江西省赣州市高三上学期期末考试——数学理数学理

赣州市2016～2017学年度第一学期
y
高三理科数学参考答案
一、选择题：
12.提示：观察，由已知可设函数. 二、填空题：
13.； 14.； 15.； 16.. 16.提示：由条件得5191411,,,a a a a a a ===，
4012345404141()()()S a a a a
a a a a =+
++++
++-.
三、解答题 17.解：（1）由222a b c ac bc ca ++=++
得222()()()0a b b c c a -+-+-=…………………………………………………………3分 所以0a b b c c a -=-=-=，所以………………………………………………4分 即是正三角形…………………………………………………………………………5分 （2）因为是等边三角形，，
所以，…………………………………………………………7分
所以在中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠， 可得22744cos120CD CD CD CD =+-⋅o ，解得………………………………9分 在中，，由正弦定理可得
3sin sin 14BD B
BAD AD
⋅∠=
==…………………………………………………12分
18.解：（1）由于这人中，有名学生成绩等级为，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为的概率为……………………………2分 则该校高二年级学生获得成绩为的人数约有…………………………3分 （2）由于这名学生成绩的平均分为:
1
[9100128031602240620]5980
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………4分 且，因此该校高二年级此阶段教学未达标…………………………………………6分 （3）成绩为、的同学分别有人，人，
所以按分层抽样抽取人中成绩为的有人，成绩为的有人………………………7分
则由题意可得：033437C C 4(0)C 35P X ===，1234
3
7
C C 18(1)C 35P X ===， 213437C C 12(2)C 35P X ===，30
3437C C 1
(3)C 35P X ===
……………………………………10分 所以4181219
0123353535357
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………12分
19.解：如图甲所示，因为是梯形的高，，
所以…………………………………………………………………………………1分 因为，，可得，……………………………………2分 如图乙所示，，，，
所以有，所以………………………………………………3分 而，，所以平面……………………………………4分
又，所以、、两两垂直．
故以为原点，建立空间直角坐标系（如图）， 则，，………………………5分
（1）设其中，所以，，
假设和垂直，则，有3(1)(1)0x x -+-⋅-=，解得，
这与矛盾，假设不成立，所以和不可能垂直…………………………6分 （2）因为，所以…………………………………………………7分 设平面的一个法向量是， 因为，，所以，，
即2021
303
3x y x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩………………………………………………………………………9分 取………………………………………………………………………………10分 而，所以3
cos ,15
PD n PD n PD n
⋅<>=
=
⋅ 所以与平面所成角的正弦值为……………………………………………12分 20．（1）如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，
所以，解得……………………………………………………1分 因为，，三点共线，所以为圆的直径，
所以…………………………………………2分 因为2
22
2
121AF AF AF =-=，
所以．
所以…………………………………………………4分
由，得．
所以椭圆的方程为（2）由（1）得，点的坐标为，因为
所以直线的斜率为，设直线的方程为
联立22
2142
y x m x y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2220x m
+-=………………………………………7分 设，由22
)4(2)0m ∆=-->，得．
因为122
122
x x x x m ⎧+=⎪⎨
⋅=-⎪⎩
所以1
2MN x =-=分
又点到直线的距离为，
12
AMN S MN d ∆=
= 22422m m -+=≤=分 当且仅当，即时，等号成立……………………………………11分 所以直线的方程为或…………………………………12分 21．（1）因为………………………………………………………1分
因为函数存在与直线平行的切线，
所以在上有解……………………………………………………………2分 即在上有解，也即在上有解， 所以，得
故所求实数的取值范围是………………………………………………………4分
（2）因为22
11()()ln 222
g x f x x x x ax =+
=+- 因为2121
()2x ax g x x a x x
-+'=+-=……………………………………………………5分
①当时，单调递增无极值点，不符合题意………………………………6分
②当或时，令，设的两根为和， 因为为函数的极大值点，所以，
又12121,20x x x x a =+=>，所以， 所以2
1111
1
()20g x x ax x '=-+=，则………………………………………8分 要证明，只需要证明
因为332111111
111111
ln 1ln 1ln 1222
x x x x x ax x x x x x ++-=-+=--++，， 令31
()ln 122x h x x x x =-
-++，……………………………………………9分 所以231()ln 22x h x x '=--+，记231
()ln 22x p x x =--+，， 则2
113()3x p x x x x
-'=-+=
当时，，当时，，
所以max ()1ln 0p x p ==-+<，所以……………………………11分 所以在上单调递减，所以，原题得证……………………12分
22．（1）直线的极坐标方程为…………………………………………………2分 曲线的普通方程为，又cos ,sin x y ρθρθ==，
所以曲线的极坐标方程为2
2cos 20,0ρρθθ--=≤≤π…………………………5分
（2）设，则有22cos 203ρρθθ⎧--=⎪
⎨π=⎪
⎩
，解得………………7分
设，则有2sin()03
3ρθθπ⎧
++=⎪⎪⎨π⎪=⎪⎩
，解得…………………9分
所以……………………………………………………………………10分
23.(1) 由得，即， 所以，
解得，所以的取值范围……………………………………………5分 (2) 因为, 所233
32(
)()32733
a b b a b z ab a b b +++==⋅⋅≤=== 当且仅当时，等号成立．故的最大值为…………………………………10分
（注：也要可用导数求解）。