专题19 概率统计多选、填空题(理科)(原卷版)-十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计多选、填空题
目录
题型一：计数原理与排列组合 (1)
题型二：二项式定理 (2)
题型三：简单的随机抽样 (4)
题型四：用样本数字特征估计总体 (4)
题型五：相关关系与回归分析 (6)
题型六：独立性检验 (6)
题型七：事件与概率 (6)
题型八：随机变量的分布列 (10)
题型一：计数原理与排列组合
一、填空题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第13题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第题)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
3．(2018年高考数学浙江卷·第16题)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个
没有重复数字的四位数．(用数字作答)
4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。

(用数字填写答案)
5．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有
个(用数字作答)．
6．(2014高考数学北京理科·第13题)把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有种．
7．(2015高考数学广东理科·第12题)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。

(用数字做答)
8．(2017年高考数学天津理科·第14题)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个．(用数字作答)
9．(2017年高考数学上海(文理科)·第6题)若排列数6654m P =⨯⨯,则m =________．
10．(2015高考数学上海理科·第8题)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要
求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示)．
11．(2014高考数学浙江理科·第14题)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8
张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种(用数字作答)．
12．(2017年高考数学浙江文理科·第16题)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)
题型二：二项式定理
一、填空题
1．(2023年天津卷·第11题)在6
312x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．2．(2021年高考浙江卷·第13题)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.
3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第14题)262()x x
+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．4．(2020年浙江省高考数学试卷·第12题)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；
a 1+a 2+a 3=________．
5．(2022新高考全国I 卷·第13题)81()y x y x ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)．
6．(2021高考天津·第11题)在6312x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．(2021高考北京·第11题)在341()x x -的展开式中，常数项为__________．
8．(2020天津高考·第11题)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 的系数是_________．9．(2019·浙江·第13题)在二项式9)x +的展开式中，常数项是
，系数为有理数的项的个
数是．10．(2019·天津·理·第10题)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项为．
11．(2019·上海·第4题)已知二项式()521x +，则展开式中含2x 项的系数为________.
12．(2018年高考数学浙江卷·第14题)二项式81)2x +的展开式的常数项是．13．(2018年高考数学上海·第3题)在()71x +的二项展开式中，2x 项的系数为．14．(2018年高考数学天津(理)·第10题)在5(
x 的展开式中，2x 的系数为
．
15．7x
⎛ ⎝
的二项展开式中x 的系数是(用数字作答)．16．(2014高考数学山东理科·第14题)若26(b ax x +
的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为．17．(2014高考数学课标2理科·第13题)()10x a +的展开式中，x 7的系数为15，则a =________．(用数
字填写答案)18．(2014高考数学课标1理科·第13题)8()()x y x y -+的展开式中27
x y 的系数为________．(用数字填
写答案)19．(2014高考数学大纲理科·第13题)8
⎛⎫的展开式中22x y 的系数为．
20．(2014高考数学安徽理科·第13题)设0a ≠，n 是大于1的自然数，(1n x a
+的展开式为2012n n a a x a x a x ++++ ．若点(,)i i A i a (0,1,2i =)的位置如图所示，则a =．
21．(2015高考数学重庆理科·第12题)53
x ⎛+ ⎝
的展开式中8x 的系数是________(用数字作答)．22．(2015高考数学新课标2理科·第15题)4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，
则a =__________．
23．(2015高考数学天津理科·第12题)在614x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2x 的系数为．24．(2015高考数学四川理科·第11题)在()521x -的展开式中，含2x 的项的系数是________(用数字填写
答案)
25．(2015高考数学上海理科·第11题)在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中，2x 项的系数为．(结果用数值表示)
26．(2015高考数学广东理科·第9题)在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为．
27．(2015高考数学福建理科·第11题)()52x +的展开式中，2x 的系数等于．(用数字作
答)28．(2015高考数学北京理科·第9题)在()52x +的展开式中，3x 的系数为．(用数字作答)
29．(2015高考数学安徽理科·第11题)371(x x +的展开式中5
x 的系数是．(用数字填写答案)
30．(2017年高考数学浙江文理科·第13题)已知多项式32543212345(1)(2)x x x a x a x a x a x a ++=+++++,
则4a =_____,5a =_______．
31．
(2017年高考数学山东理科·第11题)已知()13n x +的展开式中含有2x 项的系数是54,则n =__________．32．(2016高考数学天津理科·第10题)281
()x x -的展开式中7
x 的系数为_____________．(用数字作答)33．(2016高考数学上海理科·第8题)在n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．34．(2016高考数学山东理科·第12题)若25(ax
+
的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =_______．
35．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第14题)5(2x +的展开式中，3x 的系数是．(用数字填写答案)
36．(2016高考数学北京理科·第10题)在6(12)x -的展开式中，2
x 的系数为__________________．(用数
字作答)
二、多选题
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第12题)设正整数010112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则
()A ．()()
2n n ωω=B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()
21n n ω-=题型三：简单的随机抽样
1．(2014高考数学天津理科·第9题)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分
层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_________名学生．2．(2017年高考数学江苏文理科·第3题)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件．
为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取____________件．
题型四：用样本数字特征估计总体
1．(2020江苏高考·第3题)已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____．
2．(2019·全国Ⅱ·理·第13题)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10
个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．
3．(2019·江苏·第5题)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.
