2020年安徽省铜陵高二(下)期中数学试卷解析版

期中数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.下列命题中为真命题的是（ ）
A. 命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B. 命题“x＞1，则x2＞1”的否命题
C. 命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题
D. 命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题
2.如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在区间（-2，1）上f（x）是增函数
B. 在（1，3）上f（x）是减函数
C. 在（4，5）上f（x）是增函数
D. 当x=4时，f（x）取极大值
3.函数f（x）=（x-1）（x-2）2在[0，3]上的最小值为（ ）
A. -8
B.
C. 0
D. -4
4.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有=x+y+z（x，y，z∈R
），则x=2，y=-3，z=2是P，A，B，C四点共面的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
5.曲线y=与直线y=x-1及直线x=1所围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. 4-2ln2 D. 2ln2
6.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A. y=±x
B. y=±x
C. y=±x
D. y=x
7.已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点轨迹方程
是（ ）
A. x2=y-
B. x2=2y-
C. x2=2y-2
D. x2=2y-1
8.[x]表示不超过x的最大整数，例如：[π]=3．
S1=[]+[]+[]=3
S2=[]+[]+[]+[]+[]=10
S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+]=21，
…，
依此规律，那么S10=（ ）
A. 210
B. 230
C. 220
D. 240
9.若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的
值是（ ）
A. 1
B.
C. 1或
D. 1或-
10.已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：（x-4）2+（y-1）
2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=x2，且
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数a的取值范围为（ ）
A. [1，+∞）
B. （-∞，1]
C. （-∞，2]
D. [2，+∞）
12.如图，已知双曲线上有一点A，
它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且
满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该双曲线离心
率e的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1．则￢p为______．
14.（文科）若方程+=1是椭圆”，则m的取值范围是______．
15.双曲线C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取
值范围是[1，2]，那么直线PA1斜率的取值范围是______．
16.设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒
成立，则正数k的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存
在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
18.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
（1）求证：AB1⊥平面A1BD；
（2）求锐二面角A-A1D-B的余弦值；
19.已知函数f（x）=e x+ax-a（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．
20.已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物
线相交于不同的A，B两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）如果直线l过抛物线的焦点，求的值；
（3）如果，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
21.已知椭圆，离心率．左焦点为F，过点F且与x轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为3．
（1）求该椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点的任意一条直线l与椭圆交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P使得x轴平分∠APB，若存在，求出定点坐标，若不存在，说明理由．
22.已知函数（其中a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（1）用a表示b；
（2）设g（x）=f（x）-ln x，若g（x）≥1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的前提下，如果g（x1）=g（x2），证明：x1+x2≥2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A中命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题是“若x＞|y|，则x＞y”，无论y 是正数、负数、0都成立；
B中命题的否命题是“x≤1，则x2≤1”，当x=-1时不成立；
C中命题的否命题是“若x≠1，则x2+x-2≠0”，当x=-2时，x2+x-2=0，故错误；
D中逆否命题与原命题同真假，原命题假，故错误．
故选：A．
根据题意，依次分析题意，A中命题的逆命题是“若x＞|y|，则x＞y”，正确；B中命题的否命题是“x≤1，则x2≤1”，举反例即可；C中命题的否命题是“若x≠1，则
x2+x-2≠0”，当x=-2时，x2+x-2=0，故错误；D中逆否命题与原命题同真假，只要判断原命题的真假即可．
本题考查四种命题及真假判断，属基础知识的考查．
2.【答案】C
【解析】解：由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减
观察f′（x）的图象可知，
当x∈（-2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误
当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误
当x∈（4，5）时函数递增，故C正确
由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误
故选：C．
由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减，观察f′（x）的图象可知，通过观察f′（x）的符号判定函数的单调性即可
本题主要考查了导数的应用：通过导数的符号判定函数单调性，要注意不能直接看导函数的单调性，而是通过导函数的正负判定原函数的单调性
3.【答案】D
【解析】解：函数f（x）=（x-1）（x-2）2，可得：f′（x）=3x2-10x+8，
令3x2-10x+8=0，可得x=2，或x=，
由f（0）=-4．f（）=，f（2）=0，f（3）=2，
可得f（x）在[0，3]的最小值为-4．
故选：D．
求出函数的导数，求出函数的极值点，然后求解函数的最值．
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最小值的求法，考查计算能力．4.【答案】A
【解析】解：若P，A，B，C四点共面，
则满足x+y+z=1，则x=2，y=-3，z=2不一定成立，即必要性不成立．
若x=2，y=-3，z=2，则满足x+y+z=2+3-2=1，则P，A，B，C四点共面，即充分性成立，
故x=2，y=-3，z=2是P，A，B，C四点共面的充分不必要条件，
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用定积分求面积，属于较易题．
求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=与直线y=x-1及x=1围成的
封闭图形的面积，即可求得结论.
