平均数及其估计
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解法1 总睡眠时间约为 6.25 5 6.75 17 7.25 33 7.75 37 8.25 6
8.75 2 739h.
故平均睡眠时间约为7.39 h.
解法2 求组中值与对应频率之积的和 6.25 0.05 6.75 0.17 7.25 0.33 7.75 0.37
人 员 经理 管理人员 技工 工人 学徒 合计
月工资 11 000 1 250 1100 1000 500
人数 1
6
5 10 1 23
合 计 11 000 75 000 5 500 10 000 500 34 500
小张通计算发现表中工资的总平均数恰为
11000 1 1250 6 1100 10 500 1 23 1500.
M N
（3）如果两组数x1, x2 ,, xn和
y1, y2 ,, yn
的样本平均数分别是；x 和 y ，那么一组数 ，
x1 y1, x2 2 ,, xn yn 的平均数是__x____y_
x y
x1, y1,..., xn , yn的平均数为？
2
．
六、回顾小结： 1．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样 本数据中提取基本的数字特征（平均数），会用 样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征； 2．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数 据的平均水平； 3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 七、课外作业： 课本第65页第2、3、4题．
（1）新数据x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为？
x b 注意：公式逆用
（2）新数据 ax1, ax2,, axn 的平均数为？
ax
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为？ ax b
3、假如你是一名交通部门的工作人员,你打算向市 长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金 数额,其中一条新公路的建设投资为2200万元人民 币.另外25个项目的投资是20～100万元，中位数是 25万元.平均数是100万元,众数是20万元.你会选择 哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的 平均金额?你选择这种数字特征的缺点是什么?
处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数
据之间的离差最小.设这个近似值为x,那么它与 n个实验值 ai ( i 1, 2,, n )的离差分别为x a1, x a2, x a3,, x an.由于上述离差有正有负,故 不宜直接相加.可以考虑离差的平方和, 即
x a1 2 x a2 2 x an 2最. 小时，x的取值
怎样利用这些数据对重力加速度进行估计?
问
题
我们常用算术平均数1 n
n i 1
ai (其中ai (i
1,2,, n)为n
思 个实验数据) 作重力加速度的"最理想"的近似值,它
考 的依据是什么呢?
n
n个实数a1, a2, a3,, an的和简记为 ai ," " i 1
读 作"西 格 玛".
应该采用平均数来表示每一个项目的平均金额，因 为它能反映所有项目的信息。但平均数会受到极端数据 2200万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数 相差比较大。
四．课堂练习：
（1）第65页练习第2,3，4 ；
（,则2M）若N个M数个的数平的均平数均是数_是_M_X_X___N,_NY__个_ ，数的平均数是Y
8.25 0.06 8.75 0.02 7.39 h.
答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h.
2：某单位年收入在10000到15000、15000到 20000、20000到25000、25000到30000、35000到 40000、40000到45000、45000到50000.职工之间 所占的比例分别为10%、15%、20%、25%、15%、 10%和5%。试估计该单位职工的平均收入
甲班:112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114
复习回顾
1、一种用样本的频率分布估计总体,掌握几种用来表
示数据的图:频率分布表,频率分布直方图,频率分布折线 图(频率分布密度曲线),茎叶图.
2、众数 在一组数据中，出现次数最多的 数据叫做这一组数据的众数。
3、中位数 将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数。 4、平均数 x = (x1+x2+……+xn) /n
2.3.1平均数及其估计
某校高一1班同学在老师的布置下,用单摆进 行 测
试,以检验重力加速度.全班同学两人一组, 在相同的
条件下进行测试, 得到下列实验数据单位: m / s2
9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90
并没有错. 这个问题中,总体平均数能 客 观 地反映工人的工 资水平吗?为什么? 经理和员工工资差异太大
在上面的"思考"中, 计算平均数的式子可以写为
11000
1 23
1250
6 23
1100
5 23
1000
10 23
500
1 23
.
一般地,若取值为x1, x2,, xn 的频率为p1, p2,, pn 则其平均数为x1 p1 x2 p2 xn pn .
提出问题
根据第2. 2 节开头的数据, 还可以求出北京 地区近年来7月25日至8月10日的日最高气 温 的样本平均值为34.02, 我们可将其作为 北京地区近 年来7月25日至8月10日的日最 高气温平均值的估计.
在数学中, 通常把能反映总体某种特征的 量 称 为 总 体 特 征 数.
