2012届新课标数学考点预测(13)圆锥曲线与方程

2012届新课标数学考点预测（13）
圆锥曲线与方程
一、考点介绍
1.椭圆的定义：
第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率.
4.双曲线的定义：
第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e叫做双曲线的离心率.
5.双曲线的标准方程及其几何性质：
6.双曲线知识网络
7.抛物线的定义:
平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在l上).定点F叫做抛
物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.
9.抛物线知识网络
10.方程的曲线和曲线的方程
在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程0)(=y x f ，的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 11. 圆锥曲线综合问题
⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定
直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.
直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、
0∆=、0∆<.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为
1122(,),(,)
A x y
B x y ,则它的弦长
12AB x =-==上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为
1212()
y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则
12
AB y y =-.
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围. 二、高考真题
1. （2006年北京卷，文科，19）
椭圆C:2
21(0)a b a b +=>>的两个焦点为F1,F2,点P 在椭圆C 上，且11212414
,||
,||.
33PF F F PF PF ⊥==
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.
〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c 的值即可，（Ⅱ）可以设出A 、B 点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 〖答案〗解法一：
(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6
221=+=PF PF a ，a=3.
在Rt △PF1F2中，,
522
1
2
221=-=PF PF F F 故椭圆的半焦距c=5,
从而b2=a2－c2=4,
所以椭圆C 的方程为
492
2y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C 的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.
所以.29491822
221-=++-=+k k
k x x
解得
98=
k ，
所以直线l 的方程为
,1)2(98
++=
x y
即8x-9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意) 解法二： (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1≠x2且
1 ,14911=+ ①
,1492
22
2=+y
x
②
由①－②得
.
04)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x
③
因为A 、B 关于点M 对称，
所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得
2
121x x y y --＝98，
即直线l 的斜率为98
，
所以直线l 的方程为y －1＝98
（x+2），
即8x －9y+25=0.
(经检验，所求直线方程符合题意.) 2．（2007年上海卷，文科，21）
我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c x b y (0)x ≤合成的曲线称作“果
圆”，其中2
22c b a +=，0>a ，0>>c b ．
如图，设点
F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与，y 轴的交
点，M 是线段21A A 的中点．
（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；
（2）设P 是“果圆”的半椭圆122
2
2=+c x b y
(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，
P 在点12B B ，或1A 处；
（3）若P 是“果圆”上任意一点，求
PM
取得最小值时点P 的横坐标．
〖解析〗（1）求出两个半椭圆的方程即可得到“果圆”的方程，（2）由两点间的距离公式表示出PM 的长，根据二次函数的性质即可求出最小值，（3）思路同（2），只需分两种情况讨论即可. 〖答案〗（1）
(
(
012(0)00F c F F -，，，，，
021211
F F b F F ∴
===，，
于是
222237
44c a b c ==+=
，， 所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，224
1(0)
3y x x +=≤． （2）设()P x y ，
，则 2
2
22||y
c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
22
222()1()0
4
b a
c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤，
0122
<-c b ，∴ 2
||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．
即当
PM
取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．
（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22
221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22
221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22
221(0)x y x a b +=≥上的情形即可．
2
2
22||y
c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
22222
2
2
222
4)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．
当22()
2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在22
2)(c c a a x -=时取到，
此时P 的横坐标是2
22)
(c c a a -．
当a c c a a x >-=2
22)
(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小
值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．
综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)
(c c a a -；若c a 2>，
当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -． 3．（2007年山东卷，理科，21）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
〖解析〗（Ⅰ）由已知易求出a ，c 的值，即得椭圆方程，（Ⅱ）由待定系数法设出直线方程，联立椭圆方程后由1-=BD AD k k 可以得到关于k 和m 的方程，求出满足0>∆的k 和m 的关系式后即可得到过定点的直线方程.
〖答案〗(I)由题意设椭圆的标准方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===
22
1.43x y ∴+=
(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
143y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.
212122284(3)
,.
3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++
222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),
D 1
AD BD k k ⋅=-，
12121
22y y
x x ∴
⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，
2222223(4)4(3)1640
343434m k m mk
k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得
1222,7k
m k m =-=-
，且满足22340k m +->.
当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当
27k m =-
时，2:()7l y k x =-，直线过定点2
(,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).
7
4．（2008年湖南卷，文科，19）
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F ，且两条准线间的距离为)4(>λλ. （I ）求椭圆的方程；
（II ）若存在过点A （1，0）的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上， 求λ的取值范围.
