高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2数

(4)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量 → → → → OZ1 ， OZ2 不共线，则复数z1＋z2是以 OZ1 ， OZ2 为两邻边的 → 平行四边形的对角线OZ所对应的复数． → －OZ → ＝Z→ ②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ 1 2 2Z1 所对应的复数． 4．模的运算性质：①|z|2＝| z |2＝z· z ；②|z1· z2|＝
冲关针对训练 2＋i (2018· 山西四校联考)i是虚数单位，若 ＝a＋bi(a，b 1＋i ∈R)，则lg (a＋b)的值是( ) 1 A．－2 B．－1 C．0 D.2 2＋i 2＋i1－i 3 i 3 解析 因为 ＝ ＝2－2，所以a＝2，b＝ 2 1＋i
1 －2，a＋b＝1，所以lg (a＋b)＝0，故选C.
2．教材衍化 1 (1)(选修A1－2P63A组T1(3))在复平面内，复数z＝ (i 2＋i 为虚数单位)对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2－i 1 2 1 解析 z＝ ＝ ＝ 5 － 5 i，其对应的点为 2＋i 2＋i2－i
2 1 ，－ ，在第四象限．故选D. 5 5
Z(a，b) (a， 复平面内的点________ b
3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则 设 z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d ∈R)，则
(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3 ∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任 意z1，z2，z3∈C，有z1· z2＝z2· z1Байду номын сангаас(z1· z2)· z3＝z1· (z2· z3)，z1(z2 ＋z3)＝z1z2＋z1z3.
第11章 算法、复数、推理与证明
11.2
数系的扩充与复数的引入
基础知识过关
[知识梳理] 1．复数的有关概念
2．复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应 的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成 的集合也是一一对应的，即 (1)复数 z＝a ＋b i ∈R)． (2)复数 z＝a ＋b i(a，b∈R) → 平面向量OZ.
题型 2 典例 ＝( ) 1 A. 2
复数的几何意义 (2017· 全国卷Ⅲ)设复数 z 满足(1＋i)z＝2i， 则|z|
2 B. C. 2 D．2 2 先求 z 的代数形式，再求 |z|.
解析
2i 由(1＋i)z＝2i 得 z＝ ＝1＋i， 1＋ i
∴|z|＝ 2.故选 C.
方法技巧 复数几何意义及应用 → 1．复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ相互联系，即 z → ＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系， 因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运 用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
提醒：|z|的几何意义：令 z＝ x＋ yi(x， y ∈ R)，则 |z|＝ x2＋y2，由此可知表示复数 z 的点到原点的距离就是|z|的 几何意义； |z1－ z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1， z2 的两点之间的距离．
x＝1＋i， y＝1－i，
或
x＝1－i， y＝1＋i
或
x＝－1＋i， x＝－1－i， 或 y＝－1－i y＝－1＋i.
方法技巧 有关复数的基本概念问题的关键 因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实 部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是 找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形 式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处 理．见典例．
已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－
2 4 a ＝4， 根据复数相等得 2 2 －3a ＋b ＝－6，
a＝1， 解得 b＝1 a＝－1， b＝－1.
a＝1， 或 b＝－1
a＝－1， 或 b＝1
或
故所求复数为
)
1＋z i－1 i－12 解析 由已知 ＝i，可得z＝ ＝ ＝ 1－z i＋1 i＋1i－1 －2i ＝i，∴|z|＝|i|＝1，故选A. －2
经典题型冲关
题型1 复数的有关概念 典例 6i，求x，y. 复数问题实数化．
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)， 则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
3．小题热身 3＋i (1)(2017· 全国卷Ⅱ) ＝( 1＋i )
A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i
3＋i 3＋i1－i 4－2i 解析 ＝ ＝ 2 ＝2－i.故选D. 1＋i 1＋i1－i
1＋z (2)(2015· 全国卷Ⅰ)设复数z满足 ＝i，则|z|＝( 1－z A．1 B. 2 C. 3 D．2
(2)(选修A1－2P61A组T3)在复平面内，复数6＋5i，－2 ＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对 应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)， 则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.
z |z1| 1 |z1||z2|；③z ＝|z |. 2 2
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一 定有两个根．( √ ) (2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大 小．( × ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点 的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )