2018年无锡市东林中学八年级下期中数学试卷含答案解析

2018-2018学年江苏省无锡市东林中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．给出下列各式：，，，﹣，其中，分式有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．若分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x=1 D．x=﹣1
4．下列分式中，是最简分式的是（）
A．B．C．D．
5．若=+，则（）
A．m=﹣3，n=1 B．m=3，n=﹣1 C．m=3，n=1 D．m=2，n=1 6．下列命题中，正确的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．顺次连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形
7．如图，矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC向点C运动，E、F分别是AP、PC的中点，则EF的长度（）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．无法确定
8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接
EF；作CH⊥EF，连接CE、BH，若BH=8，EF=4，则正方形ABCD的边长是（）
A．5B．6C．5D．6
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共26分）
9．已知平行四边形ABCD中，∠B=3∠A，则∠C=°．
10．当x=时，分式的值为0．
11．给出两个分式：，﹣，它们的最简公分母为．
12．在括号内填入适当的整式，使等式成立：
（1）=；
（2）=．
13．计算：
（1）=，
（2）÷=．
14．若关于x的方程﹣=无解，则m的值为．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，若点A坐标为（4，3），则菱形ABCD的面积是，周长是．
16．一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和4cm两部分，则矩形的周长为
cm．
17．若关于x的分式方程=2有正数解，则m的取值范围是．
18．已知点P为等边△ABC内一点，∠APB=112°，∠APC=122°，若以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是．
三、解答题（本大题共7小题，共50分，解答时应写出文字说明或演算步骤）
19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、
B（0，4）、C（0，2），
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为．
20．计算：
（1）+
（2）1﹣÷．
21．解方程：
（1）=
（2）+=1﹣．
22．先化简，再求值：÷（x+3+），且x2+2x﹣1=0．
23．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔201枝以上（包括201枝），可以按批发价付款；购买铅笔200枝以下（包括200枝）只能按零售价付款．已知按批发价购买6枝铅笔与按零售价购买5枝的价钱相同；由于某中学的初三学生要参加中考，需要一批铅笔，校长特派小明来该店购买铅笔，花了120元钱给学校初三年级学生每人买1枝；后来小明回去算了一下，如果他多买20枝，反而可以少花10元钱．
（1）该文具店购买铅笔批发价是每枝多少元？零售价是每枝多少元？
（2）某人分两次在该文具店里购买铅笔分别花了96元和120元，如果他一次性购买同样数量的铅笔可以少花多少钱？
24．如图，在在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9，点P是BC边上一个动点，
（1）当PB=时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
25．如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC 上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，
（1）求证：△ADN≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；
（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．
2018-2018学年江苏省无锡市东林中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．给出下列各式：，，，﹣，其中，分式有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
﹣分母中含有字母，因此是分式；
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x=1 D．x=﹣1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选A．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．
4．下列分式中，是最简分式的是（）
A．B．C．D．
【考点】最简分式．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、原式可化简为，故不是最简分式；
B、分子与分母没有公分母，是最简分式；
C、原式可化简为，不是最简分式；
D、原式可化简为，不是最简分式，
故选B．
【点评】考查了最简分式的知识，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
5．若=+，则（）
A．m=﹣3，n=1 B．m=3，n=﹣1 C．m=3，n=1 D．m=2，n=1
【考点】分式的加减法．
【分析】由题意知，等式左右的分子相等，则a的对应系数相等．
【解答】解：由原等式，得
==，
则3a+1=（m+n）a﹣（m﹣3n），
所以，
解得．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的加减法．异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
6．下列命题中，正确的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．顺次连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形，所以A选项错误；
B、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、四条边都相等的平行四边形是正方形，所以C选错误；
D、顺次连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．如图，矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC向点C运动，E、F分别是AP、PC的中点，则EF的长度（）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．无法确定
【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．
【分析】连接AC，根据勾股定理可求出AC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF=AC是一定值，问题得解．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AC=，
∵E、F分别是AP、PC的中点，
∴EF是△APC中位线，
∴EF=AC为定值，
即EF的长度不变，
故选C
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记定理和矩形的性质是解题的关键．
8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接
EF；作CH⊥EF，连接CE、BH，若BH=8，EF=4，则正方形ABCD的边长是（）
A．5B．6C．5D．6
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】连接AH，AC，CF，BH与AC交于M，推出△BCE≌△CDF，由全等三角形的性