〖解析〗（I ）椭圆方程由a ，b ，c 的关系易得，（II ）设出直线l 的方程，求出点F 关于直线
l 的对称点，代入椭圆方程解关于λ的不等式组即得λ的取值范围.
〖答案〗（I ）设椭圆的方程为22
221(0).x y a b a b +=>>
由条件知2,c =且2
2,a c λ=所以2,a λ=222 4.b a c λ=-=-
故椭圆的方程是2
21(4).
4x y λλλ+=>-
（II ）依题意, 直线l 的斜率存在且不为0,记为k ,则直线l 的方程是(1).y k x =-
设点(20)F ，
关于直线l 的对称点为00(),
F x '，y 则
0002(1)2212
y x k y
k x +⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=--⎪⎩， 解得
02022121x k k y k ⎧
=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩， 因为点00()F x '，y 在椭圆上，所以22
2222()()
11 1.
4k k k λλ+++=-即
422(4)2(6)(4)0.k k λλλλλ-+-+-=
设2
,k t =则22(4)2(6)(4)0.t t λλλλλ-+-+-=
因为4,λ>所以2
(4)0.
(4)λλλ->-于是,
当且仅当23[2(6)](4)()2(6)
0.
(4)λλλλλλλλ⎧∆=--⎪
*-⎨->⎪-⎩-4，
上述方程存在正实根,即直线l 存在.
解()*得16,34 6.λλ⎧
≤⎪
⎨⎪<<⎩所以16
4.3λ<≤
即λ的取值范围是
16
4.3λ<≤
5. （2008年辽宁卷，文科，21） 在平面直角坐标系xOy 中，点P
到两点(0-，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨
迹为C ．
（Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时
AB
的值是多
少？ 〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义易得，（Ⅱ）设出A ，B 两点的坐标后由一元二次方程根与系数
关系求出
1212
2223
44k x x x x k k +=-
=-++，，再由向量的坐标运算求出k 值，最后由弦长
公式可以求出
AB
的值.
〖答案〗（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0-，为焦点，
长半轴为2
的椭圆．它的短半轴
1b ==，
故曲线C 的方程为2
2
1
4y x +=．
4分
（Ⅱ）设
1122()()
A x y
B x y ，，，，其坐标满足
2
214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩，消去y 并整理得
22(4)230k x kx ++-=， 故
1212
2223
44k x x x x k k +=-
=-++，． 6分
OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2
121212()1y y k x x k x x =+++，
于是
22212122222
33241
14444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以
1
2k =±
时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥．
8分
当
12k =±
时，12417x x +=，1212
17x x =-．
(AB x ==
而22212112()()4x x x x x x -=+-2322443413
4171717⨯⨯=+⨯=，
所以
465
17AB =
．
6．（2008年山东卷，文科，22）
已知曲线11(0)x y
C a b a b +=>>：
所围成的封闭图形的面积为
曲线1C
的内切圆半径为．记2C 为以曲线1C
与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
（Ⅰ）求椭圆
2
C 的标准方程；
（Ⅱ）设AB 是过椭圆
2
C 中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．
M 是l 上异于椭圆中心的点．
（1）若
MO OA
λ=（O 为坐标原点），当点A 在椭圆
2
C 上运动时，
求点M 的轨迹方程； （2）若M 是l 与椭圆
2
C 的交点，求AMB △的面积的最小值．
〖解析〗（Ⅰ）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a ，b 的方程组， 曲线1
C 与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然
2
C 为焦点在x 轴的椭圆；
（Ⅱ）（1）设出AB 的方程(0)y kx k =≠，()A A A x y ，，()
M x y ，，联立直线与椭圆得到
方程组后，由
(0)
MO OA λλ=≠可得M 的轨迹方程，注意0k =或不存在时所得方程仍
然成立；（2）由直线l 的方程：1y x k =-
和椭圆方程联立后表示出22
2
14
AMB S AB OM
=△由不等式放缩即可求出最小值.
〖答案〗
（Ⅰ）由题意得23
ab ⎧=⎪
⎨=又0a b >>，解得25a =，24b =．
因此所求椭圆的标准方程为22
154x y +=．
（Ⅱ）（1）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为
(0)y kx k =≠，()A A A x y ，．
解方程组22
154x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩，，得2
2
2045A x k =+，
2222045A k y k =+， 所以
222
2
222
2202020(1)454545A
A
k k OA x y k k k +=+=+=+++． 设()M x y ，，由题意知
(0)
MO OA λλ=≠，
所以222MO OA λ=，即
2
2
2
2
220(1)45k x y k λ++=+， 因为l 是AB 的垂直平分线，所以直线l 的方程为
1y x
k =-，即x k y =-， 因此2222
2222222
2
20120()4545x y x y x y x y x y λλ⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭+==++，
又220x y +≠，所以222
5420x y λ+=，故22
245x y λ+=．
又当0k =或不存在时，上式仍然成立．
综上所述，M 的轨迹方程为22
2(0)45x y λλ+=≠．
（2）当k 存在且0k ≠时，由（1）得
2
2
2045A
x k =+，22
22045A k y k =+， 由22
1541x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，，解得
2222054M k x k =+，222054M
y k =+， 所以22
2
2220(1)45A
A
k OA x y k +=+=+，222280(1)445k AB OA k +==+，22
2
20(1)54k OM k +=+．
解法一：由于
2
2
2
14
AMB
S
AB OM =△2222180(1)20(1)44554k k k k ++=⨯⨯++
22
22400(1)(45)(54)
k k k +=
++22
2
22400(1)45542k k k +⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥
2
2222
1600(1)4081(1)9k k +⎛⎫
== ⎪+⎝⎭，
当且仅当22
4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，
此时AMB △面积的最小值是
409AMB S =
△．
当0k =
，
140
229AMB S =⨯=>
△． 当k
不存在时，
140429AMB S ==>
△． 综上所述，AMB △的面积的最小值为40
9．
解法二：因为
2
2
2222
1111
20(1)20(1)4554k k OA
OM
k k +
=
+++++22
245549
20(1)20k k k +++==+， 又
2
2
1
12
OA OM
OA
OM
+
≥，
40
9OA OM ≥
，
当且仅当22
4554k k +=+时等号成立，即1k =±时等号成立，
此时AMB △面积的最小值是
409AMB S =
△．
当0k
=
，
140
229AMB S =⨯=>
△． 当k
不存在时，
140429AMB S ==>
△． 综上所述，AMB △的面积的最小值为40
9．
7．（2008年广东卷，文科，20）
设0b >，椭圆方程为22
2212x y b b +=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切
线经过椭圆的右焦点
1
F ．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
〖解析〗（1）由已知可求出G 点的坐标，从而求出抛物线在点G 的切线方程，进而求出
1
F 点的坐标，由椭圆方程也可以求出
1
F 点的坐
标，从而求出1b =，得出椭圆方程和抛物线方程；（2）以PAB ∠为直角和以PBA ∠为直角的直角三角形显然各一个，以APB ∠为直角的直角三角形是否存在可以转化成0=⋅PB PA 对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的P 点的个数. 〖答案〗（1）由2
8()x y b =-得
2
18y x b =
+，
当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，
1
'4y x =
，4'|1x y ==，
过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-， 令0y =得2x b =-，
1
F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得
1
F 点的坐标为(,0)b ，
2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2
212x y +=和2
8(1)x y =-；
（2）过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，
同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。

