扎兰屯市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

扎兰屯市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.
2． 函数f （x ）=
的定义域为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
B ．（﹣2，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
D ．（1，2）
3． 已知函数f （x ）=ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，﹣1） D ．（﹣∞，﹣2）
4． 由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数据都小于﹣1，则样本1，x 1，﹣x 2，x 3，﹣x 4，x 5的中位数为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6． 若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）
A ．（0，10）
B ．（
，10）
C ．（
，+∞）
D ．（0，
）∪（10，+∞）
7． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）
A ．该几何体体积为
B ．该几何体体积可能为
C ．该几何体表面积应为+
D ．该几何体唯一
9． 已知点M （﹣6，5）在双曲线C ：﹣
=1（a ＞0，b ＞0）上，双曲线C 的焦距为12，则它的渐近线
方程为（ ）
A ．y=±
x B ．y=±
x C ．y=±x
D ．y=±x 10．若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14 11．函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（ ） A ．2sin(2)3
y x π
=+
B ．22sin(2)3y x π=+
C ．2sin()23x y π=-
D ．2sin(2)3
y x π
=-
12．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P ，直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设集合A={﹣3，0，1}，B={t 2﹣t+1}．若A ∪B=A ，则t= ．
14．若关于x ，y 的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则
k= ． 15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞. 其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
16．若非零向量，
满足|
+
|=|
﹣
|，则与
所成角的大小为 ．
17．已知函数
，则__________；
的最小值为__________．
18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2﹣3x 在x=±1处取得极值．求函数f （x ）的解析式．
20．（本小题满分12分）
已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
21．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．
（I ）求p 的值；
（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．
22．（本题满分15分）
如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；
（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
23．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取7080100位，得到数据如表：
70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
2.072 2.706
3.841 5.024
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
24．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）已知函数g（x）=log，当x∈[，]时，不等式f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．
扎兰屯市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当
tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A. 2． 【答案】D
【解析】解：由题意得：，
解得：1＜x ＜2，
故选：D ．
3． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=ax 3﹣3x 2
+1，
∴f ′（x ）=3ax 2
﹣6x=3x （ax ﹣2），f （0）=1；
①当a=0时，f （x ）=﹣3x 2+1有两个零点，不成立；
②当a ＞0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a ＜0时，f （x ）=ax 3﹣3x 2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f （x ）=ax 3﹣3x 2
+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f （x ）=ax 3﹣3x 2
+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f （）=﹣3•+1＞0；
故a ＜﹣2； 综上所述，
实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D ．
4． 【答案】C
【解析】解：因为x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜﹣1，题目中数据共有六个，排序后为x 1＜x 3＜x 5＜1＜﹣x 4＜﹣x 2，
故中位数是按从小到大排列后第三，第四两个数的平均数作为中位数，
故这组数据的中位数是（x5+1）．
故选：C．
【点评】注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
5．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n＜i，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，
有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），
因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，
由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．
7．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
8．【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到
且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2
=．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．
9．【答案】A
【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，
∴，①
又∵双曲线C的焦距为12，
∴12=2，即a2+b2=36，②
联立①、②，可得a2=16，b2=20，
∴渐近线方程为：y=±x=±x，
故选：A．
【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a >，0d <”判断前项和的符号问题是解答的关键．
11．【答案】B 【解析】
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 12．【答案】D
【解析】解：设F 2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P ，并且直线PF 1（F 1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P 是切点，所以PF 2=c 并且PF 1⊥PF 2．
又因为F 1F 2=2c ，所以∠PF 1F 2=30°，所以．
根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ，
所以|PF 2|=2a ﹣c ．
所以2a ﹣c=，所以e=
．
故选D ．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
二、填空题
13．【答案】 0或1 ．
【解析】解：由A ∪B=A 知B ⊆A ，∴t 2﹣t+1=﹣3①t 2
﹣t+4=0，①无解
或t 2﹣t+1=0②，②无解
或t 2
﹣t+1=1，t 2
﹣t=0，解得 t=0或t=1．
故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．
14．【答案】 ﹣1或0 ．
【解析】
解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：
kx ﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx ﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点） 由关于x ，y
的不等式组
（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，
可得直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直，此时k=0或直线kx ﹣y+1=0与y=x 垂直，此时k=﹣1 综上k=﹣1或0 故答案为：﹣1或0
【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx ﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x 垂直，是解答的关键．
15．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==因为1
(,)
t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，
综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
16．【答案】90°．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90°
故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
17．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
当时，
当时，
故的最小值为
故答案为：
18．【答案】8π．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3﹣3x．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．
20．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．
【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围． 试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.
（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2
230x x -++>，13x -<<，
又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)
(0,3)-.
考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．
【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是
0a b a b
⋅>且,a b 不同
向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b
⋅<且,a b 不反向．
21．【答案】
【解析】解：（I ）由题意可知，抛物线y 2
=2px （p ＞0）的焦点坐标为
，准线方程为
．
所以，直线l 的方程为…
由
消y 并整理，得
…
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 则x 1+x 2=3p ，
又|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…
（II ）由（I ）可知，抛物线的方程为y 2
=2x ．
由题意，直线m 的方程为y=kx+（2k ﹣1）．…
由方程组
（1）
可得ky 2﹣2y+4k ﹣2=0（2）…
当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．
把y=﹣1代入y 2
=2x ，得
．
这时．直线m 与抛物线只有一个公共点
．…
当k ≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k （4k ﹣2）． 由△＞0，即4﹣4k （4k ﹣2）＞0，亦即4k 2
﹣2k ﹣1＜0．
解得．
于是，当
且k ≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这
时，直线m 与抛物线有两个不同的公共点，…
因此，所求m 的取值范围是
．…
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．【答案】（1）详见解析；（2. 【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分
∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分 又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC
BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分
（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得11
33
BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，解得
d =12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ，∵8BC =，
BE =sin d BE θ==.…………15分 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X ～B （3，），
P （X=0）==
，
P （X=1）=
=，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
∴E（X）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K2==≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
24．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数．
理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分）
又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），
则f（x）是奇函数.
（2）g（x）=log=2log3，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log3≥log3，
即≥，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
则k2≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．。