2021高考江苏版(文)数学一轮复习讲义： 第5章 第21课 任意角、弧度制及任意角的三角函数

第五章 三角函数、解三角形 第21课 任意角、弧度制及任意角的
三角函数
[最新考纲]
内容
要求 A
B C 三角函数的概念
√
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类⎩⎨⎧
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边一样的角：所有与角α终边一样的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①角度与弧度的换算： a.1°＝π180 rad ；b.1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
180π°.
②弧长公式：l ＝r |α|.
③扇形面积公式：S ＝12lr ＝1
2r 2α.
3.任意角的三角函数 三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么
y 叫作α的正弦，记作sin α
x 叫作α的余弦，记作cos α
y
x 叫作α的正切，记
作tan α
各象限符号
Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ －
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP 为正弦线
有向线段OM 为余弦线
有向线段AT 为正
切线
1.(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)小于90°的角是锐角．( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )
(3)角α的三角函数值与终边上点P 的位置无关．( ) (4)假设α为第一象限角，那么sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(教材改编)角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，y ，那么sin α＝________.
±32 [由题意知|r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
122＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y
＝±32.]
3.假设cos θ＞0，且sin 2θ＜0，那么角θ的终边在第________象限． 四 [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，那么角θ的终边在第四象限．]
4.在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________．
109π [单位圆的半径r ＝1,200°的弧度数是200×π180＝10
9π，由弧度数的定义
得109π＝l r ，所以l ＝109π.]
120 mm 的圆上，有一条弧长是144 mm ，那么该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.
1.2 [由题意知α＝l r ＝144
120＝1.2 rad.]
角的有关概念及其集合表示
(1)假设角α是第二象限角，那么α
2是第________象限角.
【导学号：62172118】
(2)角α的终边在如图21-1所示阴影局部表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为________．
图21-1
(1)一或三 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) [(1)∵α是第二象限角， ∴π
2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π
2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α
2是第一象限角； 当k 为奇数时，α
2是第三象限角．
综上，α
2是第一或第三象限角．
(2)在[0,2π)内，终边落在阴影局部角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，56π，
∴所求角的集合为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．]
[规律方法]α终边一样的角可以表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )的形式，α是任意角；相等的角终边一定一样，终边一样的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．
2．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α
2的范围，并对整数k 的奇、偶情况进展讨论．
[变式训练1] 角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有一样终边的角β＝________.
－675°或－315° [由终边一样的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]
扇形的弧长、面积公式
(1)扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ 【导学号：62172119】
[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，那么 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2r ＋rθ＝10，12
θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧
r ＝1，
θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝4，θ＝1
2
，
∴扇形的圆心角为1
2.
(2)设圆心角是θ，半径是r ，那么2r ＋rθ＝40.
又S ＝12θr 2＝1
2r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.
当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．
[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．
2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝1
2lR；(3)S＝
1
2αR
2.其中R是扇形的半径，l是
弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量．[变式训练2]假设扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，那么弧长l＝________cm.
83
3π[设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝6
r，得r＝4 3 cm，
∴l＝|α|·r＝2π
3×43＝
83
3π cm.]
三角函数的定义
(1)假设tan α＞0，那么以下说法正确的选项是________．(填序号)
①sin α＞0；②cos α＞0；③sin 2α＞0；④cos 2α＞0.
(2)角α的终边经过点A(－3，a)，假设点A在抛物线y＝－1
4x
2的准线上，
那么sin α＝________.
(1)③(2)1 2
[(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcos α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cos α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcos α＞0，故③正确．
(2)抛物线方程y＝－1
4x
2可化为x2＝－4y，
∴抛物线的准线方程为y＝1.
∵点A在抛物线y＝－1
4x
2的准线上，
∴A(－3，1)，由三角函数的定义得sin α＝y
r＝
1
(－3)2＋12
＝
1
2.]
[规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况．
(1)角α终边上一点P 的坐标，那么可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；
(2)角α的终边所在的直线方程，那么可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进展判断． [变式训练3] (1)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，那么tan 2α＝________.
(2)函数y ＝2cos x －1的定义域为________．
(1)247 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) [(1)由三角函数的定义可得cos α＝x
x 2＋4
2
. ∵cos α＝1
5x ，∴
x x 2＋4
2＝1
5x ， 又α是第二象限角，∴x ＜0，故可解得x ＝－3， ∴cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝4
5， ∴tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝24
7.
