4.2.1回归直线方程课件高二下学期数学选择性

提示 不一定是真实值.利用线性回归方程求出的值在很多时候只是预测值.
知识点2
最小二乘法
1.最小二乘法:由于平方又叫二乘方,所以这种使“竖直距离平方和,即
n
Q= ∑ (yi-a-bxi)2 最小”的方法称为 最小二乘法 .
i=1
2.利用最小二乘法求回归直线方程的方法:
n
^
^
^
^
∑ x i y i -nxy
A.所卖的热饮杯数与当天气温负相关
B.可以预测温度在20 ℃时,该小卖部一定能卖出100杯热饮
C.气温每升高1 ℃,所卖的热饮杯数约减少2杯
求得回归直线方程和相关系数r,分别得到以下四个结论,其中一定错误的
是( AD )
A.y=2.35x-6.42,r=-0.93
B.y=-3.47x+5.65,r=-0.95
C.y=5.43x+8.49,r=0.98
D.y=-4.32x-4.58,r=0.89
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
(方法二)∵ =
6+8+10+12
=9,
4
=
2+3+5+6
=4,
4
4
∑ (xi-)(yi-)=(-3)×(-2)+(-1)×(-1)+1×1+3×2=14,
=1
4
∑ (xi-)2=(-3)2+(-1)2+12+32=20,
=1
4
^
∴ =
∑ ( -)( -)
=1
4
∑ ( -)2
2
=
1
.故选
4
A.
探究点二
回归直线方程的求法
【例3】 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得到
下表数据:
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)画出散点图并判断x与y之间是正相关还是负相关.
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程
^
^
^
= bx+.

^
∑ ( -)( -)
^
^
^
B.至少有一个样本点落在回归直线 = x+上
^
^
C.对所有的自变量 xi(i=1,2,3,…,30),xi+的值一定与 yi 不同
^
^
^
^
D.若 = x+中斜率>0,则变量 x 与 y 正相关
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3.如果在一实验中,测得(x,y)的四组数值分别是A(2,6),B(4,7.6),
4
4
=1
i=1
∑ xiyi=12+24+50+72=158, ∑ 2 =36+64+100+144=344,
4
^
∴ =
∑ -4
=1
4
∑ 2 -4
2
=
158-144
=0.7.
344-324
=1
^
^
∴ = − =4-0.7×9=-2.3.
^
∴y 关于 x 的回归直线方程为=0.7x-2.3.
^
线方程为 =
8
8
^
^
1
x+a
,若
∑
x
i=8, ∑ yi=6,则 =(
2
=1
=1
1
A.4
5
B.8
C.2
D.5
A )
解析 因为 x1+x2+…+x8=8,所以=1.
因为 y1+y2+…+y8=6,所以 =
3
.
4
^
因为回归直线经过样本中心,且 =
^
1
3
x+a,所以4
2
=
^
^
1
×1+,解得
^
^
^
2.两变量之间若具有线性相关关系,且回归直线方程为y = bx+a,则 y 与 x 正负
^
相关与b的符号有什么关系?
^
^
提示 当>0 时,y 与 x 正相关,反之也成立;同理b<0 时,y 与 x 负相关.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
回归直线方程的理解
角度1.回归直线方程中回归系数的理解
^
^
^
(2)回归系数b的实际意义:①b是回归直线的斜率;②当 x 增加一个单位时,y平
^
^
^
均变化b个单位(b>0 时增加,b<0 时减少).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
^
^
^
^
^
^
^
^
(1)回归直线方程y = bx+a中b的取值为全体实数.( × )
(2)回归直线方程y = bx+a中a表示 y 不随 x 的变化而变化的量.( √ )
规律方法 若n个成对数据具有线性相关性,求解与成对数据涉及的两变
量的回归直线方程的系数符号时,可以作出散点图,根据散点图的带状分布
特点判断回归直线的斜率和截距的符号.
变式训练1已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,则其回
归方程可能为( B )
^
A.=1.5x+2
^
B.y=-1.5x+2
10
× ∑ yi=0.8,所以样本中心为
i=1
^
^
(2,0.8),把样本中心的坐标代入回归直线的方程中得 0.8=2b+5,解得=-2.1.故
选 C.
规律方法 求解回归直线方程中的参数时应明确回归直线一定过样本中
心(, ).
变式训练 2 已知具有线性相关关系的变量 x,y,设 Ai(xi,yi)(i=1,2,3,…,8),回归直
=1
xi2 ,
n
∑ xiyi.
i=1
n
^
^ ^
(4)代入公式计算, ,公式为
∑ x i y i -nxy
= i=1n
∑ x 2i -nx
i=1
^
^
= y-x.
^
^
^
(5)写出回归直线方程 = x+.
2
,
变式训练3某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研,发现存
款利率每上升一定的百分点,日均存款总额就会发生一定的变化,经过统计
^
C.=1.5x-2
^
D.=-1.5x-2
解析 因为散点图由左上方向右下方成带状分布,故回归直线的斜率为负数,
排除A,C.由于散点图的带状区域经过y轴的正半轴,故回归直线的截距为正
数,排除D.故选B.
角度2.利用回归直线方程性质求参数
【例2】 已知变量x,y之间具有良好的线性相关关系,若通过10组数据
画它们之间的关系.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)选取一组数据的部分点得到的回归直线方程与由整组数据得到的回归
直线方程是相同的.( × )
(2)任何n对观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)都可以建立回归直线.( × )
2.在回归分析中,利用线性回归方程求出的值一定是真实的吗?
得到下表:
利率上升百分点
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
日均存款总额y/亿元
0.2
0.35
0.5
0.65
0.8
(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图;
(2)根据题中提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程.
n
^
∑ -
参考公式及数据:① = i=1
2
∑ 2 -
公式: = =1
2
∑ ( -)
=1

