【数学】四川省成都市第七中学2021届高三下学期二诊模拟考试试题(文)

四川省成都市第七中学2021届高三下学期二诊模拟考试
数学试题（文）
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B 【解析】tan x y x =
是偶函数，排除A 、C ，由性质：在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上，tan x x <， 知
tan 1x
x
>，故选B. 6.【答案】A 【解析】由2
21x
y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故
充分性成立；
反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式2
21x
y +<不成立，故必要性
不成立.故选：A ． 7.【答案】D 【解析】如图所示：
平面区域0262x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
是由三角形()2,2A ，()1,1B ，()4,2C -围成，
所以
21y k x +=+的最大值是点()1,1A 与(1,2)--连线的斜率3
2
， 故选：D.
8.【答案】C 9.【答案】D 【解析】由2
24x
y +=可得圆心为()0,0，半径为2r
，
设圆心到直线l 的距离d
，则2
22
4312d r ⎛=-=-= ⎝⎭
，所以1
d = 设直线l 方程为()0y kx b k =+≠
，则1d =
=，所以221b k =+
令0x =可得y b =，可得()0,B b ，令0y =可得b x k =-
，可得,0b A k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
所以2AB ===≥=， 当且仅当2
21
k k
=
即1k =±时等号成立， 此时AB 最小值为2. 故选：D. 10. 【答案】B
【解析】由()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，则函数()f x 的最小正周期为T =π，可得22T ω=
π
=，所以，()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎝
π⎪⎭.
A
中，552sin 2sin 01212632f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-==≠
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，A 错误； B 中，当(),x ∈-ππ时，13112666x πππ-
<-<，当226
x π
-=-π或-π或0或π时，即当1112x =-
π或512π-或12π或712π时，sin 206x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，B 正确；
C 中，5sin 2sin 188612f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=⨯--=-≠± ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，C 错误；
D 中，当,02x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
π时，72,666x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣ππ⎦π，
所以，函数()f x 在区间,02⎡⎤
-⎢⎣π⎥⎦
上不单调，D 错误.故选：B. 11. 【答案】A
【解析】对于A ，连接11AD AD 、交于点P ，连接11DC D C 、交于点Q ，连接PQ AC 、， 因为PQ 是1D AC 的中位线，所以//PQ AC ，故正确；
对于B ，在正方形11DCC D 内如果存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，由于AC ⊥平面
11DBB D ，所以PQ ⊂平面11DBB D ，或者//PQ 平面11DBB D ，而P Q 、在平面11
DBB D 的两侧，PQ 与平面11DBB D 相交，故错误；
对于C ， 在正方形11DCC D 内如果存在一点Q ，使得平面1PQC //平面ABC ， 由于平面111//A B C 平面ABC ，所以平面1PQC //平面111A B C ，而平面1PQC 与平面
111A B C 相交于平面1C ，故错误；
对于D ，在正方形11DCC D 内如果存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，
由已知AC ⊥平面11DBB D ，所以平面11//DBB D 平面1PQC ，而P Q 、在平面11DBB D 的两侧，所以平面11DBB D 与平面1PQC 相交，故错误.
故选：A. 12. 【答案】A
【解析】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以
()()f x g x -=，即ln 1x e ax x x -=+有两解，则ln 1
x e x x a x
--=有两解，令
ln 1()x e x x h x x --=，则()
2
1()1x
x h x e x
-'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；
所以()h x 在1x =处取得极小值，所以(1)1h e =-，所以1a e >-，a 的取值范围为
()1,e -+∞.
故选：A.
13.【答案】{}0,1,2,4 14.【答案】48 15. 【答案】
【解析】由222sin sin sin sin sin A C B A C +=+及正弦定理可得222a c b ac +=+，
所以由余弦定理的推论可得2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===，因为0B π<<，所以
3B π=
．因为的面积为4
，所以11sin sin 22344ac B ac ac π===，即3ac =，所
以a c +≥=
，当且仅当a c ==时取等号，所以a c +
的最小值为
16.
【答案】,13⎫
⎪⎪⎣⎭
【解析】因为点P 是Γ上第一象限内任意一点，故∠POF 为锐角，所以tan 1POF ∠<，
设直线OP 的斜率为k ，则01k <<.
由2222100y kx
x y a b x y =⎧⎪⎪+=⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩
可得x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=
⎪⎩
，故P ⎛⎫
，
所以Q ⎛⎫， 因为，故1
QF
k k
=-
1
k c =--，
解得()
21c a b k λ=⨯+，因为e λ>对任意的01k <<恒成立，
故()
2
1c e a b k ⨯>+，整理得到22222a b b k ->对任意的01k <<恒成立， 故2222a b b -≥即2223a c ≤
即
13
e ≤<.
