黑龙江省黑河市2021届新高考数学五模试卷含解析

黑龙江省黑河市2021届新高考数学五模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A
．
643
π B ．
256
3
π C ．
436
3
π D ．
2048
327
π 【答案】B 【解析】
由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得
221
5825872
BC =+-⨯⨯⨯
= ，ABC V 的外接圆圆心2sin 33BC r r B =
=∴=
三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离1
5,2
d SA =
= 则外接球的半径()
2
2
76453
3R ⎛⎫=+
=
⎪⎝⎭
，则该三棱锥的外接球的表面积为2
25643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）
A ．36
B ．45
C ．36-
D ．45-
【答案】A 【解析】 【分析】
列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值. 【详解】
18i =≤满足，执行第一次循环，()1
20111S =+-⨯=-，112i =+=；
28i =≤成立，执行第二次循环，()2
21123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()3
23136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4
261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.
【点睛】
本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
3．已知函数21
,0
()2
ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
C ．(0,1)
D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x =为()()g x f x kx =-的一个零点；对于当0x <时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x <即可求得k 的范围；对于当
0x >时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k 的范围.综合后可得k 的范围.
【详解】
根据题意，画出函数图像如下图所示：
函数()()g x f x kx =-的零点，即()f x kx =. 由图像可知，(0)0f =，
所以0x =是0()f x kx -=的一个零点，
当0x <时，2
1
()2
f x x x =-+
，若0()f x kx -=， 则2
102x x kx -+-=，即12x k =-，所以102k -<，解得12
k <；
当0x >时，()ln(1)f x x =+， 则1
()1f x x '=
+，且
()10,11
x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈， 综上可得1,12k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 故选：B. 【点睛】
本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.
4．已知随机变量X 的分布列是
X
1
2 3
P
12
13
a
则()2E X a +=（ ） A ．
53
B ．
73
C ．
72
D ．
236
【答案】C 【解析】 【分析】
利用分布列求出a ，求出期望()E X ，再利用期望的性质可求得结果. 【详解】
由分布列的性质可得
11123
a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，
因此，()()11517222266362
E X a E X E X ⎛
⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝
⎭. 故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是基本知识的考查．
5．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双
曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u u v u u u v ，120
QF QF ⋅=u u u u v
u u u v ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A 1
B ．1
C 2
D 2
【答案】D 【解析】
由双曲线的方程22
221x y a b
-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线
上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0
QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u v
u u u v u u u v ， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u r u u u u r ,
点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +=
=，即22(,)33
a c b
P +，
代入双曲线的方程可得22
(2)1
144
a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e
的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．
6．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r
，则（ ）
A ．a r
∥b r
B ．a r
⊥b r
C ．a r
∥(a b -r
r
)
D ．a r
⊥( a b -r
r
)
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【详解】
∵向量a =r
（1，﹣2），b =r
（3，﹣1），∴a r
和b r
的坐标对应不成比例，故a r
、b r
不平行，故排除A ； 显然，a r •b =r
3+2≠0，故a r
、b r
不垂直，故排除B ；
∴a b -=r r （﹣2，﹣1），显然，a r 和a b -r r 的坐标对应不成比例，故a r 和a b -r r 不平行，故排除C ；
∴a r •（a b -r r ）＝﹣2+2＝0，故 a r ⊥（a b -r r ），故D 正确，
故选：D. 【点睛】
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
7．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A ．20
B ．27
C ．54
D ．64
【答案】B 【解析】 【分析】
设大正方体的边长为x ，31
2
x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解。

【详解】
设大正方体的边长为x
，则小正方体的边长为1
22
x x -， 设落在小正方形内的米粒数大约为N ，
则2
212200
x x N x ⎫
-⎪
⎝⎭=
，解得：27N ≈ 故选：B 【点睛】
本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。

8．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x
y
<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
x y <，不能得到
1x y <， 1x
y
<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，
当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y
=>，
故x y <时，
1x
y
<不成立， 当
1x
y
<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1x
y
<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题. 9．已知函数()1ln
11x
f x x x
+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( )
A ．11,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
B ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的单调性和奇偶性，由此求得不等式()()12f a f a ++>的解集. 【详解】
构造函数()()11ln
1x F x f x x x +=-=+-，由101x
x
+>-解得11x -<<，所以()F x 的定义域为()1,1-，且()()111ln
ln ln 111x x x F x x x x F x x x x +--⎛⎫
-=-=--=-+=- ⎪-++⎝⎭
，所以()F x 为奇函数，而()12ln
ln 111x F x x x x x +⎛
⎫=+=-++ ⎪--⎝
⎭，所以()F x 在定义域上为增函数，且()0ln100F =+=.由()()12f a f a ++>得()()1110f a f a -++->，即()()10F a F a ++>，所以10
11102111
a a a a a ++>⎧⎪
-<<⇒-<<⎨⎪-<+<⎩
.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.
