§4.4.2二阶常系数线性微分方程

而 a 2 是特征根，
1 ∴设 y Axe ，代入原方程解得 A ， 4 故原方程的通解为
2 x
y Y y C1e

2 x
C2e
2x
1 2 x xe 。 4
2y y xex 的通解。 例 3．求方程y
r 2 2r 1 0 ， r1, 2 1 。 解：∵特征方程为
eax [Q(x) 2aQ(x) a 2 Q(x)] ， y
e 代入③后并约去 ax ，得：
aQ(x) (2aa b)Q(x) (aa2 ba c)Q(x) Pm (x)
④
aQ( x ) (2aa b)Q( x ) (aa 2 ba c)Q( x ) Pm ( x )
Y e x ( C1 C 2 x ) 。 ∴对应的齐次方程的通解为
∵ f (x) xex ，属 f (x) Pm (x)e ax 型（m 1, a 1 ） ，
而a 1 是特征方程的重根，
∴设 y x 2 (A x A1 )e x ，
(3A x 2 2A1x)e x (A x 3 A1x 2 )e x ， (y )

代入原方程有
(10 D C) cos 2 x ( D 10 C) sin 2 x cos 2 x ，
比较两端 cos 2 x与 sin 2 x 的系数，得
1 10 D C 1 C 101 ， D 10C 0 D 10 101
由于 f ( x ) 中的第二项 P ( x )e
所以与 y1 成
( a ib ) x k
与第一项成共轭，
( a ib ) x
共轭的函数
y2
x QLe
必然是方
by cy P ( x )e ( a ib) x 的特解，这里Q L 表示与 程 ay
Q L 成 共轭的 L次多项式 。
by cy eax [Pm (x)cosbx Pn (x)sin bx] 故方程 ay
具有如下形式的特解：
y

k (aib) x k (aib) x y1 y2 x QLe x QLe .
y x QLe
k ax

k
(aib) x
x QLe
]
Pm Pn (aib) x Pm Pn (aib) x ( )e ( )e 2 2i 2 2i
P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x
f ( x ) P ( x )e
(aib) x
P ( x )e
(aib) x
,
Pm Pn Pm Pn Pm Pn Pm Pn i ， P(x) i， 其中 P( x ) 2 2i 2 2 2 2i 2 2 m 是互成共轭的 L 次 多项式,而 L max{ , n} 。
(x) e a x 1．f (x) P m
x m （其中p m (x) 是 的 次多项式）
这时方程②为 ay by cy Pm (x)eax
③
Q 可以设 y Q(x)eax （其中 (x) 是多项式） 。
将 y Q(x)eax ，
y e ax [Q(x) aQ(x)] ，
具有如下形式的特解：
ax
y x k Qm (x)eax 。
其中 Q m (x) 是与 Pm ( x ) 同次但系数待定的多项式，
k 按 a 不是特征方程的根、是单根或二重根依次
取 0，1 或 2。
2 ． f ( x ) e [Pm ( x ) c os b x Pn ( x ) sin b x ]
k
(aib) x
x e [QL (cosbx isinbx) QL (cosbx isinbx)]
由于括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部， 所以可以写成实函数形式：
y x e

k ax
(1) ( 2) (R L ( x)cosbx R L ( x)sin bx)
综上所述，有如下结论：
1 10 cos 2x sin 2x ) 。 故所求特解 y e ( 101 101
x
例 5．求方程 y y sin x 的通解。
解：先写出特征方程： r 2 1 0 ， r i 。
∴对应齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sin x 。
e ax p m ( x )
a
③ 是特征方程的重根
a ① ib 不是特征方程的根
f ( x ) e [Pm ( x )cos b x Pn ( x )sin b x ]
ax
y x 2 Q m ( x )e ax
y e ax [Q L ( x ) cos bx R L ( x ) sin bx ] y xe ax [Q L ( x ) cos bx R L ( x ) sin bx ] 其中L max{ m, n}
而 k按 a ib 不是特征方程的根、或是特征方程的单根 依次取 0 或 1。
二阶常系数非齐次线性方程特解解法
ay by cy f ( x ) 自由项 f ( x )
a
y 非齐次方程特解
① 不是特征方程的根 ② 是特征方程的单根
a