若以APB ∠为直角，设P 点坐标为21
(,1)8x x +，A 、B
两点的坐标分别为(
和，
22242
1152(1)10
8644PA PB x x x x =-++=+-=。

关于2
x 的二次方程有一大于零的解，x ∴有两解，即以APB ∠为直角的Rt ABP ∆有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP ∆为直角三角形。

三、名校试题
1．（山东省潍坊市2008届高三5月教学质量检测，理科，21） 已知实数m>1，定点A （－m ，0），B （m ，0），S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积
为.12
m -
（1）求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线； （2）当2=
m 时，问t 取何值时，直线)0(02:>=+-t t y x l 与曲线C 有且只有一个交
点？
（3）在（2）的条件下，证明：直线l 上横坐标小于2的点P 到点（1，0）的距离与到直线x=2的距离之比的最小值等于曲线C 的离心率. 〖解析〗（1）由题易得动点S 的轨迹C 为椭圆，注意要除去x 轴上的两项点；（2）联立直线与椭圆方程，由0=∆即可求得t 值，注意0>t ；（3）由两点间的距离公式和点到直线的距离公式表示出两距离之比，转化成求关于a 的函数)(a f 的最小值问题，利用导函数即可解之.
〖答案〗（1）设
m x y k m x y k y x S SB SA --=+-=
,0),,(则.
由题意得).(1,12
2
22222m x y m x m m x y ±≠=+-=-即
∵m>1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去x 轴上的两项点），
其中长轴长为2m ，短轴长为2.
（2）当m=2时，曲线C 的方程为).
2.(1222
±≠=+x y x
由.02289,12,
022
22
2=-++⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-t tx x y y x t y x 得消去
令
.3,0,3,0)1(236642
2=∴>±==-⨯-=∆t t t t t 得
错误!不能通过编辑域代
码创建对象。

