《中国邮递员问题》PPT课件

• 由此试想一下：一个图应该满足什么条件才能到达 上面要求呢？
一笔画问题〔中国邮路问题根底〕
但凡能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
在一个多重边的连通图中，从某个顶点 出发，经过不同的线路，又回到原出发 点，这样的线路必是欧拉图，即能一笔 画出的图必是欧拉图。
对于有奇点的街道图，该怎么办呢？
这时就必须在每条街道上重复走一次或屡 次。
举例说明
如下图。
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V1~V2~V4~V3~V2~V4~V6~V5~V4~V6~V5~V3~V1 总权为 12 另一路径见书P278 路径〔b〕总权为11.
如果在某条路线中，边[vi,vj]上重复走几次， 我们就在图中vi,vj之间增加几条边，令每条边 的权和原来的权相等，并把所增加的边，称 为重复边，于是这条路线就是相应的新图中 的欧拉图。
这个问题就是一笔画问题。
定理：连通多重图G有欧拉圈，当且仅当 G中无基点。
推论：连通多重图G有欧拉链，当且仅当 G恰有两个基点。
如图P277 图10-30 所示 ，现在的问题 是：
如果我们已经知道图G是可以一笔画的，
首先引入割边概念，设e是连通图G的一 个边，如果从G中丢去e，图就不连通了， 那么称e是图G的割边。
一个图假设有欧拉圈就可以称之为欧拉 图
中国邮递员问题
一个邮递员送信，要走完他负责投递的 全部街道，投完后回到邮局，应该怎样 走，使所走的路程最短？
这个问题是我国管梅谷同志1962年首先 求出来的，因此在国际上通称为中国邮 递员问题。在物流活动中，经常会遇到 这样的问题，如：每天在大街小巷行驶 的垃圾车、洒水车、各售货点的送货车 等都需要解决一个行走的最短路程问题。
方案是否为最优方案？ 假设不是最优方案，如何调整这个方案？
第二步：调整可行方案使重复边总权下降
最优方案必须满足以下〔1〕〔2〕两 个条件：
〔1〕在最优方案中,图的每一边最多有 一条重复边
〔2〕在最优方案中,图中每个圈上的重 复边的总权不大于该圈总权的一半。 为什么?
奇偶点图上作业法
如果在邮递员所负责的范围内，街道图 中没有奇点，那他就可以从邮局出发， 走过每街道一次，且仅一次，最后回到 邮局，这样他走的路程。
然而对奇点的街道图，就必须在某些街 道上重复走一次或屡次。〔ppt17页〕
〔例见P278 图10-31 〔a〕、〔b〕〕
解决这样的问题，可以采用奇偶点图上 作业法：如果在配送范围内，街道中没 有奇点，那么他就可以从配送中心出发， 走过每条街道一次，且仅一次，最后回 到配送中心，这样他所走的路程也就是 最短的路程。
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯 堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河 中两个岛以及岛与河岸连接起来。问是否 可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通 过每座桥一次，再回到起点？ (图见P251页，图10-1)
从七桥问题到一笔画思想
欧拉于1736年研究并解决了此问题， 他 用点表示岛和陆地，两点之间的连线表 示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简 化为一个网络，把七桥问题化成判断连 通网络能否一笔画的问题。之后他发表 一篇论文，证明了上述走法是不可能的。 并且给出了连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
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图2
这样就得到初始方案.在这个图中，没有 奇点，故称它为欧拉图。对应于这个可 行方案，重复边总权为51。
2W12+W23+W34+2W45+
2W56+W67+W78+2W18=51
问题：
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个
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4 4
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图1
显然街区图上有奇点〔4个分别为V2， V4，V6，V6〕，不满足“一笔画〞 的条件，那么必然有一些街道要被重 复走过〔添加重复边〕才能回到原出 发点。此时得到的图就无奇点。
那么该怎样添加重复边，使得图中全 为偶点呢？
其实可以通过连接匹配的奇点得到！
第一步：确定初始可行方案
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七桥问题 Seven Bridges Problem〔引 点〕
如图可见P25B 因为图中的每个点都只与奇数条相关联，所以不可能一笔画出
一笔画问题
什么是一笔画问题呢？ 一笔画问题：从某一点开场画画，笔不
离纸，各条线路仅画一次，最后回到原 来的出发点。
想一想：
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a
b
c v2
v3
v4
图1
图2
• 图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出发， 途径每条边，最终还能回到出发点？
原来的问题可以表达为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并 且重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称 为可行〔重复边〕方案，使总权最小的可行 方案为最优方案。
中国邮递员问题的实质
中国邮递员问题—可以表达为在一个有 奇点的图中，要求增加一些重复边，使 新图不含奇点，并且重复边的总权为最 小。
定理1：连通的多重图G是欧拉图，当且 仅当G中无奇点。
定理2 ：任何一个图中的奇点个数必为 偶数。
推论：连通的多重图有欧拉链，当且仅 当图中有两个奇点。
什么是欧拉链?
给定一个连通多重图G，假设存在一条链， 过每边一次，那么称这条链为欧拉链。
那什么又事欧拉圈呢 ？
假设存在一个简单圈，过每边一次，且 仅一次，那么称为欧拉圈。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？
在确定一个可行方案后，怎么判断这个 方案是否为最优方案？
假设不是最优方案，如何调整这个方案？
习题
v1
车辆从某配送中心
〔v1〕出发，给街道 5
边上的超市
〔v2,v3,v4,v5,v6,v7, v2
v8,v9〕送货，如下
图。
5
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