图形运动中的计算说理问题

第三部分 图形运动中的计算说理问题
§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
课前导学
计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．
函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．
还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．
代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数． 我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．
如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于
A 、
B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．
几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．
作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE =．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311
x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11
x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？
因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．
这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．
图1
例 1 2014年湖南省长沙市中考第25题
在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），
(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． （1）若点P (2, m )是反比例函数n y x =
（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y ＝3kx ＋s －1（k 、s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1（a 、b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个“梦之点”A (x 1, x 1)、B (x 2, x 2)，且满足－2＜x 1＜2，| x 1－x 2|＝2，令2157248
t b b =-+
，试求t 的取值范围． 动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y 轴正半轴上表示实数a 的点，可以体验到，
A 、
B 两点位于y 轴同侧，A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a ，有两个对应的b 和b ′，但是t 随b 、t 随b ′变化时对应的t 的值保持相等． 思路点拨
1．“梦之点”都在直线y ＝x 上．
2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．
3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t 关于b 的二次函数的最值，b 的取值范围由“梦之点”、－2＜x 1＜2和| x 1－x 2|＝2三个条件决定，而且－2＜x 1＜2还要分两段讨论． 图文解析
（1）因为点P (2, m )是“梦之点”，所以P (2, 2)．所以4y x
=． （2）“梦之点”一定在直线y ＝x 上，直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 的位置关系有重合、平行、相交．
图1 图2 图3
①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13
，s ＝1．
②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13
，s ≠1．
③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．
此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131
s s k k ----． （3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和 y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．
所以x 1x 2＝1a
＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2．
已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值范围：
①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8．
②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8．
综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．
所以0＜1a ＜8．所以a ＞18
． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝
1b a -，x 1x 2＝1a ． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a
--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48
a ++． 如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12
a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176
． 所以t 的取值范围是t ＞176
．
图4 图5
考点伸展
第（3）题我们也可以这样来讨论：
一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a
--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0．
所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．
所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18
． 例 2 2014年湖南省怀化市中考第23题
设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．
（1）若12
111x x +=，求132m -的值； （2）求21212
11mx mx m x x +---的最大值． 动感体验
请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．
思路点拨
1．先确定m 的取值范围，由两个条件决定．
2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．
3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析
（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0．
由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．
又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．
由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12
111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+． 整理，得210m m --=
．解得m =
，或m =．
所以323(12m -=-=．所以
132m -
2．
（2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦
＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦
＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦
＝222m m -+-＝2(1)3m -++．
所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．
图1
考点伸展
当m 变化时，抛物线y ＝x 2＋2(m －2)x ＋m 2
－3m ＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？ 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－(m －2)，所以抛物线的顶点的纵坐标
y ＝(m －2)2－2(m －2)2＋m 2－3m ＋3＝m －1．
因为x ＋y ＝－(m －2)＋m －1＝1为定值，所以y ＝－x ＋1．
也就是说，抛物线的顶点(x , y )的运动轨迹是直线y ＝－x ＋1（如图2所示）．
图2
例 3 2014年湖南省湘潭市中考第26题
如图1，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过原点，直线AC 的解析式为y ＝kx ＋4，直线AC 与y 轴交于点A ，与二次函数的图象交于B 、C 两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）若1=3
AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14湘潭26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．
思路点拨
1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．
2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．
3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．
图文解析
（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．
（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4
B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得
4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①②
①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．
将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．
（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)． 联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2
＋(k －4)x ＋4＝0．
所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．
如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．
作BM ⊥y 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ． 根据BM ON MO NC =，得1212
(4)4x kx kx x -+=+． 所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．
将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54
k =-．
图2 图3 图4
考点伸展
第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组．
将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得
2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②
①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．
将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．
例 4 2014年湖南省株洲市中考第24题 已知抛物线252(2)4
k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；
（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；
（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．
思路点拨
1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．
2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．
3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．
图文解析
（1）因为222(52)17(2)42()424
k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．
（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．
由根与系数的关系，得x 1·x 2＝
(52)4
k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4
k k -++． 因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980
． （3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CG AB GE =． 所以AG //BE ，即AD //BE ． 所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222
(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．
又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．
再将点A (1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4
k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．
图2 图3
考点伸展
把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？
如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)． 将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。