此时直线l 与曲线C 有且只有一个公共点. （3）直线l 方程为2x －y+3=0. 设点1),2)(32,(d a a a P <+表示P 到点（1，0）的距离，d2表示P 到直线x=2的距离，
则
,2,10105)32()1(22
221a d a a a a d -=++=++-=
,)2(2252101052
2221-++⋅=-++=∴a a a a a a d d
令,)2(22)(2
2-++=a a a a f
则
.)2()
86()2()2)(22(2)2)(22()(3
422-+-=--++--+='a a a a a a a a a f
令
.
34
0)(-=='a a f 得
,22
,22)34(5)(
,
,34
)(.
0)(,23
4
;0)(,34min 2121的离心率为又椭圆取得最小值即时取得最小值在时当时当C f d d d d a a f a f a a f a =-⋅=∴-=∴>'<<-<'-<
∴
2
1d d 的最小值等于椭圆的离心率.
2．（山东省烟台市2008届高三5月适应性练习，理科，21）
如图，在平面直角坐标系中，N 为圆A 16)1(:2
2=++y x 上的一动点，点B （1，0），点
M
是BN 中点，点P 在线段AN 上，且.0=⋅ （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）试判断以PB 为直径的圆与圆
422=+y x 的位置关系，并说明理由。

〖解析〗（1）由垂直平分线的性质和椭圆定义易求；（2）设出
)
,(00y x P ，由中点坐标公式
可得以PB 为直径的圆的圆心
)2,21(
00y x Q +，进而求出半径,41
101x r -=又圆4
22=+y x
的圆心为O （0，0），半径,22=r 比较圆心距||OQ 与21r r ，的大小关系即可. 〖答案〗（1）由点M 是BN 中点，又,0=⋅BN MP
可知PM 垂直平分BN ，所以|,||||||,|||AN PN PA PB PN =+=又 所以|PA|+|PB|=4
由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆.
设椭圆方程为,122
2
2=+b y a x
由.3,4,22,422
2====b a c a 可得
可知动点P 的轨迹方程为.1342
2=+y x
（2）解：设点
),2,21(
,),,(0
000y x Q Q PB y x P +则的中点为
2
002
020*******)1(||x x x y x PB -
++-=+-=
,21242410020x x x -=+-=
即以PB 为直径的圆的圆心为
)2,21(
0y x Q +，
半径为
,41
101x r -
=
又圆42
2=+y x 的圆心为O （0，0），半径,22=r
又
2020)2()21(
||y
x OQ ++=
)433(414121412
0020x x x -+++=
121
161020++=
x x ,
4110x +=
故,||12r r OQ -=即两圆相切.
3．（宁夏银川一中2008届高三年级第五次月考测试，理科，21）
已知直线)
0(1122
22>>=++-=b a b y a x x y 与椭圆相交于A 、B 两点.
（1）若椭圆的离心率为33
，焦距为2，求线段AB 的长；
（2）若向量OB OA 与向量互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率
]
22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值.
〖解析〗（1）由已知条件易求椭圆的标准方程，再由弦长公式即可求得线段AB 的长；（2）由向量OB OA 与向量互相垂直可以设),(),,(2211y x B y x A 从而转化成坐标运算，求出
a b ，的关系，进而用离心率e 表示a ，再由]
22
,21[∈e ，求出2a 的范围即求出长轴长的
最大值.
〖答案〗（1）
2,1,3,22,33
22=-===∴==
c a b c a c e 则，
1
232
2=+∴y x 椭圆的方程为，
联立),,(),,(,0365:,1,123
221122
2y x B y x A x x y x y y x 设得消去=--⎪⎩⎪⎨⎧+-==+
则
53
,562121-==
+x x x x
53
8512)56(24)(])1(1[||2212212=
+=-+⋅-+=∴x x x x AB ，
（2）设),(),,(2211y x B y x A ，
,0)1(2)(1,1,
0,0,22222222
222121=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧+-==+
=+=⋅∴⊥b a x a x b a y x y b y a x y y x x 得消去由即
由
1,0)1)((4)2(22222222>+>-+--=∆b a b b a a a 整理得，
,01)(2:,0,1)()1)(1(,
)
1(,221212121212121212
2222122221=++-=+++-=+-+-=∴+-=+=+x x x x y y x x x x x x x x y y b a b a x x b a a x x 得由又 0
12)1(22222222=++-+-∴b a a b a b a ，
,311137,21134,43121,2141,2221),111(21,1112,,02:2
222
2
2222222222222≤-+≤∴≤-≤∴≤-≤∴≤≤∴≤≤-+=∴-+
=-=-==-+e e e e e e
a e a e a a c a
b b a b a 代入上式得整理得
1,23
67222>+≤≤∴
b a a 适合条件，
由此得,62342
,26642≤≤∴≤≤a a
故长轴长的最大值为.6
4．（广东省实验中学2008届高三第三次模拟考试，理科，20）
已知抛物线x2=－y ，直线L ：(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m ∈R 且m ≠－1)与抛物线交于A ，B 两 点.
（1） 当m=0时，试用x,y 的不等式组表示由直线L 和抛物线围成的封闭图形所在平面区域(包边界) ,并求该区域的面积.
（2）求证：对任意不为零的实数m ，抛物线的顶点都在以线段AB 为直径的圆C 上；并求圆
C 的圆心的轨迹方程.
（3）将抛物线x2=－y 的图像按向量a =（4，16）移动后得到函数y=f(x)的图像，若
,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象有且只有两
