刚体动能定理
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Ek2 =（1/2） Jω2 （ ）
m、L 、
θ
mg θ
即： 0 = Ep2 +Ek2
∴ω = 3g cosθ L
c
mg
Hc
θ
c
mg
人 杆
O M=70kg H=1.8m Hc =1.2m JM=70kgm2
m=27kg L=12m Hc =1.2m Jm =363kgm2 Jm ~5JM
Hc(M+m)g=(1/2)J ω2 +(M+m)gHccos θ
§３ — ３ 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理 一、力矩作功 1. 刚体中的内力不作功
W =0 内
因为刚体中各质元间无相对位移。 因为刚体中各质元间无相对位移。
r r dW = F ⋅ dr = F cos(90 −α)dS
0
2.力矩作功 力矩作功
α
dθ θ F ds
P
r θ
= Fsin αdS = Fsin αrdθ = Mdθ
ri
刚体的 转动动能
1 2 2 Ek = ∑Eki = ∑( ∆mi ri ω ) 2 i i
1 1 2 2 = (∑∆mi ri )ω = Jω2 2 i 2
2.动能定理 动能定理
dω dW = Mdθ = J dθ = Jωdω dt
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
X
处在重力场中的刚体， 处在重力场中的刚体，其重力势能 就是它的各质元重力势能的总和。 就是它的各质元重力势能的总和。
四、机械能守恒定律
在刚体的绕定轴转动中， 在刚体的绕定轴转动中，如果仅有保守内 力作功，则刚体的机械能守恒。 力作功，则刚体的机械能守恒。
长为L的均匀细杆可绕通过端点 的均匀细杆可绕通过端点O的固定水平光 例1 长为 的均匀细杆可绕通过端点 的固定水平光 滑轴转动。设把杆抬至水平位置处无初速地释放。 滑轴转动。设把杆抬至水平位置处无初速地释放。 求：（1）杆在水平位置处的角加速度； ：（ ）杆在水平位置处的角加速度； 时的角加速度和角速度。 （2）杆在与竖直线成θ时的角加速度和角速度。 ） m、L 、 r1
定理：刚体绕定轴转动时， 定理：刚体绕定轴转动时，合外力矩对刚体所 作的功，等于刚体转动动能的增量。 作的功，等于刚体转动动能的增量。
三、重力势能 取Z=0处 Ep=0 处
z
y
∆ mi
Ep = ∑Epi = ∑ ∆mi gzi） （ = ∑ ∆mi zi） = mzC g （ g
i i i
z
O
Zc
=θ时
m、L 、
θ
mg θ r2
M2 = r2mg sin θ L = mg sin θ ,⊗ 2
M2 3 g ∴α2 = = sin θ ,⊗ J 2L
杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。 杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。
θ = π/2 时 ，Ep1 =0，Ek1= 0 ， θ = θ 时， Ep2 = -mg（L/2）cos θ， （ ）
人和杆：J = Jm+ JM， ω = 2.3 人和杆：
(1− cosθ )
人： J = JM
ω′ = 4.85 (1− cosθ )
∴ω′ ≈ 2ω
∆t ≈ 2∆t′
P17习题集： （一）5，7； （二）4，6
θ
mg
解：（1）水平位置 ：（ ）
∴M1 = r1mg sin
θ =π/2 π r r r r r M = r × mg M = Jα 1 1 π
2
m L
θ
mg
r1
L = r1mg = mg ⊗ 2
L M1 2 mg 3g ∴α1 = = = 1 2 2L J mL 3
（2）当 θ ）
r r r M2 = r2 × mg
∴W = ∫ dW ∫ Mdθ
θ0 θ
3. 功率
dW dθ N= =M = Mω dt dt
ω
二、刚体的转动动能 1.定义：刚体绕定轴转动时， 定义：刚体绕定轴转动时， 定义 构成刚体的所有质 元的动 能之和。 能之和。
vi
∆ miห้องสมุดไป่ตู้
