2022年广东省佛山市禅城区初三一模数学试题含答案解析

2022年广东省佛山市禅城区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．0.01B．1
C．﹣999D．0.01
1000
【答案】C
【解析】
【分析】
有理数比较大小，正数大于零大于负数；
【详解】
解：有理数比较大小，正数大于零大于负数；所以最小得数为﹣999；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查有理数大小的比较，掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．
2．数据8900000用科学记数法可以表示为（ ）
A．8.9×106B．89×105C．0.89×107D．8.9×105
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
解：8900000=8.9×106．
故选：A．
【点睛】
本题考查科学记数法，熟练掌握该知识点是解题关键．
3．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（ ）
A．两点之间线段最短B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】
人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．4．下列运算正确的是（）
A．x5−x3=x2B．(x+2)2=x2+4C．(m2n)3=m5n3D．3x2
y÷3xy=x
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方和积的乘方法则，对各选项分析判断后求解．
【详解】
解：A、x5−x3不能合并，故选项错误；
B、(x+2)2=x2+4+4x，故选项错误；
C、(m2n)3=m6n3，故选项错误；
D、3x2y÷3xy=x，故选项正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．如图是正方体的一种不完整的表面展开图．下面是四位同学补画的情况(图中的阴影部分)，其中补画正确的是()
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：A、正方体的展开图，A选项组成正方体；
B、出现“U”字的，不能组成正方体，B错；
C、由两个面重合，不能组成正方体，C错．
D、四个方格形成的“田”字的，不能组成正方体，D错．
故选A．
【点睛】
本题考查了展开图折叠成几何体，需记住正方体的展开图形式：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种,只要有“田”字格的展开图都不是正方体的展开图．
6．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以B．带1、4或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、2或2、4去就可以了
【答案】C
【解析】
【分析】
带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，没有完整边，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形．即可得出答案
【详解】
解：带1、3去，只有两角，没有完整边不能确定三角形，带1、2或2、3去，只有一角，不能确定三角形，带2、4去，有一角，可以延长边还原出原三角形，带3、4可以用“角边角”确定三角形，带1、4可以用“角边角”确定三角形，所以A、B、D不符合题意，C符合题，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．
7．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是()
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
设白球的个数为x，利用概率公式即可求得.
【详解】
设白球的个数为x，
由题意得，从14个红球和x 个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3，则利用概率公式得：x 14+x =0.3，
解得：x =6，
经检验，x=6是原方程的根，
故选：B.
【点睛】
本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.8．
>1≤1 的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式13x ≤1，得：x ≤3，
∴不等式组的解集为1＜x ≤3，
∴不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示：
．
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．如图，⊙O 中，半径OC ＝2，弦AB 垂直平分OC ，则
AB 的长是（ ）
A ．3
B ．4
C ．23
D ．43
【答案】C
【解析】
【分析】根据AB 垂直平分OC 可知OE =12OC ，由勾股定理即可得到AE ，从而得到AB 的长；
【详解】
如图；连接OA
由圆的性质可知，OA =OC =2
∵AB 垂直平分OC
∴OE =12OC =12×2=1根据勾股定理，
AE =OA 2−OE 2=22−12=3
由垂径定理可知AE =BE
∴AB =2AE =23
【点睛】
本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理等相关知识是解题的关键．
10．如图，点A 是反比例函数y ＝k x （x ＜0）的图象上的一点，点B 在x 轴的负半轴上且AO ＝AB ，若△ABO 的面积为4，则k 的值为（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】
过点A作AM⊥x轴于点M，先利用等腰三角形的性质得到OM=BM，设出点A的坐标为(a，b)，则则AM=b，OM=BM=−a，利用△ABO的面积等于4即可求解．
【详解】
解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示，
∵AO=AB，
∴OM=BM，
设点A的坐标为(a，b)，则AM=b，OM=BM=−a，
∴OB=−2a，
∵△ABO的面积为4，
OB·AM=4，
∴1
2
×(−2a)×b=4，
即1
2
∴ab=−4，
(x＜0)的图象上，
∵点A(a，b)在反比例函数y＝k
x
∴k=ab=−4，
故选：D
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂
线，这一点和垂足以及与原点构成的三角形的面积等于1
2
|k|．
11．已知：实数a、b满足a2+a＝b2+b＝3，则1
a +1
b
的值是（ ）
A．1
3B．﹣1
3
C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知a、b是方程x2＋x＝3的两根，∴a＋b＝−1，ab＝−3，
∴原式＝1
a +1
b
=a+b
ab
=−1
−3
=1
3
，
故选：A．
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．
12．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出适当的辅助线，证得ΔAOB≌ΔCDA，即可建立y与x的函数关系，确定出答案．【详解】
解：过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠AOB=90°，
∴∠CDA=∠AOB，∠OBA+∠OAB=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠OAB=90° ，
∴∠CAD=∠OBA，
又∵AB=AC，
∴ΔAOB≌ΔCDA(AAS)，
∴DA=OB=x，
∴y=OD=DA+OA=x+1，
又∵点B是x轴正半轴上的一动点，
∴x＞0，
故选：A.