质得到CE=CF，∠BCE=∠DCF，求得∠ECF=90°，根据直角三角形的性质得到CH=EH=HF=
EF=2，证得BH垂直平分AC，得到AM=BM=CM=AC=x，设BC=x，根据勾股定
理得到HM==，列方程即可得到结论．
【解答】解：连接AH，AC，CF，BH与AC交于M，
∵在正方形ABCD中，BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°∴∠CDF=90°，
在△BCE与△CDF中，，
∴△BCE≌△CDF，
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠ECF=90°，
∴CH=EH=HF=EF=2，
∴AH=EF，
∴AH=CH，
∵AB=BC，
∴BH垂直平分AC，
∴AM=BM=CM=AC=x，
设BC=x，
∴BM=CM=x，
HM==，
∵BH=8，
∴x+=8，
∴x=6或x=2（不合题意舍去），
∴BC=6，
∴正方形ABCD的边长是6．
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共26分）
9．已知平行四边形ABCD中，∠B=3∠A，则∠C=45°．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得∠C的值．
【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠B=3∠A，
∴∠A+3∠A=180°，
∴∠A=∠C=45°，
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键．
10．当x=﹣2时，分式的值为0．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0，并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x+2=0，解得x=﹣2，
而x=﹣2时，分母x﹣2=﹣2﹣2=﹣4≠0．
所以x=﹣2．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
11．给出两个分式：，﹣，它们的最简公分母为a2bc．
【考点】最简公分母．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：，﹣的分母分别是a2b，bc，故最简公分母是a2bc．
故答案是：a2bc．
【点评】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
12．在括号内填入适当的整式，使等式成立：
（1）=；
（2）=．
【考点】分式的基本性质．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）分式的分子分母都乘以3x，得
=；
（2）分式的分子分母都乘以（x+y），得
=，
故答案为：3x2，x2+xy．
【点评】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．
13．计算：
（1）=，
（2）÷=．
【考点】分式的基本性质．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案．
【解答】解：（1）=，
（2）÷==，
故答案为：，．
【点评】本题考查了分式的性质，利用了分式的性质，分式的除法．
14．若关于x的方程﹣=无解，则m的值为1或2．
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：x（x+2）﹣m（x﹣2）=x2，
整理得：（2﹣m）x=﹣2m，
当2﹣m=0时，即m=2时，整式方程无解；
当（x﹣2）（x+2）=0时，即x=2或x=﹣2时，方程方程无解，
把x=2或x=﹣2代入（2﹣m）x=﹣2m得：m=1，
∴m=1或2，
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，是需要识记的内容．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，若点A坐标为（4，3），则菱形ABCD的面积是24，周长是20．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【专题】计算题．
【分析】连结AC，如图，根据菱形的性质得OA=AB=BC=OC，AC与OB互相垂直平分，则AD=CD=3，OD=BD=4，再利用勾股定理计算出OA，然后计算菱形的面积与周长．
【解答】解：连结AC，如图，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=OC，AC与OB互相垂直平分，
∵A（4，3），
∴AD=CD=3，OD=BD=4，
∴OA==5，
∴菱形ABCD的面积=×6×8=24，周长=4OA=20．
故答案为24、20．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．也考查了坐标与图形性质．
16．一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm和4cm两部分，则矩形的周长为20或22 cm．
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质和已知条件得出△ABE是等腰直角三角形，得出AB=AE，分两种情况：①当AE=3，DE=4时；②当AE=4，DE=3时；即可求出矩形的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，BC=AD，AB=DC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE；
分两种情况：
①当AE=3，DE=4时，AD=7，AB=AE=3，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2（3+7）=20（cm）；
②当AE=4，DE=3时，AD=7，AB=AE=4，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（4+7）=22（cm）；
综上所述：矩形的周长为20cm或22cm；
故答案为：20或22．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．若关于x的分式方程=2有正数解，则m的取值范围是m＜10且m≠5．
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为正数，求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣m=2（x﹣5），
解得：x=10﹣m，
∵关于x的分式方程=2有正数解，
∴10﹣m＞0，且x﹣5≠0，
解得：m＜10，且m≠5．
故答案为：m＜10且m≠5．
【点评】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分数方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
18．已知点P为等边△ABC内一点，∠APB=112°，∠APC=122°，若以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是52°、62°、66°．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接PE，只要证明PA、PB、PC为边组成的三角形就是△PEB，再求出其内角即可．
【解答】解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接PE．
∵AE=AP，∠EAP=∠BAC=60°，
∴△EAP是等边三角形，∠EAB=∠PAC，
∴∠AEP=∠APE=60°，PA=PE，
在△EAP和△PAC中，
，
∴△EAP≌△PAC，
∴EB=PC，
∴PA、PB、PC组成的三角形就是△PEB，
∵∠APB=112°，∠APE=60°，
∴∠EPB=52，
∵∠AEB=∠APC=122°，∠AEP=62°，
∴∠PEB=66°，
∴∠EBP=180°﹣∠BEP﹣∠EPB=66°．
故答案为52°、62°、66°．
【点评】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质，利用旋转添加辅助线是解决问题的关键，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共50分，解答时应写出文字说明或演算步骤）
19．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，2）、
B（0，4）、C（0，2），
