高中数学 第五章 数列 5.2.2 等差数列的前n项和课时分层作业(含解析)新人教B版选择性必修第三

课时分层作业(五) 等差数列的前n 项和
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25
B [设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，a 1＋3d ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，
d ＝2，
所以S 5＝5a 1＋5×4
2d ＝15.]
2．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋5n ，则公差d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．10
B [∵a 1＝S 1＝6，a 1＋a 2＝S 2＝14，∴a 2＝8，∴d ＝a 2－a 1＝2.] 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7
C ．9
D ．11 A [法一：∵a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1，
∴S 5＝5(a 1＋a 5)2
＝5a 3＝5，故选A.
法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×4
2d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.]
4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3
＝59，则S 9
S 5
＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2 D.1
2
A [S 9S 5＝9×a 1＋a 925×a 1＋a 5
2
＝9a 55a 3＝95×59＝1.]
5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8
＝13，那么S 8
S 16
的值为( )
A.18
B.13
C.19
D.310
D [设S 4＝m ，则S 8＝3m ，由性质得S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，S 4＝m ，S 8－S 4＝2m ，所以S 12－S 8＝3m ，S 16－S 12＝4m ，所以S 16＝10m ，∴S 8
S
16＝3m 10m ＝310.]
二、填空题
6．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 23或24 [∵a 24＝0，∴a 1<0，a 2<0，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小．] 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝22，S 5＝100，则S 10＝________. 350 [法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨
⎪⎧
S 2＝2a 1＋d ＝22，S 5＝5a 1＋10d ＝100，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，d ＝6，
所以S 10＝10×8＋1
2×10×9×6＝350. 法二：设S n ＝An 2＋Bn, 则⎩⎪⎨⎪⎧ S 2＝4A ＋2B ＝22，S 5＝25A ＋5B ＝100，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
A ＝3，
B ＝5，所以S 10＝
3×102＋5×10＝350.]
8．等差数列{a n }中，d ＝12，S 100＝145，a n ＝－133
10，则n ＝________. 21 [∵S 100＝100a 1＋50×99d ＝145，d ＝12，∴a 1＝－233
10，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－133
10，解得n ＝21.]
三、解答题
9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小．
[解]
(1)由题意得⎩⎨⎧
a 1＋9d ＝18，
5a 1＋5×4
2×d ＝－15，
解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12.
(2)法一：S n ＝n (a 1＋a n )2＝1
2(3n 2
－21n )
＝3
2
2
－1478，
∴n ＝3或4，此时S 3＝S 4＝－18.
∴当n ＝3或4时，前n 项和取得最小值－18. 法二：设前n 项的和取得最小， 则⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝3n －12≤0，a n ＋1＝3(n ＋1)－12≥0， 得3≤n ≤4，
∴n ＝3或4.此时S 3＝S 4＝－18.
∴当n ＝3或4时，前n 项和取得最小值－18.
10．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h ，这支车队当天总共行驶了多少路程？
[解] 由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240 min ，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝240，公差d ＝－10，则a n ＝240－10(n －1)＝－10n ＋250.
(1)∵a 15＝－10×15＋250＝100，
∴到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240＋1002×15＝2 550(min)＝85
2(h)，∴这
支车队当天总共行驶的路程为85
2×60＝2 550(km)．
11．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 017，S k ＝S 2 007，则正整数k 为( )
A ．2 016
B ．2 019
C ．2 018
D ．2 021
D [因为等差数列的前n 项和S n 可看成是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 017，S k ＝S 2 007，可得2 011＋2 0172＝2 007＋k
2，解得k ＝2 021.
故选D.]
12．(多选题)已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则下列说法正确的有( )
A ．a 6<0
B ．a 7<0
C ．a 6＋a 7<0
D ．a 6＋a 7>0
BD [由题知，S 13＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)
2＝6(a 6＋a 7)>0，所以a 7<0，a 6＋
a 7>0.所以a 6>－a 7>0.故选BD.]
13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C
三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于________．
100 [A ，B ，C 三点共线⇔a 1＋a 200＝1， ∴S 200＝200
2(a 1＋a 200)＝100.]
14．(一题两空)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋45
n ＋3，
则a 5b 5
＝________，使得a n
b n
为整数的n 的个数是________．
9 5 [由等差数列的性质，知a 5b 5＝S 9T 9＝7×9＋459＋3＝9.又a n b n ＝S 2n －1
T 2n －1＝
7(2n －1)＋45
(2n －1)＋3＝7n ＋19
n ＋1
＝⎝
⎛
⎭⎪⎫7＋12n ＋1∈Z ，则n ＋1只能取2,3,4,6,12这5个数，故满足题意的n 有5个．]
15．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2. (1)求{a n }的通项公式； (2){a n }的前多少项和最大；
(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S n ′.
[解] (1)法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，
又当n ＝1时，a 1＝S 1＝33－1＝32满足a n ＝34－2n .故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .
法二：由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎪⎨⎪⎧
d
2＝－1，
a 1－d
2＝33，
解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n . (2)法一：令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17， 故数列{a n }的前17项大于或等于零．
又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大． 法二：由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝33
2. 距离33
2最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图像可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0， 故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．
(3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；当n ≥18时，a n <0. 所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2. 当n ≥18时，
S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n ) ＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.
故S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧
33n －n 2，(n ≤17)，
n 2－33n ＋544，(n ≥18).。