函数的极值与最值(第二课时)课件高二下学期数学人教a版选择性必修第二册1

函数的最值
思考1：如图是函数 y f (x) ，x a，b 的图象，你能找出它的极大值、极
小值吗？进一步地，你能找出函数 y f (x) 在区间 a，b 上的最大值、最
小值吗？
y
观察图象，我们发现，
f (x 1) ，f (x 3) ，f (x 5 ) 是函
数的极小值，f (x 2 )，f (x 4 ) ， f (x 6) 是函数的极大值.
证不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时 也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数 的最值，即可得到结果.
2.(1)证明：对任意 x R ，都有 e x x 1 .
(2)已知函数 f (x) ln x ax ，若 f (x) 0 在 1， 上恒成立，求 a 的取值
(2)因为 f (x) 0 在 1， 上恒成立，即 ln x ax 0 在 1， 上恒成立，
也等价于 a ln x 在 1， 上恒成立，
x
令
g(x)
ln x ，则
x
g
'(x)
1
ln x2
x
所以在 1，e上有 g '(x) 0 ， g(x) 单调递增；
在 e， 上有 g '(x) 0 ，g(x) 单调递减.
范围. 证明：(1)令 f (x) e x x 1 ，则 f '(x) e x 1 所以在 (0，1) 上有 f '(x) 0 ， f (x) 单调递减； 在 (1， ) 上有 f '(x) 0 ， f (x) 单调递增. 所以 f (x) 在 (0， )上有最小值 f (1) 0 所以 f (x) f (1) 0 即 e x x 1 0 ，则原不等式 e x x 1 成立.
1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值
(1) f (x) x 3 3x 1 ，x 3，0 ； (2) f (x) x sin x ，x 0，2 .
解：(1)因为 f '(x) 3x 2 3 3(x 1)(x 1)
所以在 3，1 上有 f '(x) 0 ， f (x) 单调递增； 在 1，1 上有 f '(x) 0 ，f (x) 单调递减. 所以 f (x) 在 3，0 上有极大值 f (1) 3
a O bx
x4
a x1 x2 O x3
x5 b x
函数 y f (x) 在区间 a，b 上的最小值是 f (a) ，最大值是 f (b) ； 函数 y g(x) 在区间 a，b 上的最小值是 f (x 4) ，最大值是 f (x 3) .
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝Байду номын сангаас (x)的图象是一条连续不断的曲 线，那么它必有最大值与最小值． 函数最值的理解 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比 较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是 对整个区间上的函数值的比较． (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能 各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有， 例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．
所以 g(x) 在 1， 上的最大值为 g(e) 1 ，故 a 1 .
e
e
a x1
x2
x3 O
x4
x5
x6
bx
进一步地，函数 y f (x) 在区间 a，b 上的最小值是 f (x 3) ，最大值是 f (a) .
思考2.如图，观察 a，b 上的函数 y f (x) 和 y g(x) 的图象，它们在a，b
上有最大值和最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
y y
求函数在闭区间上的最值
求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤： 1．求函数 y f (x) 在(a，b)内的极值； 2．将函数 y f (x) 的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大 的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
例1.求函数 f (x) 1 x3 4x 4 在 0，3 上的最大值与最小值.
3
解：由 f '(x) x2 4 (x 2)(x 2)
在 0，3 上，当 x 2 时，f (x) 有极小值，
且极小值为 f (2) 4 ，
3
又由于 f (0) 4 ，f (3) 1，
所以，函数 f (x) 在 0，3上的最大值是4，最小值是 4 .
3
导数法求函数最值要注意的问题： (1)求 f ′(x)，令 f ′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为 0的点． (2)比较两类点处的函数值：导数为 0 的点与区间端点的函数值，其中最 大者便是 f (x)在[a，b]上的最大值，最小者便是 f (x) 在[a，b]上的最小值． 注：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、作商或分类讨论．
又由于 f (3) 17，f (0) 1
所以 f (x) 在 3，0 上的最大值为 3，最小值为 -17.
(2)因为 f '(x) 1 cos x 0
所以 f (x) 在 0，2 单调递增， 所以 f (x) 在 0，2 上的最大值为 f (2 ) 2 ，最小值为 f (0) 0 .
5.3.2 函数的极值与最值(第二课时)
1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念． 2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟 悉函数必有最大值和最小值的充分条件． 3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数 在整个定义域内的性质. 也就是说，如果 x0 是函数 y f (x) 的极大(小)值 点，那么在 x x 0 附近找不到比 f (x 0) 更大(小)的值. 但是，如果我们想 要找到函数在整个定义域内，哪个值最大，哪个值最小，这样的值要满足 什么条件呢？
利用最值证明不等式
例2.证明：当 x 0 时，x 1 ln x . 证明：令 f (x) x 1 ln x ，则 f '(x) 1 1 x 1
xx
所以在 (0，1) 上有 f '(x) 0 ， f (x) 单调递减； 在 (1， ) 上有 f '(x) 0 ， f (x) 单调递增. 所以 f (x) 在 (0， )上有最小值 f (1) 0 所以 f (x) f (1) 0 即 x 1 ln x 0 ，则原不等式 x 1 ln x 成立.