(2)∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥1
2.
由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．]
[思想与方法]
1．在利用三角函数定义时，点P (x ，y )可取终边上任意一点，假设点P 在单位圆上，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ；假设|OP |＝r ，那么sin α＝y
r ，cos α＝x r ，tan α＝y x .
2．三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法． [易错与防范]
1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进展互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
3．三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
课时分层训练(二十一)
A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．给出以下四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π
3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确的命题是________．(填序号)
②③④ [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π
3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]
2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________． 2sin 1 [由题设知，圆弧的半径r ＝1
sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2
sin 1.]
3．点P (cos α，tan α)在第三象限，那么角α的终边在第________象限． 二 [由题意可得⎩⎨⎧ cos α＜0，tan α＜0，那么⎩⎨⎧
sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．]
4．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32
，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，那么θ的值为________.
【导学号：62172120】
11π6 [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝
－12
3
2＝－33，那么θ＝116π.]
5．角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，那么cos 2θ＝________.
－3
5 [取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.]
6．扇形的圆心角为π6，面积为π
3，那么扇形的弧长等于________． π
3 [设扇形半径为r ，弧长为l ，那么⎩⎪⎨⎪⎧
l r ＝π
6，
12lr ＝π
3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
l ＝π3
，
r ＝2.
]
7．(2021·无锡期中)角α的终边经过点P (10，m )，且tan α ＝－4
5，那么m
的值为________．
－8 [由题意可知tan α＝m 10＝－4
5，∴m ＝－8.]
8．(2021·盐城期中)假设sin α2＝－1
2，α∈[2π，3π]，那么α＝________. 7π3 [∵α∈[2π，3π]，∴α2∈
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤π，3π2. 由sin α2＝－12，可知α2＝7π6，即α＝7π3.]
9．假设角α的终边在直线y ＝－3
4x 上，那么2sin α＋cos a ＝________.
【导学号：62172121】
±2
5
[设P (4a ，－3a )(a ≠0)是角α终边上任意一点， 那么OP ＝r ＝(4a )2＋(－3a )2＝5|a |. 当a >0时，r ＝5a ， 此时sin α＝－35，cos α＝4
5， 那么2sin α＋cos α＝－65＋45＝－2
5. 当a <0时，r ＝－5a ， 此时，sin α＝35，cos α＝－4
5， 所以2sin α＋cos α＝65－45＝2
5.]
10．角α＝2k π－π5(k ∈Z )，假设角θ与角α的终边一样，那么y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ
|cos θ|＋tan θ
|tan θ|的值为________．
－1 [由α＝2k π－π
5(k ∈Z )及终边一样的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边一样，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.
所以y ＝－1＋1－1＝－1.] 二、解答题
11．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .
[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧
12
lr ＝1，
l ＋2r ＝4，
解得⎩⎨⎧
r ＝1，
l ＝2.
∴圆心角α＝l
r ＝2.
如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，那么∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．
∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.
12．角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ. [解] ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x ， 又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.
当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， ∴sin θ＋cos θ＝0；
当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－2
2， ∴sin θ＋cos θ＝－ 2.
故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2. B 组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [如下图，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函
数线的变化规律找出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，5π4.] 2．圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧
长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，那么tan α＝________.
1 [设∠MON 为β，由弧长公式可知π2＝2β，∴β＝π4，∴α＝π2－π4＝π4，
∴tan α＝tan π4＝1.]
3．角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值.
【导学号：62172122】
[解] 设α终边上任一点为P (k ，－3k )，
那么r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.
当k >0时，r ＝10k ，
∴sin α＝－3k 10k ＝－310
，1cos α＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；
当k <0时，r ＝－10k ，
∴sin α＝－3k －10k ＝310
， 1
cos α＝－10k k ＝－10，
∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.
综上，10sin α＋3cos α＝0.
4．sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求α2终边所在的象限；
(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．
[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上． 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，
得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，
故α2终边在第二、四象限．
(3)当α2在第二象限时，tan α2
＜0， sin α2＞0，cos α2＜0，
所以tan α2sin α2cos α2取正号；
当α2在第四象限时，tan α2＜0，
sin α2＜0，cos α2＞0，
所以tan α2sin α2cos α2也取正号．
因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。