人教A版选择性3.2.1双曲线及其标准方程课件(18张)

③ 列式： ( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
F•1
x2
y2
④ 化简整理得：(c2 a2 ) x2 a2 y2 a (c a2 c22 a2 21 a2 )
y
•M
O
F•2 x
等式两边同除以a2 (c2 a2 ),得
由c a,可得c2 a2
0,若设c2 a2
思考1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？
如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 思考2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0 (即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
思考2 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0 (即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
D．±4 5
2．已知 F1，F2 为双曲线 x2－y2＝1 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且∠F1PF2＝60°，求∆PF1F2 的面积.
求双曲线中的焦点△PF1F2 面积的方法 (1)①根据定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满 足 的 关 系 式 ； ③ 通 过 配 方 ， 整 体 求 出 |PF1|·|PF2| ； ④ 利 用 公 式 S ＝ 12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2．（S = tabn2θ2）
3.2.1 双曲线及其标准方程
知识回顾
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹 叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)或
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)(其中a 2
b2
c2)
问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的 轨迹会发生怎样的变化？
一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c(c>0), 常数记为2a(a>0)，则双曲线 定义还可以描述为
若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线.
分3种情况来看： ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？
F1
F2 M
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？
M
此时轨迹不存在
③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？
(2)a＝4，经过点 A
1，－4
10 3
；
(3)与双曲线x2 －y2＝1 有相同的焦点，且经过点(3 2，2)； 16 4
例题 2：1.△ABC 中，A(－5,0)，B(5,0)，点 C 在双曲线x2－y2＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上，则sin A－sin B＝( )
16 9
sin C
A．3 5
B．±3 5
C．－4 5
F2
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
F1
二、双曲线标准方程
① 建系: 如图示，建立平面直角坐标系. ② 设点：设M(x,y)为双曲线上任一点, 双曲线的焦
距为2c(c>0), 那么焦点F1,F2的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c), 则有
(2)利用公式 SPF1F2 ＝12|F1F2||yP|．
例2.已知A,B两地相距800m，在A地听到爆炸声比在B地晚2s， 且声速为340m / s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。
y
AO
P x
B
变式：如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三个内角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝ 2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
b2,则方程为
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分
别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
y
y
•M
F2
•
F1
O
•
F2
x
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a 0, b 0)
这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上， 焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2.
例题 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)已知双曲线的两个焦点分别为 F1(−5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点 P 与 1， 2的距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程.
x2 y2 1(a 0, b 0)
a2 b2 y2 x2 1(a 0, b 0) a2 b2
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c的 a>b>0，a2=b2+c2
关系
a>0，b>0，但a不一定 大于b，c2=a2+b2
探究
y M
AO
x B
如果动点与两个
定点F1，F2所连直 线的斜率之积是一
个正数，那么动点
的轨迹是双曲线.
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程 焦点
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
y2 x2 1(a b 0) a2 b2