课时跟踪检测(九) 基本不等式

课时跟踪检测（九） 基本不等式
A 级——学考合格性考试达标练
1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4
a ≥4
B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥
a ＋b
2
D ．x 2＋3
x
2≥2 3
解析：选D a <0，则a ＋4
a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，
b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，
a ＝4，
b ＝16，则ab <
a ＋b
2
，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞
a ＋b
2
＞ab B ．a ＞a ＋b
2＞ab ＞b
C ．a ＞a ＋b
2
＞b ＞ab
D ．a ＞ab ＞a ＋b
2
＞b
解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b
2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确．
3．已知x <0，则x ＋1
x －2有( )
A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
解析：选C ∵x ＜0，
∴x ＋1
x －2＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1
－x ，即x ＝－1时取等号．
4．3x 2＋6
x 2＋1的最小值是( )
A ．32－3
B ．3
C ．6 2
D ．62－3
解析：选D 3(x 2＋1)＋6
x 2＋1－3≥2
3（x 2＋1）·6
x 2＋1
－3＝218－3＝62－3，当
且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.
5．若x >0，y >0，且2x ＋8
y
＝1，则xy 有( )
A ．最大值64
B ．最小值
164
C ．最小值1
2
D ．最小值64
解析：选D 由题意xy ＝⎝⎛⎭⎫
2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最
小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.
6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
解析：设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3， 高为1 m ，得另一边长为4x m.
记容器的总造价为y 元，则
y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4
x ≥80＋20×2 x ·4
x
＝160， 当且仅当x ＝4
x ，即x ＝2时，等号成立．
因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 答案：160
7.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为________．
解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当a ＝－3
2时等号成立．
答案：9
2
8．已知x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x >0，y >0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22
＝16·⎝⎛⎭⎫622＝3
2
. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时等号成立，xy 取到最大值32
.
答案：3
2
9．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b
c ≥6.
证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，c b ＋b
c ≥2，
所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6， 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，
即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.
10．(1)已知x <3，求y ＝
4
x －3
＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3
y 的最小值．
解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，
∴y ＝4x －3＋x ＝4x －3
＋(x －3)＋3
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－2
43－x
·（3－x ）＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，
即x ＝1时取等号， ∴y 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，
∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x
y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x
y
，
即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．
又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32
. B 级——面向全国卷高考高分练
1．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B ．1a ＋1b ≥1
C.1a ＋1b
<2 D ．1a ＋1b
≥2
解析：选B 因为ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤⎝⎛⎭⎫422＝4，所以1a ＋1
b ≥2
1ab
≥21
4
＝1，当且a ＝b ＝2时等号成立．
2．若0<x <1
2，则x 1－4x 2的最大值为( )
A ．1
B ．12
C.14
D ．18
解析：选C 因为0<x <1
2，所以1－4x 2>0，所以x
1－4x 2＝1
2×2x
1－4x 2≤1
2
×
4x 2＋1－4x 22＝1
4
，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝
2
4
时等号成立，故选C. 3．已知x ≥5
2，则x 2－4x ＋52x －4有( )
A ．最大值5
4
B ．最小值5
4
C ．最大值1
D ．最小值1
解析：选D x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋1
2（x －2）
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
（x －2）＋1x －2， 因为x ≥5
2，所以x －2>0，
所以12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥12
·2 （x －2）·1
x －2
＝1.
当且仅当x －2＝1
x －2，即x ＝3时取等号．
故原式有最小值为1.
4．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：选B 不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a
y ≥(1＋a )2≥9，∴a ≥2，即a ≥4，故正实数a 的最小值为4.
5．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1
b
≥2.
解析：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，所以ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
＝1，所以①恒成立；
a ＋
b ≤2
（a ）2＋（b ）2
2
＝2，所以②不恒成立；
a 2＋
b 2≥（a ＋b ）
2
2
＝2，所以③恒成立；
当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2＜3，所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝1
2(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋a b ＋b a ≥2，所以⑤恒成立． 答案：①③⑤ 6．若对任意x >0，
x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：因为x >0，所以x ＋1
x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，
所以有
x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x
＋3≤12＋3
＝1
5， 即
x x 2＋3x ＋1
的最大值为15，故a ≥1
5.
答案：⎩
⎨⎧
a ⎪⎪⎭
⎬⎫a ≥15
7．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1
b
＝2 2.
(1)求a 2＋b 2的最小值；
(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．
解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1
b ＝22≥2
1ab ，即ab ≥1
2
(当且仅当a ＝b 时等号成立)．
因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×1
2＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，
所以a 2＋b 2的最小值为1.
(2)因为1a ＋1
b ＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，
即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.
C 级——拓展探索性题目应用练
某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－
k
m ＋1
(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2019年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2
m ＋1，
又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x
x 元，
∴y ＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1.5×
8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－2m ＋1－m
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．
(2)∵m ≥0，
16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16
m ＋1
＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y m ax ＝21.
故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元。