一动点，当点Q运动到何位置时△OBQ的面积等于27
2
？请求
出点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点P使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
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一、压轴题
1．(1) （3，-2）；(2) （n，m）；(3)图见解析,点Q到E、F点的距离之和最小值为10
【解析】
【分析】
（1）根据题意和图形可以写出C'的坐标；
（2）根据图形可以直接写出点P关于直线l的对称点的坐标；
（3）作点E关于直线l的对称点E'，连接E'F，根据最短路径问题解答.
【详解】
（1）如图，C'的坐标为（3，-2），
故答案为（3，-2）；
（2）平面直角坐标系中点()P m n ,关于直线l 的对称点P '的坐标为（n ，m ）， 故答案为（n ，m ）；
（3）点E 关于直线l 的对称点为E '（-3,2），连接E 'F 角直线l 于一点即为点Q ，此时点
Q 到E 、F 点的距离之和最小，即为线段E 'F ，
∵E 'F ()[]2
2
1(3)2(4)210=
---+--=⎡⎤⎣⎦
， ∴点Q 到E 、F 点的距离之和最小值为210.
【点睛】
此题考查轴对称的知识，画关于直线的对称点，最短路径问题，勾股定理关键是找到点的对称点，由此解决问题.
2．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）先求出直线1
22
y x =
+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；
（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；
（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标． 【详解】
解：（1）令0x =，则1
0222
y =⨯+=， ∴()0,2C ， 令0y =，则
1
202
x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，
将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =， ∴22y x =-+，
令0y =，则220x -+=，解得1x =， ∴1,0A ，
∴5AB =，2OC =， ∴1
52
ABC S AB OC =
⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，
22222125AC AO OC =+=+=，
且22525AB ==，
∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形； （3）∵CD 平分ACB ∠， ∴
1
2
AD AC BD BC ==， ∴1533
AD AB =
=， ∴2
3
OD AD OA =-=， ∴2,03D ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
①如图，CED ∠是直角，过点E
作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒， ∵CD 平分ACB ∠， ∴45ECD ∠=︒，
∴CDE △是等腰直角三角形， ∴CE DE =，
∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒， ∴MEC NDE ∠=∠， 在DNE △和EMC △中，
NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()DNE EMC AAS ≅， 设DN EM x ==，EN CM y ==，
根据图象列式：DO DN CM EN EM CO +=⎧⎨+=⎩，即232x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得23
43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴4
3
EN CM ==， ∴44,33E ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
；
②如图，CDE ∠是直角，过点E 作EG x ⊥轴于点G ， 同理CDE △是等腰直角三角形， 且可以证得()CDO DEG AAS ≅， ∴2DG CO ==，23
EG DO ==， ∴28233
GO GD DO =+=+
=，
∴
82
,
33
E
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，
综上：
44
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
82
,
33
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．
3．（1）4；2；(0，4)；（2）
12
5
m=或
28
5
m=；（3）存在．Q点坐标为()
45,4
-，
()
45,4，()
0,4
-或()
5,4．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，将点C(4，2)代入解析式可求解；
（2）设点E(m，1
4
2
m+)，F(m，2m-6)，得()
15
42610
22
EF m m m
=-+--=-，由
平行四边形的性质可得BO=EF=4，列出方程即可求解；
（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P点坐标，再确定O 点坐标即可求解．
【详解】
解：（1）（1）∵直线y2=kx-6交于点C(4，2)，
∴2=4k-6，
∴k=2，
∵直线
21 2
y x b
=-+过点C(4，2)，∴2=-2+b，
∴b=4，
∴直线解析式为：
21 2
y x b
=-+，直线解析式为y2=2x-6，
∵直线212y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8， ∴点B (0，4)，点A (8，0)，
故答案为：4；2；(0，4) （2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭，(),26F m m -， ∴()154261022
EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形，
∴EF BO =， ∴51042
m -=， 解得：125m =
或285m =时， ∴当125m =或285
m =时，四边形OBEF 是平行四边形． （3）存在．此时Q 点坐标为()45,4-，()
45,4，()0,4-或()5,4．
理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况：
①以AB 为边，如图1所示．
因为点()8,0A ，()0,4B ，
所以45AB =．
因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，
所以AP AB =或BP BA =．
当AP AB =时，点()845,0P -或()845,0+；
当BP BA =时，点()8,0P -．
当()845,0P -时，()8458,04Q -+，即()
45,4-；
当()845,0P +时，()8458,04Q +-+，即()
45,4；
当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．
②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．
可得5AP =，
点P 坐标为()3,0． 因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，
所以点Q 坐标为()5,4．
综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，A ，B 四个点能构成一个菱形，此时Q 点坐标为()45,4-，()
45,4，()0,4-或()5,4．
【点睛】
本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
4．（1）①
()3,1；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】
【分析】
（1）利用限变点的定义直接解答即可；
（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；
（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；
（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．
【详解】
解：（1）①∵32a =，
∴11b b ==-='，
∴坐标为：()
3,1，
故答案为：()
3,1； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，
∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，
， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，
∵()2,2满足2y =，
∴这个点是B ，
故答案为：B ；
（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，
∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，
∵点D 的坐标为(2,2)-，
∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，
∴点P 满足的关系式为：()()
00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：
当2x ≥时：1b x '=--，
当02x <<时：b x x '=-=，
当0x ≤时，b x x '==-，
图像如下：
通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，
当2x <时，0b '≥，∴0m =，
∴()033s m n =-=--=；
（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，
，，
把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩
，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，，
∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x x b x x x -⎧'=⎨-=--<⎩
， 图象如下：
当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，
当b '＝5时，
x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，
当b ′＝1时，
x ﹣4＝1，解得：x ＝5，
∵ 25b '-≤≤，
∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．
5．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．
【解析】
【分析】
（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，要使OC=OE，则有OC=1
2 CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=1
2 BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，
延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．
6．（1）（7
3
，2）；（2）y＝x﹣
1
3
；（3）E的坐标为（
3
2
，
7
2
）或（6，8）
【解析】
【分析】
（1）把点E 的纵坐标代入直线解析式，求出横坐标，得到点E 的坐标，根据融合点的定义求求解即可；
（2）设点E 的坐标为（a ，a+2），根据融合点的定义用a 表示出x 、y ，整理得到答案；
（3）分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况，根据融合点的定义解答．
【详解】
解：（1）∵点E 是直线y ＝x +2上一点，点E 的纵坐标是6，
∴x +2＝6，
解得，x ＝4，
∴点E 的坐标是（4，6），
∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，
∴x ＝343+＝73，y ＝063
+＝2， ∴点T 的坐标为（
73，2）， 故答案为：（73
，2）； （2）设点E 的坐标为（a ，a +2），
∵点T （x ，y ）是点D 和E 的融合点，
∴x ＝
33a +，y ＝023
a ++， 解得，a ＝3x ﹣3，a ＝3y ﹣2，
∴3x ﹣3＝3y ﹣2， 整理得，y ＝x ﹣13
； （3）设点E 的坐标为（a ，a +2）， 则点T 的坐标为（
33a +，23a +）， 当∠THD ＝90°时，点E 与点T 的横坐标相同， ∴33
a +＝a ， 解得，a ＝32
， 此时点E 的坐标为（
32，72）， 当∠TDH ＝90°时，点T 与点D 的横坐标相同， ∴
33
a +＝3， 解得，a ＝6，
此时点E 的坐标为（6，8），
当∠DTH ＝90°时，该情况不存在，
综上所述，当△DTH 为直角三角形时，点E 的坐标为（
32，72）或（6，8） 【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义，解题关键是灵活运用分情况讨论思想．
7．（1）y
＝﹣
3x +2；（2）△AOD 为直角三角形，理由见解析；（3）t ＝23
或3． 【解析】
【分析】
（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b ，即可求解；
（2）由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，即可求解； （3）点C
，1），∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°，故点C
1），则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝2﹣t ．①当OP ＝OM 时，OQ ＝QH +OH
（2﹣t ）+12（2﹣t ）＝t ，即可求解；②当MO ＝MP 时，∠OQP ＝90°，故OQ ＝
12
O P ，即可求解；③当PO ＝PM 时，故这种情况不存在． 【详解】 解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：
320b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩
，
解得：=2k b ⎧⎪⎨⎪=⎩
故直线AB 的表达式为：y
+2； （2）直线AB 的表达式为：y
+2，则点D （0，2）， 由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，
故DO 2＝OA 2+AD 2，
故△AOD 为直角三角形；
（3）直线AB 的表达式为：y
＝﹣3
x +2，故点C
，1），则OC ＝2， 则直线AB 的倾斜角为30°，即∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30° 故点C
1），则OC ＝2，
则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，
①当OP＝OM时，如图1，
则∠OMP＝∠MPO＝1
2
（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，
过点P作PH⊥y轴于点H，
则OH＝1
2
OP＝
1
2
（2﹣t），
由勾股定理得：PH＝
3
2
（2﹣t）＝QH，
OQ＝QH+OH＝3
（2﹣t）+
1
2
（2﹣t）＝t，
解得：t＝23
；
②当MO＝MP时，如图2，
则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，
故OQ＝1
2
OP，即t＝
1
2
（2﹣t），
解得：t ＝23
； ③当PO ＝PM 时，
则∠OMP ＝∠MOP ＝30°，而∠MOQ ＝30°，
故这种情况不存在；
综上，t ＝
23
或3
． 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．
8．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）83；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；
（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；
（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；
（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案．
【详解】
（1）由题意知，BP=2t ，则
PC=BC-BP=6-2t ，
故答案为：6-2t ；
（2）全等，理由如下：
∵p Q V V =，t=1，
∴BP=2=CQ ，
∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=4（cm ），
又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ），
在BPD △和CQP 中
BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BPD △≌CQP （SAS ）
故答案为：全等．
（3）∵p Q V V ≠，
∴BP CQ ≠，
又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ，
∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ，
∴点,P Q 运动时间322
