福建省漳州市华安一中2018-2019学年九年级(上)期末专题复习试题(含答案)

福建省漳州市华安一中2018-2019学年九年级（上）
期末专题复习试题
一．选择题（满分40分，每小题4分）
1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
3．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
4．下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（）
A．60°B．45°C．30°D．25°
6．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）
A．B．C．D．
7．二次函数的图象如图所示，对称轴为x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c ＜0；④2a+b＝0．其中正确的结论有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y＝cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）
A．B．
C．D．
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣6＝m（m＜0）的两根为x1，x2，且x1＜x2，则下列正确的是（）
A．﹣3＜x1＜x2＜2 B．﹣2＜x1＜x2＜3 C．x1＜﹣3，x2＞2 D．x1＜﹣2，x2＞3 10．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（A、C除外），作PE
⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（）
A．B．C．D．
二．填空题（满分32分，每小题4分）
11．若y＝（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是．
12．设抛物线y＝x2+8x﹣k的顶点在x轴上，则k＝．
13．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式．14．抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴为直线．
15．如图，两弦AB、CD相交于点E，且AB⊥CD，若∠B＝60°，则∠A等于度．
16．已知⊙O的半径为1，点P与圆心O的距离为d，且方程x2﹣2x+d＝0无实数根，则点P在⊙O．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sin B的值是．
18．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝7，AC＝6，点D，E为边AC上的点，AD＝
1，CE＝2，点F为线段DE上一点（不与D，E重合），分别以点D、E为圆心，DF、EF为半径作圆．若两圆与边AB，BC共有三个交点时，线段DF长度的取值范围是．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+c．
（1）若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（﹣1，0），求方程﹣2x2+4x+c＝0的根．
20．（8分）求证：圆的内接四边形对角互补．
21．（8分）设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．
22．（8分）如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE．请你说明以下各式成立的理由：
（1）∠CAD＝2∠DBE；
（2）AD2﹣AB2＝BD•DC．
23．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣1，0），点C（0，2）
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若D是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标．
24．（10分）⊙O2与⊙O1交于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A交⊙O1于D 点．求证：点A是△BCD的内心．
25．（12分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度
为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
26．（14分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
参考答案
一．选择题
1．解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
2．解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°，
∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°
故选：B．
3．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
4．解：①二次函数的图象是抛物线，正确；
②因为a＝﹣＜0，抛物线开口向下，正确；
③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；
④顶点（0，0）也正确．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCO是平行四边形，OA＝OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠B AD＝90°，
∴∠ADB＝30°，
故选：C．
6．解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC＝＝，
故选：C．
7．解：①∵二次函数的图象的开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，b＞0
∴abc＜0，故正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故正确；
③∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴抛物线上x＝0时的点与当x＝2时的点对称，
即当x＝2时，y＞0
∴4a+2b+c＞0，
故错误；
④∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，
故正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：B．
8．解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图象在第一、三象限，
一次函数y＝cx+a在第一、三、四象限，
故选：B．
9．解：把一元二次方程x2﹣x﹣6＝m的解看作二次函数y＝x2﹣x﹣6与直线y＝m的交点的横坐标，
解方程x2﹣x﹣6＝0得x＝﹣2或x＝3，则二次函数y＝x2﹣x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0），
而m＜0，
所以二次函数y＝x2﹣x﹣6与直线y＝m的交点在x轴下方，
所以﹣2＜x1＜x2＜3．
故选：B．
10．解：由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE＝PE，PF＝CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．则y＝2x，为正比例函数．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．解：由题意，得
m2﹣2＝2，且m+2≠0，
解得m＝2，
故答案为：2．
12．解：根据题意得＝0，
解得k＝﹣16．
故答案为：﹣16．
13．解：因为抛物线的开口向下，
则可设a＝﹣1，
又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，4），则可设顶点为（0，4），
所以此时抛物线的解析式为y＝﹣x2+4．
故答案为y＝﹣x2+4．
14．解：
∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝1，
故答案为：x＝1．
15．解：∵∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
16．解：∵方程x2﹣2x+d＝0无实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4d＜0，
∴d＞1，
而⊙O的半径为1，
∴点P与O的距离大于圆的半径，
∴点P在⊙O外．
故答案为：外
17．解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴sin B＝＝，
故答案为：．
18．解：当⊙D与AB有两个交点，⊙E与BC有一个交点时，如图1中，作DN⊥AB于N．
易知：DN＝，
观察图象可知：当＜DF≤1时，两圆与边AB，BC共有三个交点．
当⊙E与AB有两个交点，与BC只有一个交点时，如图2中，作EH⊥AB于H．
易知：EH＝2，由EF＝EH可得：3﹣DF＝2，
DF＝3﹣2，
观察图象可知，当0＜DF＜3﹣2时，两圆与边AB，BC共有三个交点．
故答案为0＜DF或．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（1）解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即16+8c＞0，
解得c＞﹣2；
（2）解：由y＝﹣2x2+4x+c得抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程﹣2x2+4x+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3．
20．解：已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
求证：∠B+∠D＝180°，
证明：连接AO，CO，
由圆周角定理得：∠B＝∠1，∠D＝∠2，
∵∠1+∠2＝360°，
∴∠B+∠D＝180°
21．解：设这个函数的关系式为y＝a（x+2）2+2，
把点（1，1）代入y＝a（x+2）2+2得9a+2＝1，
解得a＝﹣，
所以这个函数的关系式为y＝﹣（x+2）2+2．
22．证明：（1）延长BE交圆于点F，
∴∠DBF＝∠1
∵AB＝AE
∴∠ABE＝∠AEB＝∠1+∠F
∴
∵AB＝AC
∴
∴
∴点F是的中点
∴∠DAC＝2∠1
∴∠CAD＝2∠DBE；
（2）连接BC交AD于点G，
∵AB＝AC
∴∠2＝∠5，∠BAG＝∠DAB，
∴△BAG∽△DAB．
∴AB2＝AG•AD．
∴AD2﹣AB2＝AD2﹣AG•AD＝AD（AD﹣AG）＝AD•DG，∵∠5＝∠ADC，∠DBG＝∠DAC，
∴△BDG∽△ADC．
∴，
∴AD•DG＝BD•DC．
∴AD2﹣AB2＝BD•DC．
23．解：（1）将A，C代入得：，
解得：，
则抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）连接OD，则有B（4，0），设D（m，﹣m2+m+2），
∵S四边形OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD＝×2m+×4（﹣m2+m+2）＝﹣m2+4m+4，
∴S△BCD＝S四边形OCDB﹣S△OBC＝﹣m2+4m+4﹣×4×2＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，S△BCD取得最大值4，
此时y D＝﹣×4+×2+2＝3，即D（2，3）．
24．证明：设两圆为⊙O、⊙Q，如图
延长CA交⊙O1于M点，延长DA交⊙O2于N点，连接AB、DM、CN、MN，
∵AM是⊙O1的直径，AN是⊙O2的直径，
∴∠MDN＝∠ACN＝90°，
∴C、D、M、N四点共圆，
∴∠DMC＝∠DNC，
∵∠DMC＝∠DBA，∠DNC＝∠ABC，
∴∠DBA＝∠ABC，
∴点A在∠DBC的角平分线上，
∵C、D、M、N四点共圆，
∴∠DCM＝∠DNM，
∵∠DNM＝∠ACB，
∴∠DCM＝∠ACB，
∴点A在∠DCB的角平分线上，
同理：点A在∠CDB的角平分线上，
∴点A是△CDB的三个角平分线的交点，
∴点A是△BCD的内心．
25．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
26．解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，
联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，
①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，
即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，
即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，
则点C坐标为（，0），
故：存在，
点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，
0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，
把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，
故函数的表达式为：y＝x﹣3，
设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），
S
＝•PH•x B＝（﹣m2+12m），
△PAB
当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：，
答：△PAB的面积最大值为．。