怎样通过抽样的方法,用样本的特征数 估计总体的特征数呢?
问题点拨
因为 x a1 2 x a2 2 x an 2
nx2 2a1 a2 an x a12 a22 an2,
所以当 x a1 a2 an 时,离差的 平 方和最小,故可 n
用 a1 a2 an 作为表示这 个物理量的理想近似值, n
称为这n个数据a1, a2,, an 的平均数 (average) 或均值
解 估计该. 单位职工的平均年收入为 1250010% 1750015% 22500 20% 27500 25% 3250015% 3750010%
450005 % 26125元.
答 估计该单位人均年收入约为26125元.
三、平均数运算性质：
如果数据 x1, x2 ,, xn 的平均数为 x则 ，
分析 我们级的平均分即可. 解 用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均 分为105.4, 故这次考试乙班成绩要好于甲班 .
思考 某 工厂有经 理1 人,另有6 名管理 人员,5 名高 级 技 工,10 名工人和1 名学徒.现 在需要 增加一名新 工人.小张前来应聘,经理说:" 我 公司报酬不错,平均 工资1 500 元."小张工作几天后找到经理说 :" 你欺骗 了我, 我问过其 他工人,没 有一个工人的月工资超过 1 000 元.平均工资怎么可能 是1500 元呢?"经理拿出 如下工资表说:" 你看,平均工资就是1500 元."
乙班:116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87108106 103 97 107 106 111 121 97 107114122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110
(mean),一般记为a a1 a2 an . a 读作"a 平均". n
这样, 我们可以用计算器求得,由高一1班学生的实验数
据估计的重力加速度的最佳近似值为x 9.774 m / s2 .
问题尝试
例1某校高一级的甲、乙两个班 级 均为50人的语文成 绩如 下总分 :150分,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好些.
练例习21 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布
表单位: h,试估计该校学生的日平均睡眠时间.
睡眠时间
6,6.5 6.5,7 7,7.5 7.5,8 8,8.5 8.5,9
合计
人数 5 17 33 37 6 2
100
频率 0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02
1
分析 要确这100 名学生的平均睡 眠时间,就必须 计算其总睡眠时间.由于每组中的个体睡眠 时间只 是一个范围,可以用各组区间的组中 值近似地表示 .
8.75 2 739h.
故平均睡眠时间约为7.39 h.
解法2 求组中值与对应频率之积的和 6.25 0.05 6.75 0.17 7.25 0.33 7.75 0.37
人 员 经理 管理人员 技工 工人 学徒 合计
月工资 11 000 1 250 1100 1000 500
人数 1
6
5 10 1 23
合 计 11 000 75 000 5 500 10 000 500 34 500
小张通计算发现表中工资的总平均数恰为
11000 1 1250 6 1100 10 500 1 23 1500.
M N
（3）如果两组数x1, x2 ,, xn和
y1, y2 ,, yn
的样本平均数分别是；x 和 y ，那么一组数 ，
x1 y1, x2 2 ,, xn yn 的平均数是__x____y_
x y
x1, y1,..., xn , yn的平均数为？
2
．
六、回顾小结： 1．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样 本数据中提取基本的数字特征（平均数），会用 样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征； 2．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数 据的平均水平； 3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识． 七、课外作业： 课本第65页第2、3、4题．
（1）新数据x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为？
x b 注意：公式逆用
（2）新数据 ax1, ax2,, axn 的平均数为？
ax
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为？ ax b
3、假如你是一名交通部门的工作人员,你打算向市 长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金 数额,其中一条新公路的建设投资为2200万元人民 币.另外25个项目的投资是20～100万元，中位数是 25万元.平均数是100万元,众数是20万元.你会选择 哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的 平均金额?你选择这种数字特征的缺点是什么?
处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数
据之间的离差最小.设这个近似值为x,那么它与 n个实验值 ai ( i 1, 2,, n )的离差分别为x a1, x a2, x a3,, x an.由于上述离差有正有负,故 不宜直接相加.可以考虑离差的平方和, 即
x a1 2 x a2 2 x an 2最. 小时，x的取值
怎样利用这些数据对重力加速度进行估计?
问
题
我们常用算术平均数1 n
n i 1
ai (其中ai (i
1,2,, n)为n
思 个实验数据) 作重力加速度的"最理想"的近似值,它
考 的依据是什么呢?
n
n个实数a1, a2, a3,, an的和简记为 ai ," " i 1
读 作"西 格 玛".