10．设函数1,2()21,2,1
a x f x log x x a =⎧=⎨
-+≠>⎩，若函数2
()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ） A ．12 B ．11
C ．6
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果． 【详解】
作出函数1,2()21,2,1a
x f x log x x a =⎧
=⎨
-+≠>⎩的图象如图所示，
令()f x t =，
由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），
所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），
由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3， 则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=
故选B ． 【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 11．已知复数()()2019
311i i z i
--=（
i 为虚数单位）
，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4
B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限
C ．z 的共轭复数42z i =-
D ．25z =【答案】D 【解析】 【分析】
利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】
因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故45043
34i 24i 24i 2
42i i i i
z ⨯++++=
===-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共 轭复数为42z i =--，C 错误；22(4)225z =-+=D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故632
33a a d -==-，故选：D ．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设1234x x x x 、、、为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如下表，若记DX ，DY 分别为
,X Y 的方差，则DX _____DY ．（填>，<，=）
【答案】> 【解析】 【分析】
根据方差计算公式，计算出,DX DY 的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系. 【详解】
()12341
4
EX x x x x =
+++，故 ()()()()2222
123414DX x EX x EX x EX x EX ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦()4221144i i x EX =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
∑.
()23341241123411422224
x x x x x x
x x EY x x x x EX ++++⎛⎫=+++=+++= ⎪⎝⎭，
2222
23341241142
222x x x x x x x x DY EX EX EX EX ⎡⎤
++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()22222233412411442222x x x x x x x x EX ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. 要比较,DX DY 的大小，只需比较42
1i
i x =∑与2222
23341
2412222x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，两者作差
并化简得
22224
2
2334124112222i
i x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑ ()2222
123412233441222224
x x x x x x x x x x x x +++-+++=
()()()()2222
12
2334414
x x x x x x x x -+-+-+-=①，
由于1234,,,x x x x 为互不相等的正实数，故0>①，也即
2222
4
223341241
12222i i x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，也即DX DY >. 故答案为：> 【点睛】
本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题. 14．点0P 是曲线3ln y x x k =++（k ∈R ）图象上的一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点0P 横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得k ． 【详解】 设0(,)P x y ， 由题意31y x '=
+，∴3
14x
+=，1x =，4113y =⨯-=，即0(1,3)P ， ∴33ln11k =++，2k =． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
15．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，三角形PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为6
3
-，当三棱锥P ABC -的体积最大值为1
3
时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】
根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角P AC B --的平面角,再设出,AB BC 的长,
即可求出三棱锥P ABC -的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥P ABC -的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】
如图所示：
过点P 作PE ⊥面ABC ,垂足为E ,过点E 作DE AC ⊥交AC 于点D ,连接PD . 则PDE ∠为二面角P AC B --的平面角的补角,即有6cos 3
PDE ∠=
. ∵易证AC ⊥面PDE ,∴AC PD ⊥,而三角形PAC 为等边三角形, ∴D 为AC 的中点. 设,AB a BC b ==, 22AC a b c =+=. ∴33sin 232
c PE PD PDE c =⋅∠=
⨯=. 故三棱锥P ABC -的体积为
223
111322*********
c c c a b c V ab abc ab +=⨯⨯==⨯≤⨯=
当且仅当2a b ==时,3max 1243c V =
=,即2,2a b c ===. ∴,,B D E 三点共线.
设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ,半径为R .
过点O 作OF PE ⊥于F ,∴四边形ODEF 为矩形.
则OD EF ==
cos 3
DE OF PD PDE ==∠==,1PE =,
在Rt PFO V 中,(
2
2
21R =+,解得22R =. 三棱锥P ABC -的外接球的表面积为248S R ππ==. 故答案为：8π． 【点睛】
本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的求法,涉及二面角的运用,基本不等式的应用,以及球的几何性质的应用,意在考查学生的直观想象能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题. 16．数列{}n a 满足递推公式21++=+n n n a a a ，且12201920202020a a a a =⋅=，，则
222
122019a a a ++⋯+=___________.
