2017.11.05 复变函数期末试题答案

z2
,i]

(1
z2 )
zi

， 2i
……4 分
则
eix

1 x2
dx

eiz
2i

Res[ 1

z
2
,i]
e1 2i
2i

，
e
因此，
cos x 0 1 x2
dx

2e
.
……2 分
第3页 共4页
装 订 线
第4页 共 4页
2i

i

z
1
i

n0
(zi i源自)n1 2i
n0
(
z 2i
i
)n


n0
(
z
i
)n1 i

1 2
n0
(
z 2i
i )n
或
n0
(
z
i
)n1 i

n0
i(z i)n (2i)n1
……2 分 ……2 分
2i 9 1
1 或 1 24 4!
线 三、计算题（每小题 8 分，共 32 分）
1. 解答：设 C1 为连接原点到 1 的直线段， C2 为连接 1 到 1 +i 的直线段，则
C C1 C2 ，且
z dz z dz z dz
C
C1
C2
C1 的参数方程为 z1(t) t i0 t ，t 从 0 变到 1；C2 的参数方程为 z2 (t) 1 it ，t 从
0 变到 1，故
……3 分
1
1
z dz tdt
C1
0
2
1
1
z dz (1 it)idt i
C2
0
2
……4 分
因此 C z dz 1 i .
……1 分
2. 解答：法 1： f (z) u u i x y
2 y i(2x 1) 2i(x iy) i 2iz i
……3 分 ……2 分
学号 ：
班级 ：
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第2页 共 4页
四、应用题（每小题 9 分，共 18 分）
1．解答：
f
(z)

i

1 z

1 z
i


i

z
1 i

i

z

1 i
2i




i

z
1
i

1
1
i

1 2i
1
1 z

i


zi
的一阶偏导均存在且连续，则 u(x, y), v(x, y) 可微. 又
……3 分
ux 2x, uy 2 y, vx vy 0
仅当 x 0, y 0 时满足 C R 方程 ux vy ,uy vx . 故函数 f (z) | z |2 仅在 z 0 点可导，在复平面内处处不解析.
3. 解答：
…..…4 分 ……2 分 ……2 分
……6 分 ……2 分
……6 分 ……2 分
.................................3 分
.................2 分
.................3 分
4. 解答： f (z) | z |2 x2 y2 ，有 u(x, y) x2 y2 ，v(x, y) 0 ，显然 u(x, y), v(x, y)
y x
则 v (x,y) (2x 1)dx 2 ydy x2 x y2 C , (0,0)
即 f (z) (2x 1) y i( y2 x2 x C)
又由 f (1) i ，得 C 3，即 f (z) (2x 1) y i( y2 x2 x 3) .
即 f (z) (2x 1) y i( y2 x2 x C)
又由 f (1) i ，得 C 3，即 f (z) (2x 1) y i( y2 x2 x 3) .
法 3： u v 2 y , u v 2x 1，
x y
因此 f (z) f (z)dz iz2 iz C
又由 f (1) i ，得 C 3i ，即 f (z) iz2 iz 3i .
法 2： u x
v y
2y,
则 v 2 ydy
y2 C(x) ,
又 u v 2x 1, 有 2x 1 C(x) C(x) x2 x C , y x
……5 分
2.
解答：
cos x 0 1 x2
dx

1 2
cos x 1 x2
dx

1 2
Re(
eix

1 x2
dx)
……3 分
令
f
(z)

eiz 1 z2
，则
f
(z) 只有两个一阶极点
z1

i,
z2

i
，且仅有
z1

i
在上半平面.
eiz
eiz
e1
有
Res[ 1
姓名：
《复变函数》（A 卷）标准答案与评分标准 2017.11.05
一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C DDC B BDAB
二、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
1
2(1+i)
6
3
2
7
4
3
3z 2
8
装
4
0
9
订
5
2 i
10
4 i 二阶极点