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象问题，解题的关键是明确题意，建立函数关系，从而判断出正确的函数图象．
二、填空题
13．因式分解：3x2−12=________．
【答案】3(x+2)(x−2)
【解析】
【分析】
首先提取公因式x，进而利用平方差公式进行分解即可；
【详解】
解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)；
故正确答案为：3(x+2)(x−2)
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
14．若a、b为实数，且满足|a+5|+2−b＝0，则b﹣a的值为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据绝对值和算数平方根的非负性求出a和b的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵|a+5|+2−b＝0，且|a+5|≥0，2−b≥0，
∴|a+5|=0，2−b=0．
∴a=-5，b=2．
∴b−a=2−(−5)=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了绝对值和算数平方根的非负性，熟练掌握这些知识点是解题关键．15．如图，小明利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是 _____cm2．（结果用含π的式子表示）
【答案】400π
【分析】
圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥底面半径为10cm ，
∴圆锥底面圆的周长为2πr =2π×10=20πcm ，
∴扇形纸片的弧长l =20π，
∴圆锥的侧面积=12lR =12
×20π×40=400πcm 2．故答案为：400π
【点睛】
本题考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式是解题的关键．16．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝5，P 是CD 边上的一个动点，当△ADP 与△BCP 相似，但不全等时，DP 的长度是 _____．
【答案】1或4．
【解析】
【分析】
需要分类讨论：△APD ∽△PBC 和△PAD ∽△PBC ，根据相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度，舍去不合题意的情况即可．
【详解】
解：①当△APD ∽△PBC 时，AD PC =PD BC ，即25−PD =
PD 2，
解得：PD ＝1或PD ＝4；
②当△PAD ∽△PBC 时，AD BC =PD PC ，即22=PD 5−PD ，
解得：DP ＝2.5，
∴PC ＝2.5，即DP ＝PC ，
∵∠D ＝∠C ，AD ＝BC ，
∴△PAD ≌△PBC ，此情况舍去；
综上所述，DP 的长度是1或4．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．
17．若关于x的分式方程x−2
x−1＝mx
1−x
有正整数解，则整数m为 _____．
【答案】0
【解析】
【分析】
先解分式方程，再根据有正整数解及分母不为0进行求解即可．
【详解】
方程两边同乘(x−1)，得x−2=−mx
解得x=2
m+1
∵分式方程有正整数解
∴x>0即2
m+1
>0
∴m>−1
∵x−1≠0
∴x≠1
即2
m+1
≠1
∴m≠1
∴m=0
故答案为：0．
【点睛】
本题考查解分式方程及分式方程正整数根的情况，注意分母不等于0是解题的关键．18．如图，正方形ABCD是边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF．有下列结论：①AE＝EF；②CF＝2BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为1
6
．其中正确的是 _____（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】
在AB 上取点H ，使AH =EC ，连接EH ，然后证明△AGE 和△ECF 全等，再利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】
解：在AB 上取点H ，使AH =EC ，连接EH ，
∵∠HAE +∠AEB =90°，∠CEF +∠AEB =90°，
∴∠HAE =∠CEF ，
又∵AH =CE ，
∴BH =BE ，
∴∠AHE =135°，
∵CF 是正方形外角的平分线，
∴∠ECF =135°，
∴∠AHE =∠ECF ，
在△AHE 和△ECF 中，
∠HAE ＝∠CEF AH ＝EC ∠AHE ＝∠ECF
，∴△AHE ≌△ECF （ASA ），
∴AE =EF ，EH =CF ，
∴①说法符合题意，
∴EH =2BE ，
∴CF =2BE ，
∴②说法符合题意，
∵∠AHE =135°，
∴∠HAE +∠AEH =45°，
又∵AE =EF ，
∴∠EAF =45°，
∴∠HAE +∠DAF =45°，
∴∠AEH =∠DAF ，
∵∠AEH =∠EFC ，
∴∠DAF =∠EFC ，
∴③说法不符合题意，
∵△AHE ≌△ECF ，
∴S △AHE =S △CEF ，
设AH =x ，则S △AHE ＝12•x •(1−x )＝−12x 2+12x =−12(x−12)2+18，∴当x =12时，S △AHE 取最大值为18