【解答】
解：画图得三个交点分别为（1，0），（1，2），（2，1），
故曲线y=与直线y=x-1及直线x=1所围成的封闭图形的面积为：
S=
=
=2ln2-2+2+-1
=2ln2-.
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，注意双曲线的焦点的位置，属于基础题.
由双曲线的离心率为，分析可得e2===1+=，计算可得的值，结合焦点在x
轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．
【解答】
解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，
则有e2===1+=，
即=，即有=，
又由双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x；
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．
由抛物线的方程求出其焦点坐标，设出线段PF中点与P点的坐标，由中点坐标公式把P的坐标用线段PF中点的坐标表示，代入抛物线方程得答案．
【解答】
解：由x2=4y，得其焦点坐标为（0，1），
设线段PF中点为（x，y），P（x1，y1），
由中点坐标公式得：，
∴，
∵P是抛物线上的点，
∴，
即4x2=4（2y-1），
∴x2=2y-1．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴S1=[]+[]+[]=1×3=3，
S2=[]+[]+[]+[]+[]=2×5=10，
S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+]=3×7=21，
…，
S n=[]…=n×（2n+1），
∴S10=10×21=210．
故选：A．
运用[x]的含义，得到S1=1×3，S2=2×5，S3=3×7，即前一个数是连续的自然数，后一个是从3开始的连续奇数，从而得到S n=n×（2n+1），令n=10，即可得到答案．
本题考查不完全归纳推理的思想方法，注意观察各项的特点，是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．
设切点为（x0，y0），则y0=x03-3x02+2x0，一方面利用两点斜率公式表示切线斜率k，另一方面，根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程．
继而得出k的值，即可求l的方程．再根据与y=x2+a相切，联立方程组，△=0可求出所求．
【解答】
解：设直线l：y=kx．∵f′(x)=3x2-6x+2，∴y′|x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线f(x)=x3-3x2+2相切于原点时，k=2．直线l的方程为2x-y=0,
若直线与曲线f（x）=x3-3x2+2x切于点（x0，y0）（x0≠0），则k=，∵y0=x03-3x02+2x0，∴=x02-3x0+2，
又∵k=y′|=3x02-6x0+2，
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2，∴2x02-3x0=0，
∵x0≠0，∴x0=，∴k=x02-3x0+2=-，直线l的方程为x+4y=0．
直线l的方程为2x-y=0与y=x2+a联立，可得x2-2x+a=0，其中△=0，即（-2）2-4a=0，解得a=1；
直线l的方程为x+4y=0与y=x2+a联立，可得x2+x+a=0，其中△=0，即（）2-4a=0，解得a=．
故选：C．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小值，属于中档题．
先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C 三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．
【解答】
解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=-1，
过点M作MN⊥准线，垂足为N，
∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，
∴|MN|=|MF|，
∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,
∵A在圆C：（x-4）2+（y-1）2=1，圆心C（4，1），半径r=1，
∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小，
∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min
=|CN|-r=5-1=4，
∴（|MA|+|MF|）min=4.