【答案】2020 【解析】 【分析】
可对12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +得12
121n n n n n a a a a a ++++=-，
依次写出211n n n n n a a a a a +-=-，21121n n n n n a a a a a ----=-，
⋅⋅⋅，2
22312a a a a a =-，累加可得22223112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-，再由12a a =得2222
1231n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，代入2019n =即可求解
【详解】
12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +有1
2121n n n n n a a a a a ++++=-，从而211n n n n n a a a a a +-=-，
21121n n n n n a a a a a ----=-，
⋅⋅⋅，222312a a a a a =-，将以上式子累加得222
23112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-. 由12a a =得222212
31n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=.令2019n =，有222122019201920202020a a a a a ++⋯+=⋅=. 故答案为：2020 【点睛】
本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.
（1）求证：AB AC ⊥；
（2）若侧面11ACC A 为正方形，求直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225 【解析】 【分析】
（1）取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，证明AB ⊥平面1ODB 得出AB OD ⊥，再得出AB AC ⊥； （2）建立空间坐标系，求出平面1C AD 的法向量n r ，计算cos n <r
，1B D >u u u u r 即可得出答案．
【详解】
（1）证明：取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ， 160B BA ∠=︒Q ，12B B =，1
12
OB AB =
=， 141221cos603OB ∴=+-⨯⨯⨯︒
22211OB OB BB ∴+=，故1AB OB ⊥，
又1AB B D ⊥，111OB B D B =I ，11,OB B D ⊂平面1ODB ，
AB ∴⊥平面1ODB ，
AB OD ∴⊥，
O Q ，D 分别是AB ，BC 的中点，//OD AC ∴，
AB AC ∴⊥．
（2）解：Q 四边形11ACC A 是正方形，1AC AA ∴⊥， 又AC AB ⊥，1AB AA A =I ，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，
AC ∴⊥平面11ABB A ，
在平面11ABB A 内作直线AB 的垂线AE ，以A 为原点，以AB ，AC ，AE 为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -，
则(0A ，0，0)，(1D ，1，0)，1(1C -，23)，1(1B ，03)，
∴(1AD =u u u r ，1，0)，1(1AC =-u u u u r ，2，3)，1(0B D =
u u u u r
，1，3)-，
设平面1C AD 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则1·0·0n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u
v r u u u u v r ，即0230
x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，
令1x =可得：(1n =r
，1-，3)， cos n ∴<r ，1
1125||||5
n B D B D n B D >===-u u u u r r u u u u r g u u u u r r ．
∴直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值为|cos n <r ，125|B D >=u u u u r ．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题． 18．()ln f x x ax =-有最大值，且最大值大于0. （1）求a 的取值范围； （2）当13
a =
时，()f x 有两个零点()1212,x x x x <，证明：2
12 30x x <. (参考数据：ln0.90.1≈-) 【答案】（1）10,e ⎛
⎫
⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()1ax
f x x
=
'-，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()y f x =的单调性，求出函数()y f x =的最大值，即可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；
（2）利用导数分析出函数()y f x =在()0,3上递增，在()3,+∞上递减，可得出1203x x <<<，由
()()12112221113030103ln ln 303x f x f f x f x x x x ⎛⎫
⎛⎫-=-
=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，构造函数()210
3ln ln 303x g x x x =-+-，
证明出()10g x >，进而得出()22130f x f x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，再由函数()y f x =在区间()3,+∞上的单调性可证得结
论. 【详解】
（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，且()1ax
f x x
='-. 当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，
此时函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =为最大值； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a
=. 当1
0x a
<<
时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增； 当1
x a
>
时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 所以，函数()y f x =在1
x a
=处取得极大值，亦即最大值， 即()max 1ln 10f x f a a ⎛⎫
==-->
⎪
⎝⎭
，解得10a e <<. 综上所述，实数a 的取值范围是1
0a e
<<； （2）当13
a =
时，()1
ln 3f x x x =-，定义域为()0,∞+，
()11333x
f x x x
-'=-=，当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<.