应该采用平均数来表示每一个项目的平均金额，因 为它能反映所有项目的信息。但平均数会受到极端数据 2200万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数 相差比较大。
四．课堂练习：
（1）第65页练习第2,3，4 ；
（,则2M）若N个M数个的数平的均平数均是数_是_M_X_X___N,_NY__个_ ，数的平均数是Y
8.25 0.06 8.75 0.02 7.39 h.
答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h.
2：某单位年收入在10000到15000、15000到 20000、20000到25000、25000到30000、35000到 40000、40000到45000、45000到50000.职工之间 所占的比例分别为10%、15%、20%、25%、15%、 10%和5%。试估计该单位职工的平均收入
甲班:112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114
复习回顾
1、一种用样本的频率分布估计总体,掌握几种用来表
示数据的图:频率分布表,频率分布直方图,频率分布折线 图(频率分布密度曲线),茎叶图.
2、众数 在一组数据中，出现次数最多的 数据叫做这一组数据的众数。
3、中位数 将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数。 4、平均数 x = (x1+x2+……+xn) /n
2.3.1平均数及其估计
某校高一1班同学在老师的布置下,用单摆进 行 测
试,以检验重力加速度.全班同学两人一组, 在相同的
条件下进行测试, 得到下列实验数据单位: m / s2
9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90
并没有错. 这个问题中,总体平均数能 客 观 地反映工人的工 资水平吗?为什么? 经理和员工工资差异太大
在上面的"思考"中, 计算平均数的式子可以写为
11000
1 23
1250
6 23
1100
5 23
1000
10 23
500
1 23
.
一般地,若取值为x1, x2,, xn 的频率为p1, p2,, pn 则其平均数为x1 p1 x2 p2 xn pn .
提出问题
根据第2. 2 节开头的数据, 还可以求出北京 地区近年来7月25日至8月10日的日最高气 温 的样本平均值为34.02, 我们可将其作为 北京地区近 年来7月25日至8月10日的日最 高气温平均值的估计.
在数学中, 通常把能反映总体某种特征的 量 称 为 总 体 特 征 数.
怎样通过抽样的方法,用样本的特征数 估计总体的特征数呢?
问题点拨
因为 x a1 2 x a2 2 x an 2
nx2 2a1 a2 an x a12 a22 an2,
所以当 x a1 a2 an 时,离差的 平 方和最小,故可 n
用 a1 a2 an 作为表示这 个物理量的理想近似值, n
称为这n个数据a1, a2,, an 的平均数 (average) 或均值
解 估计该. 单位职工的平均年收入为 1250010% 1750015% 22500 20% 27500 25% 3250015% 3750010%
450005 % 26125元.
答 估计该单位人均年收入约为26125元.
三、平均数运算性质：
如果数据 x1, x2 ,, xn 的平均数为 x则 ，
分析 我们级的平均分即可. 解 用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均 分为105.4, 故这次考试乙班成绩要好于甲班 .
思考 某 工厂有经 理1 人,另有6 名管理 人员,5 名高 级 技 工,10 名工人和1 名学徒.现 在需要 增加一名新 工人.小张前来应聘,经理说:" 我 公司报酬不错,平均 工资1 500 元."小张工作几天后找到经理说 :" 你欺骗 了我, 我问过其 他工人,没 有一个工人的月工资超过 1 000 元.平均工资怎么可能 是1500 元呢?"经理拿出 如下工资表说:" 你看,平均工资就是1500 元."
乙班:116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87108106 103 97 107 106 111 121 97 107114122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110
(mean),一般记为a a1 a2 an . a 读作"a 平均". n
这样, 我们可以用计算器求得,由高一1班学生的实验数
据估计的重力加速度的最佳近似值为x 9.774 m / s2 .
问题尝试
例1某校高一级的甲、乙两个班 级 均为50人的语文成 绩如 下总分 :150分,试确定这次考试中,哪个班的语文成绩更好些.
练例习21 下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布
表单位: h,试估计该校学生的日平均睡眠时间.
睡眠时间
6,6.5 6.5,7 7,7.5 7.5,8 8,8.5 8.5,9
合计
人数 5 17 33 37 6 2
100
频率 0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02
1
分析 要确这100 名学生的平均睡 眠时间,就必须 计算其总睡眠时间.由于每组中的个体睡眠 时间只 是一个范围,可以用各组区间的组中 值近似地表示 .