个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
〖解析〗（1）所要表示的平面区域包括边界，要注意不等式取等号，由定积分即可求出相应 的面积，计算时可以整体代入；
（2）证明抛物线的顶点在以线段AB 为直径的圆C 上，即证明0OA OB ⋅=，圆C 的圆心的
轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得；
（3）构造函数
2
()()()86ln x g x f x x x x m ϕ=-=-++，因为0x >，所以y=f （x ）的图
象与y=g （x ）的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数()x ϕ有两个正零点的 问题，要对()x ϕ的单调性进行讨论，从而求出使得()x ϕ由两个正零点的m 的取值范围. 〖
答
案
〗
()
()
()()()()[]
()61313129310131x x 23x x x x 31x x |x 23x 3x dx
13x x S 1349x x 1,x x ,3x x *x x *013x x 0
13x y x y ,x x ),y ,x (B ),y ,x A ;0
13x y 0
x y ,013x y :L 0m 12
12122112x x 23x x 21221212122
122211221
2
1
=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫
⎝⎛+++-+--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=++-=∴=+=--==+=--⎩⎨⎧=++-=>⎩⎨
⎧≥++≤+=++=⎰所求区域面积的两解，即为方程、则得则由不妨（设对应的不等式组为故所求区域的方程为时，直线当()()()1
2x y ,1-2x y 1
2
k 2x 2x x x 2x x 2y y y ,2k 2x x x y),
x, AB 00AB 0.11x x x x y y x x ,
1x x ,k x x x ,x ,01kx x 1kx y x y )
y ,x
(B ),y ,x (A ,1kx y L ,1
m 3m k 2222212
212
22
121212
212121212121212222
1
1
--=-=--=-+-=+-=+=-=+=∴=+-=+=+=⋅∴-=-=+=-+⎩⎨⎧-=-=-=+-=为即所求的圆心轨迹方程得则为（为直径的圆的圆心坐标设以）
，恒过抛物线顶点（为直径的圆
以则为其两解，方程有解，且得：由设的方程为则直线令（3）依题意，f(x)=-x2+8x,令
.ln 68)()()(2
m x x x x f x g x ++-=-=ϕ 因为x ＞0，要使函数f （x ）与函数g （x ）有且仅有2个不同的交点，则函数
m x x x x ++-=ln 68)(2ϕ的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
)
0()
3)(1(2682682)(2'
>--=+-=+-=∴x x x x x x x x x x ϕ
当x ∈（0，1）时，)(,0)('x x ϕϕ>是增函数； 当x ∈（1，3）时，)(,0)('x x ϕϕ<是减函数 当x ∈（3，+∞）时，)(,0)('
x x ϕϕ>是增函数 当x=1或x=3时，0)('=x ϕ
∴;7)1()(-=m x ϕϕ极大值为
153ln 6)3()(-+=m x ϕϕ极小值为
又因为当x →0时，-∞→)(x ϕ 当+∞→+∞→)(x x ϕ时，
所以要使0)(=x ϕ有且仅有两个不同的正根，必须且只须
⎩⎨⎧>=⎩⎨⎧<=0)1(0)3(0)3(0)1('
ϕϕϕϕ或
即⎩⎨⎧>-=-+⎩⎨
⎧<-+=-070
153ln 60153ln 607m m m m 或
∴m=7或.3ln 615-=m
∴当m=7或.3ln 615-=m 时，函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有两个不同交点. 5．（福建省莆田四中2008届5月份第二次模拟考试，理科，21）
已知O 为坐标原点，点E 、F
的坐标分别为( ，点A 、N 满足
|AE
|=，
1
2ON =
（OA +OF ），过点N 且垂直于AF 的直线交线段AE 于点M ，
设点M 的轨迹为C . （1）求轨迹C 的方程；
（2）设直线的l ：(1)(0)y k x k =+≠与轨迹C 交于不同的两点R 、S ，对点(1,0)B 和向
量(3,3)a k =-，求BR BS ⋅2
||a -取最大值时直线l 的方程.
〖解析〗（1）由椭圆的定义易得点M 的轨迹C 的方程；（2）设出R 、S 两点的坐标后转化
成向量的坐标运算，进而由不等式放缩得到BR BS ⋅2
||a -取最大值时k 的值，即得到直线
l 的方程.
〖答案〗(1)∵＝1
2(＋)，∴N 为AF 的中点
∴||＝||∴||＋||＝||＋||＞||
∴点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点的椭圆 ∵长半轴a ＝3，半焦距c ＝ 2 ∴b2＝a2－c2＝1
∴点M 的轨迹C 的方程为x2
3
＋y2＝1
(2)将y ＝k(x ＋1)(k ≠0)代入椭圆C ：x2
3＋y2＝1中，整理得
(1＋3k2)x2＋6k2x ＋3k2－3＝0 设R(x3，y3)、S(x4，y4)
则x3＋x4＝－6k2
1＋3k2，x3x4＝3k2－31＋3k2
所以y3y4＝k2(x3＋1)(x4＋1)＝k2(x3＋x4＋x3x4＋1)＝－2k2
1＋3k2
∴2
||BR BS a ⋅-＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4－3－9k2
＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4－3－9k2＝3k2－31＋3k2＋6k21＋3k2＋1－2k21＋3k2－3－9k2
＝10k2－21＋3k2－3－9k2＝103－[16
31＋3k2＋3(1＋3k2)]≤103－2×4＝－14
3
当且仅当16
31＋3k2＝3(1＋3k2)，即k2＝1
9∈(0，1)时等号成立
此时，直线l 的方程为y ＝±1
3
(x ＋1)
6. （山东省文登市2009届高三第三次月考试题，理科，21）
过点()2,4A --作倾斜角为4π
的直线，交抛物线E ：()2
20y px p =>于M N ，两点，且
||||||AM MN AN ，，成等比数列。