=
∑ - ^
=1

∑
=1
2
2 -
^
, = − .
解 (1)x与y的散点图如图所示,由图可知x与y之间是正相关.
(2)(方法一)∵ =
6+8+10+12
=9,
4
=
2+3+5+6
=4,
4
2
∴4=4×9×4=144,4 =4×81=324.
=1
^
^
5
5
=1
=1
, = − ,② ∑ xiyi=0.9, ∑ 2 =0.55.
解 (1)散点图如图所示:
(2)由表格数据可得 =
=
1
×
(0.1+0.2+0.3+0.4+0.5)=0.3,
5
1
×(0.2+0.35+0.5+0.65+0.8)=0.5,
5
5
^
所以 =
∑ -5
=
14
=0.7.
20
=1
^
^
∴ = − =4-0.7×9=-2.3.
^
∴y 关于 x 的回归直线方程为=0.7x-2.3.
规律方法 求回归直线方程的一般步骤
(1)收集样本数据,设为(xi,yi)(i=1,2,…,n).
(2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系.

(3)计算, , ∑
若用最小二乘法求回归直线方程y = a + bx,则b = i=1n
∑ x 2i -nx
i=1
^
a=
n
^
− x
.
^
∑ (x i -x)(y i -y)
也可用b = i=1n
2
∑ (x i -x)
i=1
表示
2
,
名师点睛
^
^
^
回归直线方程y = bx+a的性质:
(1)回归直线一定过样本中心(x, y).
使各点与这条直线最接近,这样所得到的直线就可以比较科学地反映实际
直线不一定过散点图中的点
问题中两个变量之间的相关关系.这条直线称为回归直线,这条直线的方程
称为回归直线方程.
散点图中的点的坐标不一定满足方程
2.对于线性相关关系的两个变量x,y都可用一个线性方程y=a+bx来近似刻
称为因变量,被预测或被解释的变量
湘教版 数学 选择性必修
第二册
课标要求
1.了解回归直线、一元回归分析、一元线性回归模型的含义.
2.了解最小二乘法的思想,会用最小二乘法求回归直线方程.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
知识点1
回归分析
1.回归直线方程:若两变量之间具有线性相关关系,我们可以找出一条直线,
i=1
5
∑ 2 -5
2
=
0.9-5×0.3×0.5
=1.5,
0.55-5×0.3×0.3
=1
^
^
= − =0.5-1.5×0.3=0.05,
^
故=1.5x+0.05.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)回归直线方程;(2)最小二乘法.
2.方法归纳:利用散点图判断两变量之间的回归直线方程的系数特征;应用
解析 对于y=2.35x-6.42,且r=-0.93,由线性回归方程知,此两变量的关系是正
相关,r>0,∴A错误;对于y=-3.47x+5.65,且r=-0.95,线性回归方程符合负相关
的特征,r<0,∴B正确;对于y=5.43x+8.49,且r=0.98,线性回归方程符合正相
关的特征,r>0,∴C正确;对于y=-4.32x-4.58,且r=0.89,线性回归方程符合负
^
中,得到回归直线方程为=0.35x+70,则下列结论正确的是( A )
A.若=60,则=91
B.人的血压与体重负相关
C.x=80 kg,血压一定为98 mmHg
D.体重大的人比体重小的人血压必然高
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5.如果发现散点图中所有样本点都在一条直线上,则这些点到这条直线的
回归直线过样本中心的性质解题;利用回归系数公式
求回归直线方程.
3.特别提示:通过回归直线方程求得的数值是一个估计值,该值与实际的值
有误差;回归直线不一定过散点图中的样本点;求回归直线方程时要注意公
式的正确运用及准确计算.
成果验收·课堂达标检测
A级 必备知识基础练
1.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并
竖直距离的平方和等于( B )
A.1
B.0
C.2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
D.3
6.某同学研究了气温对某小卖部热饮销售的影响,经过统计得到了一天所
卖的热饮杯数y(单位:杯)与当天气温x(单位:℃)之间的线性关系是由回归
^
直线 =-2.35x+147.77来反映的,则下列说法错误的是( B )
C(6,10.4),D(8,12),则y与x之间的回归直线方程是( B )
^
A.=2x+1.8
^
C.=1.04x+2.8
^
B.=1.04x+3.8
^
D.=2x-1.8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
4.某科研机构在关于人的血压y(单位:mmHg)与体重x(单位:kg)的关系研究
【例1】 根据如下样本数据:
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
-3.0
^
^
^
得到的回归直线方程为 = bx+,则( B )
^
^
^
^
A.>0,>0
C.<0,>0
^
^
^
^
B.>0,<0
D.<0,<0
解析 作出散点图如下:
^
^
^
^
^
^
^
^
观察图象可知,回归直线 = bx+的斜率<0,当 x=0 时, = >0.故>0,<0.
相关的特征,r<0,D错误.故选AD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.已知一组样本点(xi,yi),其中 i=1,2,3,…,30,根据最小二乘法求得的回归直
^
^
^
线方程是 = bx+,则下列说法正确的是( D )
^
^
^
A.若所有样本点都在 = x+上,则变量间的相关系数为 1
^
^
10
10
=1
=1
(xi,yi)(i=1,2,…,10)得到的回归直线方程为 = bx+5,且 ∑ xi=20, ∑ yi=8,则