故选：C．
11.【答案】B
【解析】解：∵f（-x）+f（x）=x2，∴f（x）-x2+f（-x）-x2=0，
令g（x）=f（x）-x2，∵g（-x）+g（x）=f（-x）-x2+f（x）-x2=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（-∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等价于f（2-a）-≥f（a）-，
即g（2-a）≥g（a），∴2-a≥a，解得a≤1，
故选：B．
令g（x）=f（x）-x2，由g（-x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可
得函数g（x）在R上是增函数，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得2-a≥a ，由此解得a的范围．
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABF中，|OF|=c，
∴|AB|=2c，
在直角三角形ABF中，∠ABF=α，可得|AF|=2c sinα，|BF|=2c cosα，
取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，
∴||BF|-|AF||=|AF'|-|AF|=2c|cosα-sinα|=2a，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
运用锐角三角函数的定义可得，|AF|=2c sinα，|BF|=2c cosα，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得2c|cosα-sinα|=2a，由离心率公式和三角函数的辅助角公式，结合余弦函数的性质，即可得到所求范围．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
13.【答案】∃x0＞0，使得
【解析】解：命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1”是全称命题，
否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号＞变为≤即可．
故答案为：∃x0＞0，使得．
命题p是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．
本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．
14.【答案】（-3，1）∪（1，5）
【解析】解：∵方程+=1是椭圆，
∴，解得-3＜m＜1或m＜5．
∴m的取值范围是：（-3，1）∪（1，5）．
故答案为：（-3，1）∪（1，5）．
利用椭圆的简单性质求解．
本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
15.【答案】[，]
【解析】解：由双曲线C：，可知其左顶点A1（-，0），右顶点A2（，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±），则．
记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1k2=，
∴．
∵直线PA2斜率的取值范围是[1，2]，即1≤k2≤2，
∴直线PA1斜率的取值范围是[，]，
故答案为：[，]．
由双曲线C：，可知其左顶点A1（-，0），右顶点A2（，0）．设P（x0，y0）（x0≠±），记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则k1k2=，再
利用已知直线PA2斜率的取值范围即可解出直线PA1斜率的取值范围．
本题考查双曲线的标准方程及其性质，考查斜率的计算公式及不等式的运算，是中档题．
16.【答案】k≥1
【解析】解：∵当x＞0时，==2e
∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e
∵
∴=
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e
∵恒成立且k＞0，
∴
∴k≥1
故答案为k≥1
当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x ）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求
本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度17.【答案】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立，
则-2≥m2-3m，解得1≤m≤2；
（2）a=1时，存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立．
∴m≤1．
∵p且q为假，p或q为真，
∴p与q必然一真一假，
∴或，
解得1＜m≤2或m＜1．
∴m的取值范围是（-∞，1）∪（1，2]．
【解析】（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立，可得-2≥m2-3m，解得m范围;
（2）a=1时，存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立．可得m≤1．由p且q为假，p或q为真，可得p与q必然一真一假，即可得出答案．
本题考查了不等式的性质与解法、恒成立问题的等价转化方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）证明：取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AO⊂平面ABC，
∴AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），
A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），
∴，
∴，
∴，即,
且知平面A1BD，
∴AB1⊥平面A1BD；
（2）解：设平面A1AD的法向量为．=（-1，1，-），=（0，2，0）．∵，
∴，
令z=1得=（-，0，1）为平面A1AD的一个法向量．
由（1）知AB1⊥平面A1BD，为平面A1BD的法向量，
∴=．
∴锐二面角A-A1D-B的余弦值为．
【解析】本题考查了空间直线与平面垂直的判断，考查了利用向量求解空间角，是中档题．
（1）由已知可取正三角形ABC的边BC的中点O，得到AO⊥平面BCC1B1．取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
求出平面A1BD内的两个向量的坐标，由数量积为0得到向量垂直，进一步得到线线垂直，则线面垂直；
（2）设出平面A1AD的法向量，由数量积为0求解该法向量，结合（1）可知为平面
A1BD的法向量，然后直接由两向量所成角的余弦值得二面角A-A1D-B的余弦值．19.【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=e x+a，
由函数f（x）在x=0处取得极值，
则f′（0）=1+a=0，解得a=-1，
即有f（x）=e x-x+1，f′（x）=e x-1，