，∴④说法不合题意，
故答案为①②．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的应用，关键是要能作出辅助线EG ，构造出全等的三角形，要牢记全等三角形的性质．
三、解答题
19．计算：12cos60°+|2﹣3|﹣（7﹣5）0+（12
）﹣1．【答案】3
【解析】
【分析】
原式第一项利用二次根式计算、特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的性质计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用负整数指数幂计算，即可得到结果．
+2−3−1+2=3．
解：原式=23×1
2
【点睛】
本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂、绝对值的性质四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
20．如图，在▱ABCD中，AD＞AB．
(1)尺规作图：作DC边的中垂线MN，交AD边于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接EC，若∠BAD＝130°，求∠AEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠AEC=100°
【解析】
【分析】
（1）分别与C、D为圆心，以大于二分之一CD长为半径，画弧，连接两焦点即可；（2）根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求解；
(1)
如图：
(2)
在▱ABCD中
∵∠BAD＝130°；∠BAD+∠ADC=180°
∴∠ADC=50°
由线段垂直平分线的性质可知，ED=EC
∴∠ADC=∠ECD=50°
∴∠AEC=∠ADC+∠ECD=50°+50°=100°
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
21．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某校举行了主题为“垃圾分类，人人有责”的知识测试活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为及格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①七年级20名学生的测试成绩：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6
②七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示：
年级平均数众数中位数8分及以上人数所占百分比
七年级7.5a745%
八年级7.58b c
③八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)在上述表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
(2)你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握垃圾分类知识的情况较好？请说明理由（一条即可）；
(3)八年级测试成绩前四名学生分别是甲、乙（女）、丙（女）、丁，校德育处将他们随机分成两组，分别去两个社区进行宣讲垃圾分类知识，请用列表法或画树状图法求两个女生恰好分在同一组的概率．
【答案】(1)7，7.5，50%；
(2)八年级学生掌握垃圾分类知识较好，因为八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃圾分类知识较好；（本题答案不唯一，理由只要合理即可）
(3)1
．
6
【解析】
【分析】
(1)根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以得到a，b，c的值；
(2)根据统计表中的数据，可以得到该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好，然后说明理由即可，注意本题答案不唯一，理由只要合理即可；
(3)画树状图得出所有等可能的情况数，找出两个女生恰好分在同一组的情况数，即可求出所求的概率．
(1)
解：∵七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，其中，7出现的次数最多，
∴a=7，
由条形统计图可得，b=(7+8)÷2=7.5，c=(5+2+3)÷20×100%=50%，
故答案为：7，7.5，50%；
(2)
解：八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由如下：
八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，
故八年级学生掌握垃圾分类知识较好；（注意本题答案不唯一，理由只要合理即可）(3)
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中，两个女生恰好分在同一组的结果有2种，
∴P(两个女生恰好分在同一组)=2
12=1
6
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A的结果数，然后利用概率公式计算事件A的概率．
22．如图，⊙O的直径AB＝23，点C为⊙O上一点，CF为⊙O的切线，OE⊥AB于点O，分别交AC，CF于D，E两点．
(1)求证：ED＝EC；
(2)若∠A＝30°，求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和．
(2)π−3
4
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质定理确定∠OCA+ACF=90°，根据等边对等角确定
∠OAC=∠OCA，根据OE⊥AB确定∠OAC+∠ODA=90°，根据对顶角的性质确定
∠ODA=∠EDC，结合等价代换思想可以确定∠ACF=∠EDC，再根据等角对等边可证ED=EC．
（2）根据⊙O的直径求出OC和OB的长度，根据∠A的度数求出BOC的度数，根据锐角三角函数和扇形面积公式分别求出CG的长度和扇形OBC的面积，根据三角形面积公式求出△OBC的面积，进而求出点C右侧阴影部分的面积．根据OE⊥AB可以求出∠COE的度数，根据锐角三角函数和扇形面积公式分别求出CE的长度和扇形OCH 的面积，根据三角形面积公式求出△OCE的面积，进而求出点C左侧阴影部分的面积，最后两部分阴影面积相加即可．
(1)
证明：如下图所示，连接OC．
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF．
∴∠OCF=90°．
∴∠OCA+ACF=90°．
∵OA和OC是⊙O的半径，
∴OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠OAC+∠ACF=90°．
∵OE⊥AB，
∴∠EOA=90°．
∴∠ODA =∠ACF ．
∵∠ODA =∠EDC ，
∴∠ACF =∠EDC ．
∴ED =EC ．
(2)
解：如下图所示，过点C 作CG ⊥OB 于点G ，设线段OE 与⊙O 交于点H ．∵⊙O 的直径AB =23，OC ，OB 是⊙O 的半径，
∴OC =OB =3．
∵∠A 和∠BOC 分别是BC 所对的圆周角和圆心角，∠A =30°，
∴∠BOC =2∠A =60°．
∴CG =OC ×sin ∠BOC =32
，S 扇OBC π
2．∴S △OBC =12OB ⋅CG =334．∴点C 右侧的阴影面积S 右=S 扇OBC -S △OBC =π2−33
4．∵OE ⊥AB ，
∴∠EOB =90°．
∴∠COE =∠EOB -∠BOC =30°．
∴CE =OC ×tan ∠COE =1，S 扇OCH =
π4．∴S △OCE =12OC ⋅OE =32．
∴点C 左侧的阴影面积S 左=S △OCE -S 扇OCH =
3
2−π4．∴图中两处阴影部分的面积之和S 阴=π−34．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理，圆周角定理，扇形面积公式，解直角三角形，综合应用这些知识点是解题关键．
方向以1个单位/秒的速度运动，点F 从C 点出发沿CA 方向以2个单位/秒的速度运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．
(1)求证：四边形ABCD 是菱形；
(2)若对角线BD ＝6，当t 为多少秒时，△AEF 为等腰三角形；
(3)如图2，若∠BAD ＝60°，点G 是DE 是中点，作GH ⊥DE 交AC 于H ．点E 在AB 边上运动过程中，线段GH 存在最小值，请你直接写出这个最小值．
【答案】(1)见解析
(2)t=83或6421或209
(3)32【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义可得出∠BAC =∠DAC =∠ACD ，由等腰三角形的判定可得出AD =DC ，根据菱形的判定定理可得出结论；
（2）可分三种情况：①当FA =FE 时，②当AE =AF 时，③当EA =EF 时，由等腰三角形的性质可求出答案；
（3）过点H 作HM ⊥AB 于点M ，过点H 作HN ⊥AD 于点N ，连接DH ，EH ，BH ，证明Rt △DHN ≌Rt △EHM （HL ），由全等三角形的性质得出∠DHN =∠EHM ，可求出∠DEH =30°，由直角三角形的性质得出GH =33GE =3
6DE ．则可得出答案．(1)
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠BAC =∠ACD ，
∵AC 平分∠BAD ，
∴∠BAC =∠DAC =∠ACD ，
∴AD =CD ，
∴四边形ABCD 是菱形；
(2)
设AB 与CD 相交于点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，AB =6，∠B =120°，
∴AC ⊥BD ，BO =12BD =3，OA =OC ，∴Rt △AOB 中，OA =AB 2−OB 2=52−32=4，
∴AC =8， cos ∠OAB =OA OB =45，∵点E 从A 点出发沿AB 方向以1个单位/秒的速度运动，点F 从C 点出发沿CA 方向以2个单位/秒的速度运动，
∴AE =t ，AF =8-2t ，
若△AEF 为等腰三角形，分如下三种情况：
①若FA =FE ，
则t =8-2t ，解得：t =83；
②若AE =AF ，如图3，过点F 作FM ⊥AB ，
则AM =12AE =12t ，
∴cos ∠OAB = cos ∠FAM =
AM AF =12t 8−2t =45，解得：t =6421，
③若EA =EF ，如图4，过点E 作EN ⊥AC ，
则AN =12AF =8-t ，
∴cos ∠OAB = cos ∠NAE =AN AE =4−t t =45，
解得：t =209，
∴当t=83或6421或209秒时，△AEF 为等腰三角形；
(3)