所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,3，单调递减区间为()3,+∞. 由于函数()y f x =有两个零点1x 、2x 且12x x <，1203x x ∴<<<，
()()12112222111130303010ln ln 3x f x f f x f x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-
=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭Q 11
21103ln ln 303x x x =-+-， 构造函数()2
10
3ln ln 303x g x x x =-
+-，其中03x <<， ()3233
3120960
33x x g x x x x
-+'=--=-， 令()3
2
960h x x x =-+，()()2
31836h x x x x x '=-=-，当03x <<时，()0h x '<，
所以，函数()y h x =在区间()0,3上单调递减，则()()360h x h >=>，则()0g x '<. 所以，函数()y g x =在区间()0,3上单调递减，
103x <<Q ，()()1101
33ln 31ln 30ln 0.9099
g x g ∴>=-+
-=+>， 即()()()211221130300f x f f x f g x x x ⎛⎫
⎛⎫
-=-
=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()22130f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，
103x <<Q ，21303010393
x ∴
>=>且23x >，而函数()y f x =在()3,+∞上为减函数， 所以，221
30x x <，因此，2
1230x x <. 【点睛】
本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.
19．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点()()2,0P n n >在抛物线C 上，3PF
=，直线l 过
点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）求PA PB ⋅u u u v u u u v
的最大值．
【答案】（1）2
4y x =
，(2,P ；（2）1．
【解析】 【分析】
（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，即可求抛物线C 的方程从而可得解； （2）设直线l 的方程为：x+my ﹣1＝0，代入y 2＝4x ，得，y 2+4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则y 1+y 2＝﹣4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2＝2+4m 2
，x 1x 2＝1，PA =u u u r
（112x y --，，PB =
u u u r
（x 2﹣2
，2y -），由此能求出PA PB ⋅u u u r u u u r
的最大值． 【详解】
（1）∵点F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，P （2，y 0）是抛物线上一点，|PF|＝3， ∴22
p
+
=3， 解得：p ＝2，
∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，
∵点P （2，n ）（n ＞0）在抛物线C 上， ∴n 2＝4×2＝8，
由n ＞0，得n ＝
，∴P （2，
．
（2）∵F （1，0），∴设直线l 的方程为：x+my ﹣1＝0， 代入y 2＝4x ，整理得，y 2+4my ﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则y 1，y 2是y 2+4my ﹣4＝0的两个不同实根， ∴y 1+y 2＝﹣4m ，y 1y 2＝﹣4，
x 1+x 2＝（1﹣my 1）+（1﹣my 2）＝2﹣m （y 1+y 2）＝2+4m 2，
x 1x 2＝（1﹣my 1）（1﹣my 2）＝1﹣m （y 1+y 2）+m 2y 1y 2＝1+4m 2﹣4m 2＝1，
PA =u u u r
（112x y --，，PB =u u u r
（x 2﹣2
，2y -， PA PB ⋅=u u u r u u u r
（x 1﹣2）
（x 2﹣2）+
（1y -）
（2y -） ＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）
+4)12128y y y y +-++ ＝1﹣4﹣8m 2+4﹣
＝﹣8m 2
＝﹣8（
m 2
-
）2
+1． ∴当
m =PA PB ⋅u u u r u u u r 取最大值1． 【点睛】
本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 20．已知函数22()|||23|,()3f x x a x a g x x ax =-+-+=++. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()6f x ≤；
（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|33}x x -≤≤；（2）()8
,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.
（2）因为对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >，min ()f x 根据绝对值不等式易求，min ()g x 根据二次函数易求， 然后解不等式即可. 【详解】
解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =-++，则2,1,()2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪
=-<⎨⎪⎩
……
当1x <-时，由()6f x …得，26x -…，解得31x -<-…；
当11x -<…时，()6f x …恒成立；
当1x …
时，由()6f x …得，26x …，解得13x 剟. 所以()6f x …的解集为{|33}x x -≤≤
（2）对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，得12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >. 因为2
2
23(1)20a a a -+=-+>，所以223a a >-， 且|2
2
2
|23|()(23)23x a x a x a x a a a -+-+---+=-+…
223a a =-+，①
当223a x a -剟时，①式等号成立，即2
min ()23f x a a =-+.
又因为222
23()33244
a a a x ax x ++=++--…，②
当2a x =-时，②式等号成立，即2
min ()34a g x =-
. 所以2
2
2334
a a a -+>-，即2580a a ->
即a 的取值范围为：()8,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题. 21．设函数()1x
f x e ax =--（a R ∈）.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若关于x 的方程()ln 11ax a x ++=+有唯一的实数解，求a 的取值范围.
