高考数学一轮复习课时检测 第六章 第五节 直接证明与

第六章第五节直接证明与间接证明
一、选择题
1．(2012·宜昌模拟)若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则( )
A．F(x)、G(x)均为偶函数
B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数
C．F(x)与G(x)均为奇函数
D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数
解析：∵f(x)的定义域为R，∴F(x)＝f(x)＋f(－x)，
G(x)＝f(x)－f(－x)的定义域也为R.
又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数．
答案：D
2．设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b ∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是 ( ) A．(a*b)*a＝a
B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b
D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)＝b.
B中a*(b*a)＝b原式变为b*(a*b)＝a，成立．
C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立．
D中，b*(a*b)＝a，原式变为(a*b)*a＝b成立．
答案：A
3．(2012·永州模拟)函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是( )
A．f(2.5)<f(1)<f(3.5)
B．f(2.5)>f(1)>f(3.5)
C．f(3.5)>f(2.5)>f(1)
D ．f (1)>f (3.5)>f (2.5)
解析：因为函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，所以x ＝2
是对称轴，在(2,4)上为减函数，由图象知f (2.5)>f (1)>f (3.5)．
答案：B
4．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )
A ．△A 1
B 1
C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形
B ．△A 1B 1
C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
解析：由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假
设△A 2B 2C 2是锐角三角形．
由⎩⎪⎨⎪
⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin π2－A 1sin B 2＝cos B 1＝sin π2－B 1sin C 2＝cos C 1＝sin π2－C 1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
A 2＝π2－A 1
B 2＝π2
－B 1C 2＝π2－C 1. 那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾． 所以假设不成立，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形． 答案：D 5．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2
，y 2三数 ( )
A ．成等比数列而非等差数列
B ．成等差数列而非等比数列
C ．既成等差数列又成等比数列
D ．既非等差数列又非等比数列
解析：由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ②
y 2＝bc . ③
由②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b
＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2. 故x 2，b 2，y 2成等差数列．
答案：B
6．已知△ABC 的顶点A (x ，y )，B (－1,0)，C (1,0)，若△ABC 满足的条件分别是：(1)
△ABC 的周长是6；(2)∠A ＝90°；(3)k AB ·k AC ＝1；(4)k AB －k AC ＝－2.下面给出了点A 的轨
迹方程：(a)x 2＋y 2＝1(y ≠0)；(b)x 2－y 2＝1(y ≠0)；
(c)x 24＋y 23＝1(y ≠0)；(d)y ＝x 2
－1(y ≠0)． 其中与条件(1)(2)(3)(4)分别对应的轨迹方程的代码依次是
( )
A ．(a)(b)(c)(d)
B ．(c)(a)(d)(b)
C ．(d)(a)(b)(c)
D ．(c)(a)(b)(d)
解析：由△ABC 的周长是6，|BC |＝2，可知点A 在以B, C 为焦点的椭圆上，y ≠0，与
(c)相对应；由∠A ＝90°，可知点A 在以BC 为直径的圆x 2＋y 2＝1上，y ≠0；由k AB ·k AC ＝1，
化简得x 2－y 2＝1(y ≠0)；显然(4)与(d )相对应．
答案：D
二、填空题
7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，
如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12
.那么他的反设应该是________．
答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|则|f (x 1)－f (x 2)|≥12
” 8．设S n ＝12＋16＋112＋ (1)
n ＋1(n ∈N *)，且S n ＋1·S n ＋2＝34，则n 的值是________． 解析：由1n n ＋1＝1n －1n ＋1
得 到S n ＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝n n ＋1，S n ＋1·S n ＋2＝n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3
＝
n ＋1n ＋3＝34
，解得n ＝5. 答案：5
9．定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：(1)2] .
解析：由(2n ＋2)*2 006＝3·[(2n )*2 006]得2n ＋2*2 0062n *2 006
＝3，所以数列{(2n )*2 006}是首项为1，公比为3的等比数列，故2 012]答案：3
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三、解答题 10．在锐角三角形中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .
证明：∵在锐角三角形中，A ＋B >π2
， ∴A >π2
－B . ∴0<π2－B <A <π2
. 又∵在(0，π2
)内正弦函数是单调递增函数， ∴sin A >sin(π2
－B )＝cos B . 即sin A >cos B ，同理sin B >cos C ，sin C >cos A .
∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .
11．用反证法证明：若a ，b ，c ，d ∈R ，且ad －bc ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋d 2
＋ab ＋cd ≠1. 证明：假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1，
∵ad －bc ＝1，
∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd －ad ＋bc ＝0.
即(a ＋b )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＋(b ＋c )2＝0.
∴必有a ＋b ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0，b ＋c ＝0.
可得a ＝b ＝c ＝d ＝0.
与ad －bc ＝1矛盾，
∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.
12．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，
求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.
解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，
1为公差的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .
(2)由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n
.
b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1
＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2
n
1－2＝2n －1.
因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2
＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1) ＝－2n <0，
所以b n ·b n ＋2<b 2
n ＋1.。