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（2，﹣1）．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．
【解答】解：（1）△A1B1C如图所示，
△A2B2C2如图所示；
（2）如图，对称中心为（2，﹣1）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．计算：
（1）+
（2）1﹣÷．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣=
=；
（2）原式=1﹣=1﹣==﹣．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．解方程：
（1）=
（2）+=1﹣．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：5x=3x+6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解；
（2）去分母得：x﹣3﹣x（x+1）=x2﹣1﹣2x（x﹣1），
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．先化简，再求值：÷（x+3+），且x2+2x﹣1=0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=÷=
=，
由x2+2x﹣1=0，得到x2+2x=1，即x（x+2）=1，
则原式=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．一个批发兼零售的文具店规定：凡一次性购买铅笔201枝以上（包括201枝），可以按批发价付款；购买铅笔200枝以下（包括200枝）只能按零售价付款．已知按批发价购买6枝铅笔与按零售价购买5枝的价钱相同；由于某中学的初三学生要参加中考，需要一批铅笔，校长特派小明来该店购买铅笔，花了120元钱给学校初三年级学生每人买1枝；后来小明回去算了一下，如果他多买20枝，反而可以少花10元钱．
（1）该文具店购买铅笔批发价是每枝多少元？零售价是每枝多少元？
（2）某人分两次在该文具店里购买铅笔分别花了96元和120元，如果他一次性购买同样数量的铅笔可以少花多少钱？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设该文具店购买铅笔批发价是每枝x元，则零售价是每枝x=1.2x元，根据小明回去算了一下，如果他多买20枝，反而可以少花10元钱，可列方程求解．
（2）96元买的笔只能按照零售价，而120元可能那次则可能是按照零售价或批发价所买，所以买的有两种情况，因此他一次性购买同样数量的铅笔可以少花多少钱也有两种情况．
【解答】解：（1）设该文具店购买铅笔批发价是每枝x元，则零售价是每枝1.2x元．
根据题意得+20=
解得x=0.5．
经检验，x=0.5是方程的根且符合题意．
∴1.2x=0.6．
答：该文具店购买铅笔批发价是每枝0.5元，零售价是每枝0.6元；
（2）由题意可知96元那次必是按照零售价所买，
∴96÷0.6=160（支）
而120元那次则可能是按照零售价或批发价所买，
若按零售价，则数量为：120÷0.6=200（支），
若按批发价，则数量为：120÷0.5=240（支）
∴合买时共需：（200+160）×0.5=180（元）
或（240+160）×0.5=200（元）（9分）
少花的钱为：96+120﹣180=36（元）
或：96+120﹣200=16（元）
答：一次性购买同样数量的铅笔可以少花36元或16元．
【点评】此题考查分式方程的实际运用，理解题意的能力，根据多买20枝，反而可以少花10元钱做为等量关系列出方程求解，在第（2）问里关键知道120元购买可按照零售价或批发价两种情况．
24．如图，在在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9，点P是BC边上一个动点，
（1）当PB=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（2）在（1）的条件下，点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE，有两种情况：①当P在E的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y=﹣x+9，
∴OC=9，D点的纵坐标为4，D点的横坐标为5，
作DN⊥BC交于N，如图1所示：
则四边形OADN为矩形，
∴CN=OC﹣ON=OC﹣AD=9﹣5=4，DF=4，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴CD==4，
若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE=5，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当BP=1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2）①当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6﹣4=2，
∴DE===2≠AD，故不能构成菱形．
②当BP′=11时，以点P′、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP′=AD=5，
过D作DN⊥BC于N，如图2所示：
由（1）得：DN=CN=4，
∴NP′=BP′﹣BN=BP′﹣（BC﹣CN）=11﹣（12﹣4）=3．
∴DP′===5，
∴EP′=DP′，
故此时平行四边形P′DAE是菱形，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要进行分类讨论．
25．如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC 上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，
（1）求证：△ADN≌△CBM；
（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；
（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，从而根据AD∥BC 可得出∠DAN=∠BCM，从而即可判断出△ADN≌△CBM．
（2）连接NE、MF，根据（1）的结论可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判断出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE为斜边，NF为直角边，可判断四边形MFNE不是菱形．
（3）设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，首先求出AC=5，根据翻折变换知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE﹣EF）=5，可得EF=1，在Rt△CFN中，NF=tan∠NCFCF，
在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2，求出NO的长，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2．
【解答】（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
∵，
∴△ADN≌△CBM，
（2）解：连接NE、MF，
∵△ADN≌△CBM，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四边形MFNE是平行四边形，
∵MN与EF不垂直，
∴四边形MFNE不是菱形；
（3）解：设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF﹣EF=AC，即6﹣x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，==，
解得NF=，
∵OE=OF=EF=，
∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，
∴ON=，
∴MN=2ON=，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG2=PQ2﹣QG2，即PG==1，
∴PC=2PG=2．
【点评】本题主要考查翻折变换的知识点，还涉及平行四边形、菱形的证明，解答（3）问的关键是求出EF的长，此题难度较大，要熟练掌握此类试题的解答，此类题经常出现中考试卷中，请同学们关注．。