y Q m ( x )e ax
y x Q m ( x )e ax
（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
设二阶常系数线性齐次方程为ay by cy 0
二阶常系数线性非齐次方程为ay by cy f ( x )
Y 若 y 是方程②的一个特解，
y Y y 是方程②的通解。 则
①
②
是方程①的通解，
求方程②的通解关键在于求其一个特解。下面介绍 当自由项 f ( x ) 为两种特殊类型函数时方程②特解的求 法—待定系数法。
且 a bi 1 2 i 不是特征方程的根，
∴设特解 y e x (C cos2x D sin 2x) ， 则有
e x [(C 2D) cos2x (D 2C) sin 2x] ， (y )
( y ) e x [( 4D 3C) cos 2 x ( 4C 3D) sin 2 x ] ，
对于 f ( x ) 中的第一项P ( x )e 多项式 Q L ( x ) ，使得
( aib ) x
，可求出一个L次
y1 x k Q L e ( aib) x
by cy P ( x )e ( a ib) x 的特解，而 k 按 ib a 为方程 ay
不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取 0 或 1。
④
（2）当 aa ba c 0 ，而2aa b 0 时，
2

即 a 是方程①的单特征根时，④式成为
aQ(x) (2aa b)Q(x) Pm (x)
Q ( x ) 应为m 次多项式， ( x ) 应为 1 次多项式， Q m
故可设 Q( x ) xQ m ( x ) ，
x
例 4．求方程 y 3y y e x cos 2 x 的一个特解。
解：先写出特征方程：r 2 3r 1 0 ，
∵ f ( x ) e x cos 2 x ， 属于 e
ax
[Pm ( x ) cos b x Pn ( x ) sin b x ] 型的函数，
∵ a 0 不是特征根，
∴设特解为 y Q1 (x)e 0x A x A1 ， 将 y ， ( y ) A ，( y ) 0 ，代入原方程后得

6 A x (6 A 1 5A ) 2 x 3 ，有
1 A 3 6A 2 1 7 . 故原方程的特解为 y x 。 3 9 6A1 5A 3 A1 7 9
④
是方程
的二重特征根时，④式成为
aQ(x) Pm (x)
Q(x) 应为m 次多项式， Q(x) 应为m 2 次多项式。
故可设
Q( x ) x Q m ( x ) ，
2
并用同样的方法来确定Q m ( x ) 中的系数。
综上所述，方程 y py qy Pm ( x)e
并用同样的方法来确定Q m ( x ) 中的系数A i (i 0, 1, , m) 。
aQ( x ) (2aa b)Q( x ) (aa 2 ba c)Q( x ) Pm ( x )
a （3）当 aa 2 ba c 0 且2aa b 0 时，即
e e e ix e ix 应用欧拉公式 cos x ， sin x 2 2i
ix ix
ax
把三角函数表示为复变量指数函数的形式，有
f ( x) e
ax
[Pm cosbx Pn sinbx]
[Pm e
ib x
e
ax
e 2
ib x
Pn
e
ib x
e 2i
ib x
x 把 Q m (x) 代入（4）式，比较等式两端 同 次幂的系数，
m 就得到以 A , A1 , , A m1 , A m 作为未知数的 1个 方程
的联立方程组，从而可以定出这些A i (i 0, 1, , m) ，
得到所求特解 y Qm (x)e

ax
。
aQ( x ) (2aa b)Q( x ) (aa 2 ba c)Q( x ) Pm ( x )

x 2 x ( y ) (6A x 2A1)e (6A x 4A1x )e