高二数学 1.5.1曲边梯形的面积学案 新人教A版选修2-2

1．5 定积分的概念
1．5.1 曲边梯形的面积
基础梳理
1．连续函数：如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
2．曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a、x＝b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形(如图所示)．
3．将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积S近似的表示为S＝S1＋S2＋…＋S n，当n越来越大，即小曲边梯形越来越多时，这些小曲边梯形的面积之和就无限趋近于曲边梯形的面积(如下图所示)．
想一想：求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0，1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有小矩形的面积之和为________．
解析：由题意得面积之和S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.
自测自评
1．函数f (x )＝x 2
在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 上(D )
A ．f (x )的值变化很小
B ．f (x )的值变化很大
C ．f (x )的值不变化
D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：函数f (x )＝x 2
在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 上，随着n 的增大，f (x )的值的变化逐渐缩小，
当n 很大时，f (x )的值变化很小．
2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2
在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替(C )
A ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n B ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n C ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫i n
D ．f (0)
解析：当n 很大时，f (x )＝x 2
在区间⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值
近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
基础巩固
1．在计算由曲线y ＝－x 2
以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形的面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为(B )
A.1n
B.2
n
C.
2n －1 D.2n ＋1
2．在求由函数y ＝1
x
与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，
2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为(B )
A.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n
C ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
i n ，
i ＋1n 解析：把区间[1，2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1
n
，且第i 个小区间的左端点不小于1，故选B.
3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值(C ) A ．只能是左端点的函数值f (x i )
B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)
C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]
D ．以上答案均不正确
解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C 正确，故选C.
4．在区间[1，10]上等间隔地插入8个点，则将它等分成9个小区间，每个小区间的长度为1．
能力提升
5．对于由函数y ＝x 3
和直线x ＝1，y ＝0围成的曲边梯形，把区间[0，1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi 取值均为小区间的左端点)是(A )
A.19
B.1
25 C.
127 D.130
解析：S ＝0×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19
.
6．在等分区间的情况下，f (x )＝1
1＋x 2(x ∈[0，2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式
的极限形式正确的是 (B )
解析：将区间[0，2]进行n 等分每个区间长度为2
n
，故应选B.
答案：3
8．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2
＋1围成曲边梯形，将区间[0，2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________．
解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92； S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
答案：3.92 5.52
9．求出由直线x ＝0，x ＝3，y ＝0和曲线y ＝4－（x －1）2
围成的平面图形的面积． 解析：圆(x －1)2
＋y 2
＝4在第一象限的面积如下图：
∠ACB ＝2π
3，OB ＝3，
面积S ＝S △BOC ＋S 扇形ACB ＝
32＋12×2×2×2π3 ＝
32＋4π3
. 10．求y ＝x 3
与x ＝0，y ＝±2围成的图形的面积．
解析：所求面积如图阴影部分，由对称性知S 1＝S 2，故所求面积为2S 1.先求y ＝x 3
与y ＝0，x ＝0，x ＝2围成的面积S 1′如下：
(1)分割：将[0，2]分成n 等份⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2（i －1）n ，2i n (i ＝1，2，3，…，n )，每个小区间距
离为Δx ＝2
n
.
(2)近似代替：ΔS i ＝f (ξi )Δx ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2i n 3
Δx . (3)求和：12S ＝∑i ＝1
n ΔS i ≈∑i ＝1n
⎝
⎛⎭⎪⎫2i n 3Δx ＝∑i ＝1n
⎝
⎛⎭⎪⎫2i n 32n . (4)求极限：1
2
S
＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4n 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n 3
＝
24
[12
＋23
＋…＋n 3
]n
4
＝
24·14
n 2（n ＋1）
2
n
4
＝
4（n 2
＋2n ＋1）
n
2
＝4. 所以由y ＝x 3，x ＝0，
x ＝2，
y ＝0围成的图形的面积S 1′＝4，
∴S 1＝2×8－4＝12.故所求面积为S ＝2S 1＝24.。