⑴求E 的方程；⑵过点1,02P ⎛⎫
⎪
⎝⎭的直线l 与曲线E 交于
,A B 两点。

设1,12Q ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭，QA 与QB 的夹角为θ，
求证：02π
θ<≤。

〖解析〗⑴设
()()
1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线的方程
后根据一元二次方程根与系数关系可得到关于p 的方程，解之即得
E 的方程；⑵法一：要证
02π
θ<≤
，只需证明0≥⋅即可.
法二：根据“以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切”这一性质分两种情况讨论即可得证.
〖答案〗⑴设
()()
1122,,,M x y N x y ，则由题:2MN y x =-，由2
22y x y px =-⎧⎨=⎩
得2240y py p --=，故121224y y p y y p +=-=-，。

又
根
据
2
||||
||A M A N M N ⋅=可
得()()()2
121
244y y y y ++=-，即
()()
2
1
212125416y y y y y y +++=+，代入可得
2340
p p +-=，解得1p =（舍负）。

故E
的方程为
2
2y x =； ⑵法一：设1
:2l x my =+
，代入22y x =得2
210y my --=，故121221y y m y y +==-，，
从而
()()()()()()2212121212111111210
22QA QB x x y y m y y m y y m ⎛
⎫⎛⎫⋅=+++--=++-++=-≥ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，因此
02π
θ<≤
法二：显然点P 是抛物线E 的焦点，点Q 是其准线L 上一点。

设C 为AB 的中点，过,,A B C
分别作L 的垂线，垂足分别为
111
,,A B C ，则
()()11111222AB
CC AA BB AP BP =
+=+=。

因此以AB 为直径的圆与准线L 相切（于点
1
C ）。

若Q 与
1
C 重合，则
2π
θ=。

否则点Q 在
1
C 外，因此
02π
θ<<。

综上知
02π
θ<≤。

7. （江苏省盐城一中、大丰中学、建湖中学2009届高三第二次调研考试， 21）
抛物线22y px =的准线的方程为2-=x ，该抛物线上的每个点到准线2-=x 的距离都与到
定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆， （Ⅰ）求定点N 的坐标；
（Ⅱ）是否存在一条直线l 同时满足下列条件：
① l 分别与直线21l l 和交于A 、B 两点，且AB 中点为)1,4(E ； ② l 被圆N 截得的弦长为2． 〖解析〗（1）由抛物线的定义易得；
（2）假设存在直线l ，设出直线l 的方程为)4(1-=-x k y ，()1±≠k .
方法1：由弦心距的长为1求出k 的值，然后检验是否符合AB 中点为)1,4(E 这个条件； 方法2：将直线21l l 和的方程分别与直线l 的方程联立，求出A 、B 两点的坐标，再由中点坐标公式求出k 的值，最后检验弦心距的长是否为1；
方法3：设出A 点的坐标为),(a a ，由中点坐标公式和B 点在2l 上，求出a 的值，进而求出直线l 的斜率，最后检验弦心距的长是否为1.
〖答案〗（1）因为抛物线
px y 22
=的准线的方程为2-=x 所以4=p ，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点， 所以定点N 的坐标为)0,2(
（2）假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在， 设l 的方程为)4(1-=-x k y ，()1±≠k
以N 为圆心，同时与直线x y l x y l -==::21和 相切的圆N 的半径为2， 方法1：因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，
即
1
1122
=+-=
k k d ，解得
34
0或
=k ，
当0=k 时，显然不合AB 中点为)1,4(E 的条件，矛盾！
当
3=
k 时，l 的方程为01334=--y x
由⎩⎨
⎧==--x y y x 01334，解得点A 坐标为()13,13， 由⎩⎨
⎧-==--x y y x 01334，解得点B 坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛-713,7
13， 显然AB 中点不是)1,4(E ，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线l ．
方法2：由⎩⎨
⎧=-=-x y x k y )4(1，解得点A 坐标为⎪⎭⎫
⎝⎛----114,114k k k k ， 由⎩⎨
⎧-=-=-x y x k y )4(1，解得点B 坐标为⎪⎭⎫
⎝
⎛+--+-k k k k 114,114， 因为AB 中点为)1,4(E ，所以8
11
4114=+-+--k k k k ，解得4=k ，
所以l 的方程为0154=--y x ，
圆心N 到直线l 的距离1717
7，
因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线l ． 方法3：假设A 点的坐标为),(a a ，
因为AB 中点为)1,4(E ，所以B 点的坐标为)2,8(a a --， 又点B 在直线x y -=上，所以5=a ， 所以A 点的坐标为)5,5(，直线l 的斜率为4， 所以l 的方程为0154=--y x ，
圆心N 到直线l 的距离1717
7，
因为被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线l ．
8. （辽宁省抚顺一中2009届高三第一次模拟考试，理科，21）
椭圆ax2+by2 =1与直线x+y-1=0相交于A 、B 两点，若|AB|=22，线段AB 的中点为C ，
且OC 的斜率为22
，求椭圆方程.
〖解析〗联立直线与椭圆方程，根据一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式、斜率公式求出a ，b 的关系，再由弦长公式求出a ，b 的值，即得所求椭圆的方程.
〖答案〗⎩
⎨
⎧=-+=+01122y x by ax ∴（a+b ）x2 -2bx+b-1=0
∴
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+-=+=+b a b x x b a b x x 122121 C （b a a
b a b ++,
） KOC =22
∴b=2a ，
代入|AB|=22，即：（1+k2）[（x1+x2）2-4 x1x2]=8
a=31
，b=32
∴椭圆方程为：31
x2+32y2 =1
四、考点预测 （一）文字介绍
圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查，总体上是以知识应用和问题探究为主，一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等. （二）考点预测题
1. （2007年山东高考真题模拟试卷八，理科，22）
椭圆G ：)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的两个焦点F1（－c ，0）、F2（c ，0），M 是椭圆上的
一点，且满足.021=⋅F F （Ⅰ）求离心率e 的取值范围；
（Ⅱ）当离心率e 取得最小值时，点N （0，3）到椭圆上的点的最远距离为).(25i 求此时 椭圆G 的方程；（ⅱ）设斜率为k （k ≠0）的直线l 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q
为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点Q P 、)33
,
0(的直线对称？若能，求出k 的取
值
范围；若不能，请说明理由. 〖答案〗（I ）设M （x0，y0）
1
22
220=+∴∈b y a x G M ①
又
0),(),(0000021=-⋅+∴=⋅y c x y c x F F ②
由②得2
220x c y -=代入①式整理得 )2(22
2
2
c a a x -= 又2
22
2
2
2
)2(00a c a a a x ≤-≤∴≤≤
解得1
0,21
21)(22<<≥≥e e a c 又即 )1,22[
∈∴e
（Ⅱ）（i ）当1
22222
22=+=b y b x G e 方程为：时，设椭圆
设H （x ，y ）为椭圆上一点，则
b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222 若096||,322++-=<<b b HN b y b 有最大值时，
则当 由25350962
±-==++b b b 得（舍去）
若b ≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18 由2b2+18=50得b2=16
∴所求椭圆方程为1
16322
2=+y x
（ii ）设A （x1，y1），B （x2，y2），Q （x0，y0），则由
021*******
32002
2222
121=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+ky x y x y x 两式相减得 ③
又直线PQ ⊥直线l ∴直线PQ 方程为
33
1+-
=x k y
将点Q （x0，y0）代入上式得，
33100+-
=x k y ④
由③④得Q )
33
,3
32(
-k （解1）而Q 点必在椭圆内部 116322
020<+∴y x
由此得
0,247
2≠<
k k 又
29400294<<<<-
∴k k 或 故当
)294
,0()0,294(⋃-
∈k 时A 、B 两点关于点P 、Q 的直线对称.
（解2）∴AB 所在直线方程为
)33
2(33k x k y -=+
由⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+11632)33
2(332
2
y x k x k y 得 032)21(32
)21(334)21(22222=-+++-
+k x k k x k
显然1+2k2≠0
而
]32)21(32
)[21(4)]21(334[22222-++-+-
=∆k k k k
]
32)21(32
)[21(422-++-=k k
直线l 与椭圆有两不同的交点A 、B ∴△＞0
解得
0,247
2≠<
k k 又
29400294<<<<-
∴k k 或
故当
)294
,0()0,294(⋃-
∈k 时，A 、B 两点关于点P 、Q 的直线对称。