【答案】（1）当0a ≤时，()f x 递增区间时(,)-∞+∞，无递减区间，当0a >时，()f x 递增区间时(ln ,)a +∞，递减区间时(,ln )a -∞；（2）0a ≤或1a =. 【解析】 【分析】
（1）求出()f x '，对a 分类讨论，先考虑()0f x '≥（或()0f x '
≤）恒成立a 的范围，并以此作为a 的分
类标准，若不恒成立，求解(),()0f x f x ''><，即可得出结论；
（2）()ln 11ax a x ++=+有解，即1(1)10x e a x +-+-=，令1,()0t x f t =+=，转化求函数()0f x =只有一个实数解，根据（1）中的结论，即可求解. 【详解】
（1）()1,()x
x
f x e ax f x e a '=--=-，
当0a ≤时，()0f x '>恒成立，
当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<， 综上，当0a ≤时，()f x 递增区间时(,)-∞+∞，无递减区间， 当0a >时，()f x 递增区间时(ln ,)a +∞，递减区间时(,ln )a -∞； （2）()1ln 11(1)10x ax a x e a x +++=+⇔=++>， 1(1)10x e a x +⇔-+-=
令1x t +=，原方程只有一个解，只需()0f t =只有一个解， 即求()1x
f x e ax =--只有一个零点时，a 的取值范围，
由（1）得当0a ≤时，()f x 在(,)-∞+∞单调递增， 且(0)0f =，函数只有一个零点，原方程只有一个解1-，
当0a >时，由（1）得()f x 在ln x a =出取得极小值，也是最小值， 当1a =时，min ()0f x =，此时函数只有一个零点， 原方程只有一个解1-， 当0a >且1a ≠
递增区间时(ln ,)a +∞，递减区间时(,ln )a -∞；
(ln )(0)0f a f <=，当,()x f x →-∞→+∞， ,(),()x f x f x →+∞→+∞有两个零点，
即原方程有两个解，不合题意， 所以a 的取值范围是0a ≤或1a =. 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到单调性、零点、极值最值，考查分类讨论和等价转化思想，属于中档题. 22．已知函数()1f x x =-．
（1）求不等式()1f x x x ++＜的解集；
（2）若函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围．
【答案】 (1) ()0+∞，
(2) 32⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
， 【解析】 【分析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数()g x 的定义域为R ，只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案． 【详解】 （1）不等式
()111f x x x x x x ++⇔-++＜＜
111x x x x ≥⎧⎨
-<++⎩或1111x x x x -<<⎧⎨-<++⎩或1
11x x x x ≤-⎧⎨-<--⎩
， 解得1x ≥或01x <<，即x>0,
所以原不等式的解集为()0+∞，
． （2）要使函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ， 只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可， 又()()()21221232||h
x x x a x x a a =++--≥+---=-，
当且仅当2[]1x ∈-，
时取等，只需最小值32a -＞0，即3
2
a ＜． 所以实数a 的取值范围是32⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
，． 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．
23．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足
129
4
PF PF ⋅=u u u r u u u u r
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两
点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）不能，理由见解析 【解析】
【分析】
（1）设()12(,0),,0F c F c -，则21299144
PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线1l 的方程为3(1)2
y k x -=-，联立直线与椭圆的方程可求得12k =-，则直线2l 斜率为12，设其方程为11221,(,),(,)2
y x t M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN 关于1x =对称，可求得1211,22
l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，可得12k =，由此可得答案．
【详解】
解：（1）设()12(,0),,0F c F c -，则21299144
PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ， 21,2,3c a b ∴===， 所以椭圆方程为22
143
x y +=； （2）设直线1l 的方程为3(1)2
y k x -=-， 与22
143
x y +=联立得222(34)4(32)(32)120k x k k x k ++-+--=， ∴10,2
k ∆==-， 因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l 斜率为
12， 设直线的方程为11221,(,),(,)2
y x t M x y N x y =+， 联立整理得2222121230,0,4,,3x tx t t x x t x x t ++-=∆><+=-=-，
121212121233(2)()(23)22011(1)(1)PM PN y y x x t x x t k k x x x x -
-+-+--∴+=+==----， 所以,PM PN 关于1x =对称， 由正弦定理得,sin sin sin sin PM MK PN NK PKM MPK PKN NPK
==∠∠∠∠，
因为,180MPK NPK PKM PKN ︒∠=∠∠+∠=,所以PM KN PN KM ⋅=⋅， 由上得1211,22
l l k k =-=， 假设存在直线2l 满足题意，
设,PM PN k k k k =-=，11,,,22k k --按某种排列成等比数列，设公比为q ，则1q =-， 所以12
k =，则此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符， 所以不存在满足题意的直线2l ．
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．。