高考数学 第十一章 第一节 绝对值不等式课时提升作业

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学第十一章第一节绝对值不等
式课时提升作业理新人教A版
一、选择题
1.不等式|x-2|>x-2的解集是( ) (A)(-∞，2) (B)(-∞，+∞)
(C)(2，+∞) (D)(-∞，2)∪(2,+∞)
2.不等式|5x-x2|<6的解集为( )
(A)(-1,2) (B)(3,6)
(C)(-1,2)∪(3,6］(D)(-1,2)∪(3,6)
3.设a>0，不等式|ax+b|<c的解集是{x|-2<x<1}，则a∶b∶c等于( )
(A)1∶2∶3 (B)2∶1∶3
(C)3∶1∶2 (D)3∶2∶1
4.“a<4”是“对任意的实数x，|2x-1|+|2x+3|≥a成立”的( )
(A)充分必要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分也不必要条件
5.不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为( )
(A)(-∞,-2］∪［2,+∞)
(B)(-∞,-1］∪［2,+∞)
(C)(-∞,-2］∪［3,+∞)
(D)(-∞,-3］∪［2,+∞)
6.不等式|x-2|+|x-1|≤3的最小整数解是( )
(A)0 (B)-1 (C)1 (D)2
7.(2013·武汉模拟)已知a,b,c∈R且a>b>c,则有( )
(A)|a|>|b|>|c| (B)|ab|>|bc|
(C)|a+b|>|b+c| (D)|a-c|>|a-b|
8.如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|>a的解集是全体实数，则a的取值范围是
( )
(A)(-∞,-1) (B)(-∞,1)
(C)(-1,+∞) (D)(1,+∞)
9.若关于x的不等式|x+1|+|x-2|<a无实数解，则a的取值范围是( )
(A)(3，+∞) (B)［3，+∞)
(C)(-∞，3) (D)(-∞，3］
10.若不等式|x-2|+|x+3|≥
4
a
a
+对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,0) (B)［1,4］
(C)(-∞,4］(D)(-∞,0)∪［1,4］
二、填空题
11.(2012·湖南高考)不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_________.
12.若不等式|
1
x
x
+|≥|a-2|+1对一切非零实数x均成立，则实数a的最大值是_________.
13.对于实数x,y，若|x-1|≤1,|y-2|≤1，则|x-2y+1|的最大值为_________.
14.(2012·陕西高考)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立，则实数a的取值范围是_________.
三、解答题
15.设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集.
(2)若对任意x∈R,f(x)≥211
t t
2
-恒成立，求实数t的取值范围.
答案解析
1.【思路点拨】根据绝对值的意义，先去掉绝对值，简化不等式，再求解.
【解析】选A.原不等式等价于x-2<0，得x<2，选A.
2.【解析】选D.|5x-x 2
|<6⇔225x x 6,5x x 6,⎧-<⎪⎨->-⎪⎩ ∴-1<x<2或3<x<6.
【方法技巧】绝对值不等式的解法
(1)解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值符号.常用方法有:定义法、几何意义法、公式法、图象法等.
(2)对含有多个绝对值符号的不等式，一般利用“零点分割法”分情况讨论(通法)或用几何意义法.对于形如｜x-a ｜+｜x-b ｜<c 和｜x-a ｜-｜x-b ｜>c 的不等式，利用几何意义或者借助函数的图象去解更为直观简捷.
3.【解析】选B.由原不等式得解集为
b c c b x |x ,a a ---⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭由题意得b c 2 a c b 1 a
--⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩①② ①+②得:
2b 1a =， ∴b=1a 2，代入②知c=3a.2
∴a ∶b ∶c=a ∶13a a 22
∶=2∶1∶3. 4.【解析】选 B.因为|2x-1|+|2x+3|≥a,所以|1x 2-|+|3x 2+|≥a 2
，根据不等式的几何意义可知，|1x 2-|+|3x 2+|表示数轴上点x 到点1322-和的距离之和，则13|x ||x |22
-++≥2，所以当a<4时，有a 22<，所以不等式13|x ||x |22-++≥a 2
成立，此时为充分条件，要使|2x 1||2x 3|-++≥a 恒成立，即13|x ||x |22-++≥a 2恒成立，则有a 2≤2,即a ≤4，综上，a<4是|2x-1|+|2x+3|≥a 成立的充分不必要条件，选B.
