高中数学 专题2.2.2 反证法教案 新人教A版选修1-2(2021年整理)

2016-2017学年高中数学专题2.2.2 反证法教案新人教A版选修1-2 编辑整理：
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反证法
一、教学目标：
1.知识与技能：
(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；
(2）了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.
2.过程与方法:
通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想，并学会简单应用。

3。

情感态度与价值观
通过反证法的学习，让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力,并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法.
二。

教学重点：
了解反证法的思考过程与特点.。

三。

教学难点:
正确理解、运用反证法。

四。

教学方法：
多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.
教学过程：
一、课前复习与思考：
（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：
直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理,直接推理证明结论的真实性.
常用的直接证明方法：综合法与分析法.
综合法的思路是由因导果;分析法的思路是执果索因。

（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？(初中所学）
间接证明:不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命
题为真，间接地达到证明的目的.
反证法就是一种常用的间接证明方法.
二、探究新知
【新课导引】
多媒体课件显示9个白色球。

上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.
提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：
同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗?
【学生自主合作探究】
学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题:
1、什么是反证法？
2、反证法的证题步骤有哪几步?
3、什么样的命题适合用反证法来证明？
4、反证法的应用关键在于什么？
【学生展示、交流】
（1）反证法概念
反证法:假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理，引出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法.
（2）反证法的一般步骤：
a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；
b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
c、下结论:由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

(3)应用反证法的情形：
①直接证明困难;
②需分成很多类进行讨论．
③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” -—-类命题；
④结论为 “唯一”类命题；
（4）关键在于归缪矛盾：
a 、与已知条件矛盾；
b 、与公理、定理、定义矛盾；
c 、自相矛盾。

【教师归纳评价并强调】:
同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式,需要认真观察、分析，洞察矛盾。

三、教师点拨
【教师引导学生完成】：
例1、已知a 是整数，2能整除2
a ，求证:2能整除a.
证明： 假设命题的结论不成立，即“2不能整除a ”。

因为a 是整数，故a 是奇数,a 可表示为2m+1(m 为整数）,则
1)22(2144)12(2222++=++=+=m m m m m a ，即2a 是奇数。

所以，2不能整除2a .这与已知“2能整除2
a "相矛盾。

于是,“2不能整除a"这个假设错误，故2能整除a.
例2、在同一平面内，两条直线a ，b 都和直线c 垂直.求证：a 与b 平行。

证明：假设命题的结论不成立，即“直线a 与b 相交”。

设直线a ，b 的
交点为M ，a ，c 的交点为P ，b ，c 的交点为Q,如图所示，则00>∠PMQ 。

这样MPQ △的内角和PQM MPQ PMQ ∠+∠+∠=
0001809090>++∠=PMQ 。

这与定理“三角形的内角和等于0
180"相矛盾，这说明假设是错误的.所以直线a 与b 不相交，即a 与b 平行。

例3
、求证：2是无理数.
【教师从例题分析中小结反证法相关知识，提高学生的解题能力】：
反证法的方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实。

四、学生练习及检测,教师评价
1、一定是锐角。

是直角，则中，若证明：在B C ABC ∠∠∆
2、 【课堂回顾】
同学们,本节课前有关小球染色的问题应该可以找到答案了，那就是用反证法来证明.你能证明了吗?请同学们课后积极思考与实践。

五、课后思考：
A 、
B 、
C 三个人,A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。

则C 必定是在撒谎，为什么? 分析：假设C 没有撒谎, 则C 话为真
那么A 话为假且B 话为假;
由A 话为假, 知B 话为真. 这与B 话为假矛盾.
那么假设C 没有撒谎不成立;
是无理数。

求证：3
则C必定是在撒谎。

六、布置作业：
课本67页习题3—4: （3)、（4)
附：
【板书】
反证法
一、概念：四、反证法适用于：
二、步骤：五、应用举例：
三、归谬矛盾：六、小结：。