4．(2018年高考数学江苏卷·第3题)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5
位裁判打出的分数的平均数为________．
5．(2014高考数学江苏·第6题)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长
(单位cm )，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm ．
/cm
（第6题）6．(2015高考数学湖南理科·第12题)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如
图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是．
7．(2015高考数学江苏文理·第题)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_______．8．(2016高考数学上海理科·第4题)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77则这组数据的中位数是_________(米)．9．(2016高考数学江苏文理科·第4题)已知一组数据4．7，4．8，5．1，5．4，5．5，则该组数据的方
差是．
二、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第9题)有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则
(
)A ．2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数
B ．2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数
C ．2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差
D ．2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差
2．(2021年新高考Ⅰ卷·第9题)有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，
n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则()
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样数据的样本极差相同
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第9题)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是
()
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
乙都入选的概率为____________．
2．(2021高考天津·第14题)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，
则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为5
6和
1
5，且每次
活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
3．(2020天津高考·第13题)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13
．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．4．(2023年天津卷·第13题)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三
个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
5．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第15题)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面
的概率为________．
6．(2020江苏高考·第4题)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5
的概率是_____．
7．(2019·上海·第10题)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率
是_______.
8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学
中至少有1名女同学的概率是.
9．(2018年高考数学江苏卷·第6题)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，
则恰好选中2名女生的概率为．
10．(2018年高考数学上海·第9题)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克
砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是．
11．(2014高考数学上海理科·第10题)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进
行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________(结果用最简分数表示)．
12．(2014高考数学辽宁理科·第14题)正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物
线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是．
13．(2014高考数学江西理科·第13题)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件
次品的概率是________．
14．(2014高考数学广东理科·第11题)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位
数是6的概率为
15．(2014高考数学江苏·第4题)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积
为6的概率是．
16．(2014高考数学福建理科·第14题)如图，在边长为的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的
概率为________．
17．(2015高考数学福建理科·第13题)如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数
()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．
18．(2015高考数学江苏文理·第5题)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2
只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______．
19．(2017年高考数学上海(文理科)·第13题)已知四个函数:①y x =-;②1y x =-
;③3y x =;④1
2y x =．从中任选2个,则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________．
20．(2017年高考数学江苏文理科·第7题)记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机
取一个数x ,则x D ∈的概率是________．
21．(2016高考数学上海理科·第14题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中
心，()0,11A ．任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是．
22．(2016高考数学山东理科·第14题)在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆
22(5)9x y -+=相交”发生的概率为．
23．(2016高考数学江苏文理科·第7题)将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点
为正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．
二、多选题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第题)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1
的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．
()
A ．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2
(1)(1)αβ--B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2
(1)ββ-C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23
(1)(1)βββ-+-D ．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
题型八：随机变量的分布列
1．(2020年浙江省高考数学试卷·第16题)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，
不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．
2．(2022年浙江省高考数学试题·第15题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7
张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，
()E ξ=_________．
3．(2015高考数学广东理科·第13题)已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()30E X =，()20D X =，
则p =．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第15题)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该
队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．
5．(2021年高考浙江卷·第15题)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红
球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为
16，一红一黄的概率为13
，则m n -=___________，()E ξ=___________．6．(2022新高考全国II 卷·第13题)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ
，且(2 2.5)0.36P X <≤=，
则( 2.5)P X >=____________．7．(2014高考数学浙江理科·第12题)随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==
，()1E ξ=，则()D ξ=________．
8．
(2014高考数学上海理科·第13题)某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为_____________．9．(2015高考数学上海理科·第12题)赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的
卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1．4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-=(元)．
10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一
件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =．
11．(2016高考数学四川理科·第12题)同时抛掷两枚质地均匀的两枚硬币，当至少一枚硬币正面向上时，
就说明实验成功，则在2次实验中成功次数X 的均值是______．
二、多选题
1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第9题)下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是
()
A ．样本12,,,n x x x 的标准差
B ．样本12,,,n x x x 的中位数
C ．样本12,,,n x x x 的极差
D ．样本12,,,n x x x 的平均数2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第12题)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能
的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n
i i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵
21()log n i i i H X p p ==-∑．
()
A ．若n =1，则H (X )=0
B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大
C ．若1(1,2,,)i p i n n
== ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )。