高一数列复习含答案

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例题分析
例：在等差数列{n a }中，
已知81248,168S S ==，求1,a
和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S
变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==.
（1）求通项公式
{}n a ；
（2）若242n S =，求n .
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例：在数列{}n a 中，11a =，
1114n n a a +=-
，2
21n n b a =-，其中*.n N ∈
（1）求证：数列{}n b 是等差数列；
（2）求证：在数列{}n a 中对于任意的*
n N ∈，都有1n n a a +>.
（3）
设n
b n
c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；
如果不存在，请说明理由.
跟踪训练：已知数列{n a }中，135a =，数列112,(2,)n
n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足1()1n n b n N a *=∈-
（1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项.
例：在等差数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？
跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知.0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；
（II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。

例：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，481,17,?n S S a ===求通项公式
解：设{}n a 的公比为q ，由481,171S S q ==≠知，所以得
41(1)
11
a q q -=-…① 81(1)171a q q -=-……②由①、②式得整理得841
171
q q -=-解得416q =；所以 q ＝2或q ＝－2；将q ＝2代入①式得1115a =，所以1215n a -=；将q ＝－2代入①式得115a =-，所以1(1)25
n n n a --⨯=
练习1在等比数列}{n a 中，128,66121==+-n n a a a a ，126=n S ，求n 和q 。

例2：设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3. (1)求证：{a n }是等比数列；
(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *
，n ≥2)，求证：{1b n }为等差
数列，并求b n .
解：(1)证明：由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，∴a n ＋1a n ＝2m
m ＋3(n ≥1)．
∴{a n }是等比数列．
(2)由(3－m )S 1＋2ma 1＝m ＋3，解出a 1＝1，∴b 1＝1. 又∵{a n }的公比为2m m ＋3，∴q ＝f (m )＝2m
m ＋3
，
n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1，推出1b n －1b n －1＝1
3.
∴{1b n
}是以1为首项，13为公差的等差数列，∴1
b n
＝1＋n －13＝n ＋23，
又1b 1
＝1符合上式，∴b n ＝3n ＋2
练习2. 已知数列｛n a ｝中，111
22
n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-(Ⅱ)求数列{}的通项；
n a
例3：数列}{n a 满足1a ， ,,,,12312----n n a a a a a a 是首项为1，公比为3
1
的等比数列。

（1）求n a 的表达式；（2）如果)12(-=n b n n a ，求}{n b 的前n 项和n S
解：（1）11=a ，当2≥n 时，11)3
1(--=-n n n a a
∴ )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a )3
11(23)31()31(31112n n -=++++=- 因而*),3
1
1(23N n a n n ∈-=
（2）)31
1(2)12(3)12(2n n n a n b --=
-= ∴ )12(531[2
3
21-++++=+++=n b b b S n n
)]31
2353331(2n n -++++-3
令n n n T 31
235333132-++++= ①
则3
1
1432312332353331+-+-++++=n n
n n n T ② ①－②得1323
1
2)313131(23132+--++++=n n n n T
113
12)311(3131+----+=n n n 故n n n T 3
11+-= 又1+3+5+…+2
)12(n n =- ∴ )3
11(232n n n n S ++-=
练习2(2006年上海卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，4096n n a S +=。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ，从第几项起509n T <-？ .
`
例4：数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233
,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ●解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥
又21213a S =+= ∴213a a =； 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列； ∴13n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ；由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =；故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===；由题意可得()()()2
515953d d -+++=+；解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d >；∴2d =；∴()
213222n n n T n n n -=+
⨯=+
练习4（安徽卷）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件
242,1,2,1
n n S n n S n +==+，
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

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