过点H 作HM ⊥AB 于点M ，过点H 作HN ⊥AD 于点N ，连接DH ，EH ，BH ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BH =DH ，∠DAC =∠BAC ，
∴HN =HM ，
∵GH 是线段DE 的中垂线，
∴DH =EH ，
∴BH =DH =EH ，
在Rt △DHN 和Rt △EHM 中，
DH =EH HN =HM ，
∴Rt △DHN ≌Rt △EHM （HL ），
∴∠DHN =∠EHM ，
∴∠DHE =∠DHN +∠NHE =∠NHE +∠EHM =360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠DEH =30°，
∴GH =33GE =3
6DE ．当DE ⊥AB 时，此时DE 有最小值是33，即GH 的最小值为
36×33=3
2．∴线段GH 的最小最小值为32
．【点睛】本题为四边形综合题，考查了菱形的判定与性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24．函数y ＝1
4x 2+bx +c 图象交x 轴于A ，B 两点（点A 在左侧）、交y 轴交于点C ．已知：OB ＝2OA ，点F 的坐标为（0，2），△AFB ≌△ACB ．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上点P 在第一象限，当∠OCB ＝2∠PCB 时，求点P 的坐标；
(3)抛物线上的点D 在第一象限内，过点D 作直线DE ⊥x 轴于点E ，当7OE ＝20DE 时，直接写出点D 的坐标；若点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y =14x 2−12x−2
(2)(4+25，5+35)
(3)点D 的坐标为(5，74
)；存在，M 的坐标为(0，-2）【解析】
【分析】
(1)利用函数图象的性质与△AFB ≌△ACB ，可以判断点F 与点C 关于x 轴对称，A ，B 两点在y 轴异侧，得到点C 坐标，设出设A (−t ，0)，B (2t ，0)，t ＞0，利用待定系数法即可求解；
(2)先根据勾股定理求得CB 的长，在射线CF 上截取CH =CB ，连接BH ，取BH 的中点G ，连接CE 并延长交抛物线于点P ，此时满足∠OCB ＝2∠PCB ，利用中点坐标公式求得点G 的坐标为(2，5−1)，再利用待定系数法求得直线CG 的解析式，与抛物线的解析式联立方程组即可求得点P 的坐标；
(3)先根据题意求得点D 的坐标，根据题意存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平
行四边形，且只有以线段BD 为平行四边形的边时一种情况，理由全等三角形即可证得结论．
(1)
解：∵点F 的坐标为（0，2），△AFB ≌△ACB ，函数图象与y 轴交于点C ，∴点F 与点C 关于x 轴对称，A ，B 两点在y 轴异侧，
∴点C 的坐标为（0，-2），
∵OB ＝2OA ，
∴设A (−t ，0)，B (2t ，0)，t ＞0，
由题意得，
×(−t )2−bt +c =0(2t )2+2bt +c =0c =−2 ，解得t =2b =−12c =−2
，∴A (−2，0)，B (4，0)，抛物线解析式为y =14x 2−12x−2；
(2)
解：∵点C 的坐标为（0，-2），B (4，0)，
∴OC =2，OB =4，
∴CB =OB 2+OC 2=25，
在射线CF 上截取CH =CB ，连接BH ，取BH 的中点G ，连接CE 并延长交抛物线于点P ，此时满足∠OCB ＝2∠PCB ，则OH =CH−OC =25−2，
∴点H 的坐标为(0，25−2)，
由中点坐标公式可得点G 的坐标为(2，5−1)，设直线CG 的解析式为y =mx +n ，
∵直线过点G (2，5−1)和点C (0，-2），
∴可得2m +n =5−1n =−2 ，解得m =5+12n =−2
，∴直线CG 的解析式为y =
5+12x−2，由题意得，y =14x 2−12x−2
y =5+12x−2
，解得x 1=0，x 2=4+25，当x 1=0时，y 1=−2；
当x 2=4+25时，y 2
=5+12×4+=5+35，
∴点P 的坐标为(4+25，5+35)
(3)
解：如图所示，
∵7OE ＝20DE ，
∴设OE =20a ，DE =7a ，a ＞0
∴点D 的坐标为(20a ，7a )，
∴14×(20a )2−12×20a−2=7a ，
解得a =14或a =−225（舍去）
∴点D 的坐标为(5，74)；
存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．
理由为：显然，以线段BD 为对角线的平行四边形不存在；只有以线段BD 为边的平行四边形，如图所示，过点M 作MQ ⊥NQ ，抛物线的对称轴直线为x =1，
∵BD ∥MN ，
∴∠BDN+∠DNM=180°，
即∠BDN+∠DNQ+∠MNQ=180°，
∵NQ∥DE，
∴∠EDN+∠DNQ=180°，
即∠DNQ+∠BDE+∠BDN=180°，
∴∠MNQ=∠BDE，
又∵BD=MN，∠MQN=∠BED=90°，
∴ΔMQN≌ΔBED(AAS)，
∴MQ=BE=1，
∵点C(0，-2）到对称轴直线x=1的距离也是1，
∴点M与点C(0，-2）重合，
故点M的坐标为(0，-2）．
【点睛】
本题是一道有关二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和性质，一次函数的解析式求法，勾股定理，全等三角形的判定和性质等．。