当x＜0时，有f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞0时，有f′（x）＞0，f（x）递增．
则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，
又f（-2）=e-2+3，f（1）=e，f（2）＞f（1），
即有f（-2）为最大值e-2+3；
（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为
e x+ax-a=0无实数解，
由于x=1时，e+0=0显然不成立，即有a∈R且a≠0．
若x≠1，即有-a=，
令g（x）=，则g′（x）=，
当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增，
当x＜1和1＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=2处g（x）取得极小值，为e2，
在x＜1时，g（x）＜0，
则有0＜-a＜e2，
解得-e2＜a＜0，
则实数a的取值范围为（-e2，0）．
【解析】（Ⅰ）求出导数，函数f（x）在x=0处取得极值，则f′（0）=1+a=0，解得a=-1，求得极小值2，也为最小值，再求f（-2）和f（1），比较即可得到最大值；
（Ⅱ）函数f（x）不存在零点，即为e x+ax-a=0无实数解，讨论x=1和若x≠1，即有-a=，令g（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，可得0＜-a＜e2，即可得到a的
范围．
本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的零点问题，注意函数与方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=-1，
所以，p=2．
∴抛物线的标准方程为y2=4x．
（2）设l：my=x-1，与y2=4x联立，得y2-4my-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=-4，
∴．
（3）解：假设直线l过定点，设l：my=x+n，
，得y2-4my+4n=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=4n．
由，解得n=-2，
∴l：my=x-2过定点（2，0）．
【解析】（1）由抛物线的准线方程可知：，p=2．即可求得抛物线方程；
（2）设l：my=x-1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得的值；
（3）设直线l方程，my=x+n，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得n的值，可知直线l过定点．
本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由题意可得：=，=3，a2=b2+c2．
联立解得：a=2，b2=3，c=1．
∴椭圆的标准方程为：+=1．
（2）假设在x轴上存在点P（t，0），使得x轴平分∠APB，
当l斜率不存在时，点P显然存在，当l斜率存在时，设l：y=k（x+1）与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=，x1x2=．
又因为x轴平分∠APB，
∴k AP+k BP=0，即+=0，
整理得（1-t）（x1+x2）+2x1x2-2t=0．
∴（1-t）•+2•-2t=0．
去分母得t=-4．
∴存在P（-4，0）．
【解析】（1）由题意可得：=，=3，a2=b2+c2．联立解得：a，b2，c．即可得出椭
圆的标准方程．
（2）假设在x轴上存在点P（t，0），使得x轴平分∠APB，当l斜率不存在时，点P 显然存在，当l斜率存在时，设l：y=k（x+1）与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，因为x轴平分∠APB，
可得k AP+k BP=0，即+=0，把根与系数的关系代入即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1），由题意f′（1）=a-b=1⇒b=a-1
（2）在定义域（0，+∞）上恒成立，即g（x）min≥1
．
解法一：g（x）≥1恒成立，则g（1）=a+a-1≥1⇒a≥1．
当a≥1时，，
令g′（x）=0得（注意a≥1）
所以x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
所以g（x）min=g（1）=2a-1≥1，符合题意．
综上所述，g（x）≥1对定义域内的x恒成立时，实数a的取值范围是[1，+∞）．
解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得
对x∈（0，+∞）恒成立，
令，则a≥h（x）max．
这里先证明ln x≤x-1，记s（x）=ln x-x+1，则，
易得s（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，s（x）max=s（1）=0，所以ln x≤x-1．
因此，，且x=1时h（1）=1，
所以h（x）max=1，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（3）由（2）知a≥1，且g（x）在（0，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增，
当g（x1）=g（x2）时，不妨设0＜x1≤1≤x2，要证明x1+x2≥2，等价于x2≥2-x1≥1，
只需要证明g（2-x1）≤g（x2）=g（x1），这里0＜x1≤1，
令G（x）=g（2-x）-g（x），x∈（0，1]，
，
求导得，，注意当x∈（0，1]时，，，（可由基本不等式推出）又a-1≥0，
因此可得G′（x）≥-2a+2（a-1）+2=0，当且仅当x=1，a=1时等号成立．
所以G（x）在（0，1]上单调递增，G（x）≤G（1）=0，也即g（2-x）≤g（x），x∈（0，1]，
因此g（2-x1）≤g（x1）=g（x2），此时2-x1，x2都在单调递增区间[1，+∞）上，
所以2-x1≤x2，得x1+x2≥2．
【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的切线的斜率，函数的最值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．
（1）求出导函数，利用切线的斜率，列出方程求解b与a的关系式；
（2）解法一：g（x）≥1恒成立，则g（1）=a+a-1≥1⇒a≥1．
当a≥1时利用函数的导数求解函数的最值，然后推出实数a的取值范围是[1，+∞）．
解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得
对x∈（0，+∞）恒成立，构造函数，转化求解函数的最值即可．
（3）由（2）知a≥1，且g（x）在（0，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增，当g（x1）=g（x2）时，不妨设0＜x1≤1≤x2，要证明x1+x2≥2，等价于x2≥2-x1≥1，只需要证明g（2-x1）≤g（x2）=g（x1），这里0＜x1≤1，令G（x）=g（2-x）-g（x），x∈（0，1]利用函数的导数，转化求解函数的最值，推出结果即可．。