17.解：（1）据题意：112
1
6
8a a q a q +=⎧⎨=⎩ 解得122a q =⎧⎨=⎩或118
23a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩
∵1q >，∴12
2a q =⎧⎨
=⎩ 即数列{}n a 的通项公式为：()2
n
n a n N =∈*．
（2）由（1）有22log 2n n b a n ==
则
11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫
=- ⎪+-+--+⎝⎭
∴n T ()()
11111335572121n n =
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111
11112133557212122121
n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18. 解：（1）由频率分布直方图可知，
(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =.
该校学生满意度打分不低于70分的人数为1000(0.280.220.18)680⨯++=人. （2）打分平均值为：
450.04550.06650.22750.28850.22950.1876.275x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>.
所以该校学生对食堂服务满意.
（3）由频率分布直方图可知：打分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，抽取的5人采用分层抽样的方法，在[40,50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人.设[40,50)内的2人打分分别为12,,
[50,60)a a 内的3人打分分别为123,,A A A ，
则从[40,60)的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：
()()()121112,,,,,a a a A a A ，
()()()()()()()13212223121323,,,,,,,,,,,,,a A a A a A a A A A A A A A ，共10种.其
中两人都在[50,60)内的可能结果为()()()121323,,
,,,A A A A A A ，则这2人至少有一人打分在[40,50)的概率3711010
P =-=. 19.（1）证明：取PD 的中点Q ，连结QN 、AQ ，
∵N 是PC 的中点，∴//QN CD ，且12
QN CD =， ∵底面四边形ABCD 是边长是１的正方形，又M 是AB 的中点，
∴//AM CD ，且∴12
AM CD =， ∴//QN AM ，且QN AM =，∴四边形AMNQ 是平行四边形，
∴//MN AQ ，又AQ ⊂磁面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴//MN 平面PAD . （2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PAD ∠是侧棱PA 与底面成的角，
∴45PAD ∠=︒，∴PAD △是等腰直角三角形，则1PD AD ==， ∴111133412
M PBC P MBC MBC V V S PD AB BC --==⋅=⋅⋅⋅=△. 20.解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-．
()2ln 1k f x x x '==--，
121()2x f x =x x
-''-
=． 又0x >，∴12x >时()0f x ''>，102x <<时()0f x ''<． 即()'f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递增．
所以111ln 1ln 222f k ⎛⎫≥=--= ⎪⎝⎭
'， 即斜率的取值范围是[ln 2,)+∞； （Ⅱ）由2
218ln 62x ax x x x
-≥-+，得218ln 62ax x x x ≤+-．
∵x ≥ln 0x >，∴21862
ln x x a x x
+-≤． 记21862()ln x x h x x x
+-=．则2222818ln 6(1ln )2()ln x x x x x x x h x x x ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭'= 2222116186ln 622ln x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 记2211618()6ln 622x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则 222221616681686()ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫'=++-+--=+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 21616ln 2x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
∵x ≥1ln 02
x -≥，∴()0x ϕ'>即()ϕx
在)+∞递增． 又(2)0ϕ=．由()0x ϕ<
2x ≤<，由()0x ϕ>得2x >．
∴当x ∈时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 递减；
当(2,)x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 递增．
∴min ()(2)0h x h ==
∴0a ≤．
21. 解：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.
焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为
或;
当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：
, 所以:，, 则：
. 同理：,
因为, 所以, 即,
由题意知,
所以，设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.
22. 解:（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==, 所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194
C ρθρθ+=, 整理得()22
45sin 36ρθ+=, 233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ
-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=.
所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρ
θ+=,2C 的极坐标方程是6cos ρθ=.
（2）由（1）知, 联立2245sin 36ρθθα
⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+, 联立6cos ρθθα
=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=, 所以22OB
OA =224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--
+, 当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OB OA
. 23. 解：（1）1a =时，所解不等即为：2121x x ->+，两边平方解得14x <-， ∴原不等式解集为14x x ⎧
⎫<-⎨⎬⎩⎭
. （2）21121x a x --->+存在实数解， 即12121a x x -<--+存在实数解，
令()2121g x x x =--+，即()max 1a g x -<，
()()212121223g x x x x x =--+≤--+=，
∴当1x ≤-时等号成立. ∴13a -<，解得()2,4a ∈-.。