高考数学(理)一轮复习课时训练：第12章 概率、随机变量及其分布 60 Word版含解析

【课时训练】第60节 几何概型
一、选择题
1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A ．16.32
B ．15.32
C ．8.68
D ．7.68
【答案】A
【解析】设椭圆的面积为S ，则S
4×6＝300－96300，故S ＝16.32.
2．(2018辽宁五校联考)若实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)可以作两条直线与圆x 2
＋y 2
＋kx －2y －5
4k ＝0相切的概率等于
( )
A.12
B ．13
C ．14
D ．16
【答案】D
【解析】由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，所以－1＜k ＜0，故所求概率为1
6.故选D.
3．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S －ABC 内任取一点P ，使得V P －ABC ＜1
2V S －ABC 的概率是( )
A.78 B ．34 C ．12
D ．14
【答案】A
【解析】如图，分别取D ，E ，F 为SA ，SB ，SC 的中点，则满足条件的点P 应在棱台DEF －ABC 内，而S △DEF ＝1
4S △ABC ，∴V S －DEF ＝1
8V S －ABC .
∴P ＝
V DEF －ABC V S －ABC ＝7
8
.故选A.
4．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为( )
A.π2 B ．π4 C ．π3 D ．π5
【答案】B
【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x 2＋y 2≤1成立的平面区域为以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆的1
4与x 轴正半轴，
y 轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P ＝π41＝π
4.故选B.
5．(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1，0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2经过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是(
)
A.12 B ．1
4 C ．13 D ．25
【答案】C
【解析】由题意可知，阴影部分的面积S 阴影＝⎠
⎛
10x 2
dx ＝13x
3
10
＝13，
又正方形的面积S ＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P ＝131＝1
3.故选C.
6.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ),
A.34
B ．23
C ．13
D ．14,
【答案】D ,【解析】因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－34
1－0＝14
.故选D.,
7．(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，则以x ，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( )
,
A.1－π
4 B ．1－π
6 C.1－π3
D ．π12
【答案】A ,【解析】连接AC ，首先由x ＋y ＞1得构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－12
2xy ＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内．∴所求概率为12
－π4×1
212＝1－π
4.故选A.
二、填空题
8.(2018
重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥0，
所表示的平面区
域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________．
【答案】2
9
【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥0，
表示的平面区域(如图中
阴影部分所示)，因为S △ABC ＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝1
2，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AOD S △ABC ＝1
294
＝2
9
.
9．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．
【答案】5
9
【解析】由题意知，所求的概率为1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3×13÷(π×12×3)＝59. 10．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________．
【答案】21
25
【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x ，y ，则由题意可知0≤x ≤5,0≤y ≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x －y |≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P ＝1－2×1
2×2×2
5×5
＝21
25.
11．(2018河南检测)若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴，y 轴围成的三角形的面积小于9
8的概率为________．
【答案】2
3
【解析】对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2.由题意可得12·
⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜9
8，因为m ∈(0,3)，所以解得0＜m ＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.
12．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．
【答案】1
2
【解析】设AD ＝x ，AB ＝y ，则由三角形相似可得x a ＝a －y
a ，解得
y ＝a －x ，所以矩形的面积S ＝xy ＝x (a －x )≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋a －x 22＝a 2
4，当且仅当x ＝a －x ，即x ＝a 2时，S 取得最大值a 2
4，所以该点取自矩形内的最大概率为a 24
12×a ×a
＝1
2.
三、解答题
13．(2018山东德州一模)设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2
＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．
【解】设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P (A )＝3×2－1
2×22
3×2
＝2
3.。