河北省衡水市安平中学高二下学期第一次调研考试数学(文)试题

河北安平中学2016-2017学年高二第一次月考
数学试题（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是( )
A．2×2列联表B．独立性检验
C．等高条形图D．其他
2．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小 C．可能大也可能小D．以上均错
3.下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形内角和是(n－2)·180°
A．①②B．①③④ C．①②④D．②④
4.对于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)
5.独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥
6.635)≈0.010
表示的意义是( )
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%
C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y有关系的概率为99%
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠
B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°
B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C ．由三角形的性质，推测四面体的性质
D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式
7．已知x 和y 之间的一组数据
x 0 1 2 3 y
1
3
5
7
则y 与x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a 必过点( ) A ．(2,2) B ．(3
2，0)
C ．(1,2)
D ．(3
2
，4)
8.有一段演绎推理：“直线平行于平面,则这条直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论是错误的，这是因为 ( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误 9． 用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是
( )
A ．假设2是有理数
B ．假设3是有理数
C ．假设2或3是有理数
D ．假设2＋3是有理数
10.下面的等高条形图可以说明的问题是( )
A ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的
B ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同
C ．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方
D ．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握
11．要证a 2
+b 2
-1-a 2b 2
≤0,只要证明( ).
A .2ab-1-a 2b 2≤0
B .a 2+b 2-1-≤0
C .-1-a 2b 2≤0
D .(a 2-1)(b 2-1)≥0
12．如图，第（1）个图案由1个点组成，第（2）个图案由3个点组成，第（3）个图案由7个点组成，第（4）个图案由13个点组成，第（5）个图案由21个点组成，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依次类推，根据图案中点的排列规律，第100个图形由多少个点组成（ ）
A ．9900
B ．9901
C ．9902
D ．9903
第II 卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分） 13．已知x 、y 的取值如下表：
x 0 1 3 4 y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x 、y 具有线性相关关系，且回归方程为y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为________.
14.已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32；sin 25°＋sin 265°＋sin 2
125°＝32，通过观察上述
两等式的规律，请你写出一般性的命题：________.
15．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________． 16．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝1
2r (a ＋b ＋c )，根据类
比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.
三．解答题（本大题共6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分） 17.（本题满分10分）已知221
,,2,12
x R a x b x c x x ∈=+=-=-+，试证明,,a b c 至少有一个不小于1．
18.(本小题满分12分)调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如表：利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？
K 2
＝n （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
19.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单
位：千元)的数据资料，算得∑10
i ＝1x i ＝80，∑10
i ＝1y i ＝20，∑10
i ＝1x i y i ＝184，∑10
i ＝1
x 2
i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑n
i ＝1x i y i －n x － y －
∑n i ＝1
x 2
i －n x －2，a ＝y －－b x －，其中x －，y －
为样本平均值，
线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^
.
20. 已知：在数列{a n }中，71=a ， 7
71+=
+n n
n a a a ，
（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式。

（2）请证明你猜想的通项公式的正确性。

21.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *
)．
(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式； (2)用三段论证明数列{a n }是等比数列． 22.证明：若a >0，则
a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2.
1-12 BBCDD ADADD DB 13． 2.6
14. sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝3
2
15．y ^＝1.23x ＋0.08 16．1
3R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4).
17. 【解析】
试题分析：因为要证明“至少有一个不小于1”，所以利用反证法进行证明． 试题解析：假设,,a b c 均小于1，即1,1,1a b c <<<， 则有3a b c ++<
而2211
2232()3322
a b c x x x ++=-++=-+≥，矛盾．
所以原命题成立
18.解：由题意知，a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，
所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113.所以K 2＝
n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
＝113×（18×78－5×12）230×83×23×90
≈39.6>10.828.
所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系，认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%. 19.
(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8，y －＝1
n ∑n
i ＝1y i ＝
2010
＝2. 又∑n
i ＝1x 2i －n x －2＝720－10×82＝80，∑n
i ＝1
x i y i －n x － y －
＝184－10×8×2＝24， 由此可得b ＝∑n
i ＝1
x i y i －n x － y －
∑n i ＝1x 2i －n x －2＝2480＝0.3，a ＝y －－b x －＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.
(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 20.
21.(1)由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 2＝14；a 4＝18，猜想a n ＝(1
2
)n －1(n ∈N *)．
(2)对于通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1
a n
＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提
因为通项公式a n ＝(12)n －1，又a n ＋1a n ＝1
2
，小前提
所以通项公式为a n ＝(1
2)n －1的数列{a n }是等比数列．结论
22.证明：∵a >0，要证
a 2＋1
a 2－2≥a ＋1
a －2，
只需证 a 2＋1
a 2＋2≥a ＋1
a
＋2，
只需证(
a 2＋1
a 2＋2)2≥(a ＋1
a ＋2)2，(4分) 即证a 2＋1
a
2＋4＋4
a 2＋1
a 2≥a 2＋1
a 2＋4＋22(a ＋1
a
)，即证
a 2＋1a 2≥22(a ＋1
a
)，
即证a2＋1
a2
≥
1
2
(a2＋
1
a2
＋2)，(6分)
即证a2＋1
a2
≥2，即证(a－
1
a
)2≥0，(10分)
该不等式显然成立．
∴a2＋1
a2－2≥a＋
1
a
－2.(12分)。