5.【解析】选D.由|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3及不等号左侧式子的几何意义得在数轴上两个零点x=-3和x=2，故x ≤-3或x ≥2，故选D.
6.【解析】选A.由绝对值的意义，在数轴上到1，2对应的点的距离之和等于3的点就是数0，3对应的点，故|x-2|+|x-1|≤3的解集为{x|0≤x≤3}，最小整数解为0.
7.【解析】选D.a>b>c⇒a-c>a-b>0⇒|a-c|>|a-b|.
8.【解析】选B.由绝对值的几何意义可知，|x-3|+|x-4|≥1,故a<1.
9.【解析】选D.由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x-2|的最小值为3，|x+1|+|x-2|<a无解，知a≤3. 【变式备选】不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
(A)(-∞,-1]∪[4,+∞)
(B)(-∞,-2］∪[5,+∞)
(C)[1,2]
(D)(-∞,1]∪[2,+∞)
【解析】选A.因为|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4,
不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意x恒成立，
所以a2-3a≥4即a2-3a-4≥0,
解得a≥4或a≤-1.
10.【解析】选D.令f(x)=|x-2|+|x+3|,由绝对值的几何意义知f(x)≥5，故若使不等式恒成立，只需
4 a
a +
≤5成立即可，解得{a|a<0或1≤a≤4}.
11.【思路点拨】先移项，然后两边平方，再解不等式.
【解析】由|2x+1|-2|x-1|>0得|2x+1|>2|x-1|，平方得12x>3,x>1
,
4
故解集为{x|x>
1
4
}.
答案:{x|x>1
4
}
【误区警示】使用平方法去绝对值时要特别小心，非常容易出现增解，必须检查变形的同解性.事实上，平方法去绝对值一般只适用于两边非负的不等式，比如对|2x-1|<|x-1|平方,可得(2x-1)2<(x-1)2.
12.【解析】令f(x)=|
1
x
x
+|，由题意知要求
|a-2|+1≤f(x)时a的最大值，
而f(x)=|
1
x
x
+|=|x|+|
1
x
|≥2,
∴|a-2|+1≤2,解得1≤a≤3,故a的最大值是3.
答案:3
13.【解析】|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5，当x=0，y=3时， |x-2y+1|取得最大值5.
答案:5
14.【思路点拨】利用数轴，首先确定两点a 与1,转化为到此两点的距离的和不大于3的x 的值存在，其中抓住定点1和动点a 是解题的关键；或利用绝对值不等式的性质求解.
【解析】方法一:在数轴上确定点1，再移动点a 的位置，观察a 点的位置在-2和4的位置时，验证符合题意，确定它们是边界位置，所以-2≤a ≤4.
方法二:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|，要使|x-a|+|x-1|≤3有解，只要有|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a ≤4.
答案: -2≤a ≤4
【变式备选】若关于x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________.
【解析】方法一:|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和，而|BC|=3.
∴|AB|+|AC|≥3.
∴|a|≥3,∴a ≤-3或a ≥3.
方法二:设f(x)=|x+1|+|x-2|=
12x,x 13,1x 22x 1,x 2-<-⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩，
，，
∴f(x)的图象如图所示，∴f(x)≥
3,
∴|a|≥3,∴a ≤-3或a ≥3.
方法三:∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,∴|a|≥3.
∴a ≤-3或a ≥3.
答案:(-∞,-3］∪［3,+∞)
15.【解析】(1)f(x)=
1x 3,x ,213x 1,x 2,2x 3,x 2,⎧--<-⎪⎪⎪--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩
当1x 2<-
时,-x-3>2,x<-5,∴x<-5； 当12
-≤x<2时,3x-1>2,x>1,∴1<x<2； 当x ≥2时，x+3>2,x>-1,∴x ≥2. 综上所述{x|x>1或x<-5}.
(2)易得f(x)min =52-，若∀x ∈R ，f(x)≥211t t 2-恒成立，则只需f(x)min =52-≥211t t 2-⇒22t 11t 5-+≤0⇒12≤t ≤5,综上所述12
≤t ≤5. 【误区警示】去绝对值号时容易忽视零点 如解不等式|2x+1|-|x-4|<2时，要对x 分:x<1
1,22--
≤x<4,x ≥4三种情况，而不是分:x<1
1,22--<x<4,x>4三种情况；按照x ≤11,22--≤x ≤4,x ≥4的分类也是不合理的，总之分类的标准是“不重不漏”.。