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆mi ri ω 2 2
m、L 、
θ
mg θ
即： 0 = Ep2 +Ek2
∴ω = 3g cosθ L
c
mg
Hc
θ
c
mg
人 杆
O M=70kg H=1.8m Hc =1.2m JM=70kgm2
m=27kg L=12m Hc =1.2m Jm =363kgm2 Jm ~5JM
Hc(M+m)g=(1/2)J ω2 +(M+m)gHccos θ
§３ — ３ 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理 一、力矩作功 1. 刚体中的内力不作功
W =0 内
因为刚体中各质元间无相对位移。 因为刚体中各质元间无相对位移。
r r dW = F ⋅ dr = F cos(90 −α)dS
0
2.力矩作功 力矩作功
α
dθ θ F ds
P
r θ
= Fsin αdS = Fsin αrdθ = Mdθ
ri
刚体的 转动动能
1 2 2 Ek = ∑Eki = ∑( ∆mi ri ω ) 2 i i
1 1 2 2 = (∑∆mi ri )ω = Jω2 2 i 2
2.动能定理 动能定理
dω dW = Mdθ = J dθ = Jωdω dt
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
X
处在重力场中的刚体， 处在重力场中的刚体，其重力势能 就是它的各质元重力势能的总和。 就是它的各质元重力势能的总和。
四、机械能守恒定律
在刚体的绕定轴转动中， 在刚体的绕定轴转动中，如果仅有保守内 力作功，则刚体的机械能守恒。 力作功，则刚体的机械能守恒。
长为L的均匀细杆可绕通过端点 的均匀细杆可绕通过端点O的固定水平光 例1 长为 的均匀细杆可绕通过端点 的固定水平光 滑轴转动。设把杆抬至水平位置处无初速地释放。 滑轴转动。设把杆抬至水平位置处无初速地释放。 求：（1）杆在水平位置处的角加速度； ：（ ）杆在水平位置处的角加速度； 时的角加速度和角速度。 （2）杆在与竖直线成θ时的角加速度和角速度。 ） m、L 、 r1
定理：刚体绕定轴转动时， 定理：刚体绕定轴转动时，合外力矩对刚体所 作的功，等于刚体转动动能的增量。 作的功，等于刚体转动动能的增量。
三、重力势能 取Z=0处 Ep=0 处
z
y
∆ mi
Ep = ∑Epi = ∑ ∆mi gzi） （ = ∑ ∆mi zi） = mzC g （ g
i i i
z
O
Zc
=θ时
m、L 、
θ
mg θ r2
M2 = r2mg sin θ L = mg sin θ ,⊗ 2
M2 3 g ∴α2 = = sin θ ,⊗ J 2L
杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。 杆在转动的过程中，仅有重力作功，故机械能守恒。
θ = π/2 时 ，Ep1 =0，Ek1= 0 ， θ = θ 时， Ep2 = -mg（L/2）cos θ， （ ）
人和杆：J = Jm+ JM， ω = 2.3 人和杆：
(1− cosθ )
人： J = JM
ω′ = 4.85 (1− cosθ )
∴ω′ ≈ 2ω
∆t ≈ 2∆t′
P17习题集： （一）5，7； （二）4，6
θ
mg
解：（1）水平位置 ：（ ）
∴M1 = r1mg sin
θ =π/2 π r r r r r M = r × mg M = Jα 1 1 π
2
m L
θ
mg
r1
L = r1mg = mg ⊗ 2
L M1 2 mg 3g ∴α1 = = = 1 2 2L J mL 3
（2）当 θ ）
r r r M2 = r2 × mg
∴W = ∫ dW ∫ Mdθ
θ0 θ
3. 功率
dW dθ N= =M = Mω dt dt
ω
二、刚体的转动动能 1.定义：刚体绕定轴转动时， 定义：刚体绕定轴转动时， 定义 构成刚体的所有质 元的动 能之和。 能之和。
vi
∆ miห้องสมุดไป่ตู้
1 1 2 2 2 Eki = ∆mivi = ∆mi ri ω 2 2