BP t ==（s ）， ∴48332
Q CQ V t
===（cm/s ）， 故答案为：8
3；
（4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇，
∵2/p V cm s =，8/3Q V cm s =
， ∴2t+8+8=83t ，
解得：t=24
此时点Q 走了824643⨯=（cm ），
∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ），
∴6422220÷=，
∴20-8-8=4（cm ），
经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇，
故答案为：24s ，在 BC 边上相遇．
【点睛】
考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．
9．（1）45°；（2）PE 的值不变，PE=4，理由见详解；（3）D(8-，0)．
【解析】
【分析】
（1）根据A ，(0,B ，得△AOB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，即可求出∠OAB 的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，再证明
△POC ≌△DPE ，根据全等三角形的性质得到OC=PE ，即可得到答案；
（3）证明△POB ≌△DPA ，得到PA=OB=，DA=PB ，进而得OD 的值，即可求出点D 的坐标．
【详解】
（1
）A
，(0,B ，
∴
OA=OB=
∵∠AOB=90°，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
（2）PE 的值不变，理由如下：
∵△AOB 为等腰直角三角形，C 为AB 的中点，
∴∠AOC=∠BOC=45°，OC ⊥AB ，
∵PO=PD ，
∴∠POD=∠PDO ，
∵D 是线段OA 上一点，
∴点P 在线段BC 上，
∵∠POD=45°+∠POC ，∠PDO=45°+∠DPE ，
∴∠POC=∠DPE ，
在△POC 和△DPE 中，
90POC DPE OCP PED PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△POC ≅△DPE(AAS)，
∴OC=PE ，
∵OC=12AB=12
×
×=4， ∴PE=4；
（3）∵OP=PD ，
∴∠POD=∠PDO=(180°−45°)÷2=67.5°，
∴∠APD=∠PDO−∠A=22.5°，∠BOP=90°−∠POD=22.5°，
∴∠APD=∠BOP ，
在△POB 和△DPA 中，
OBP PAD BOP APD OP PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△POB ≌△DPA(AAS)，
∴
PA=OB=DA=PB ，
∴
DA=PB=
-
，
∴
OD=OA−DA=
8-，
∴点D 的坐标为
(8，0)．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质定理，图形与坐标，掌握等腰直角三角形的性质，是解题的关键．
10．（1）（1，0）；（2）362y x -＝；（3）
92；（4）（6，3）． 【解析】
【分析】
（1）由题意已知l 1的解析式，令y=0求出x 的值即可；
（2）根据题意设l 2的解析式为y=kx+b ，并由题意联立方程组求出k ，b 的值；
（3）由题意联立方程组，求出交点C 的坐标，继而即可求出S △ADC ；
（4）由题意根据△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到AD 的距离进行分析计算．
【详解】
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D （1，0）；
（2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y ＝32
-，代入表达式y=kx+b ， ∴40332
k b k b +⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝， ∴326
k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线l 2的解析表达式为3
62
y x -＝； （3）由33362
y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），
∵AD=3， ∴331922
ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P 到AD 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，
所以P （6，3）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.
11．（1）①见解析；②DE ＝
297；（2）DE 的值为 【解析】
【分析】
（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，
∴△BAE ≌△CAF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，
∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，
∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，
∴∠DAE ＝∠DAF ，
∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，
∴△AED ≌△AFD （SAS ）；
②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，
∴∠DCF ＝90°，
∵△AED ≌△AFD （SAS ），
∴DE ＝DF ＝x ，
∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，
∴x 2＝（7﹣x ）2+32，
∴x ＝297
， ∴DE ＝
297； （2）∵BD ＝3，BC ＝9，
∴分两种情况如下： ①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．
∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，
∴∠EAB ＝∠DAC ，
∵AE ＝AD ，AB ＝AC ，
∴△EAB ≌△DAC （SAS ），
∴∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝9-3=6，
∴∠EBD ＝90°，
∴DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，
∴DE ＝35；
②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，连接BE ．
同理可证△DBE 是直角三角形，EB ＝CD ＝3+9=12，DB ＝3，
∴DE 2＝EB 2+BD 2＝144+9＝153，
∴DE ＝317，
综上所述，DE 的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
12．（1）点B （3，5），k ＝﹣43
，b ＝9；（2）点Q （0，9）或（6，1）；（3）存在，点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478） 【解析】
【分析】
（1）53
y x =
相交于点B ，则点(3,5)B ，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式，即可求解； （2）OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=，即可求解； （3）分AB AP =、AB BP =、AP BP =三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）53
y x =相交于点B ，则点(3,5)B ， 将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：43k =-
，9b =； （2）设点4(,9)3
Q m m -+， 则OBQ ∆的面积1127||9|3|222
OA xQ xB m =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：0m =或6，
故点Q （0，9）或（6，1）；
（3）设点(0,)P m ，而点A 、B 的坐标分别为：(0,9)、(3,5)，
则225AB =，22(9)AP m =-，229(5)BP m =+-，
当AB AP =时，225(9)m =-，解得：14m
或4； 当AB BP =时，同理可得：9m =（舍去）或1-； 当AP BP =时，同理可得：478m =
； 综上点P 的坐标为：（0，4）或（0，14）或（0，﹣1）或（0，
478
）. 【点睛】 本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。