（ii ）另解；设直线l 的方程为y=kx+b
由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=116322
2y x b
kx y 得
(*)03224)21(222=-+++b kbx x k
设A （x1，y1），B （x2，y2），Q （x0，y0），则
20
0221021,2122k b
b kx y k bk x x x +=+=+-=+=
③
又直线PQ ⊥直线l ∴直线PQ 方程为
33
1+-
=x k y
将点Q （x0，y0）代入上式得，
33100+-
=x k y ④
将③代入④
)21(33
2k b +-
=⑤
∵x1，x2是（*）的两根
08)21(168)322)(21(4)4(22222≥-+⨯=-+-=∆∴b k b k kb ⑥
⑤代入⑥得
0,247
2≠<
k k 又
∴当
)294,0()0,294(⋃-
∈k 时，A 、B 两点关于点P 、Q 的直线对称
2．（2007年山东高考真题模拟试卷十一，理科，22）
双曲线M 的中心在原点，并以椭圆22
12513x y +=
的焦点为焦点，以抛物线
2
y =-的
准线为右准线.
（Ⅰ）求双曲线M 的方程；
（Ⅱ）设直线l ：3y kx =+ 与双曲线M 相交于A 、B 两点，O 是原点. ① 当k 为何值时，使得OA ∙OB 0=?
② 是否存在这样的实数k ,使A 、B 两点关于直线12+=mx y 对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
〖答案〗（Ⅰ）易知，椭圆22
1
2513x y +=的半焦距为：32=c ，
又抛物线2
y =-的准线为：
23
=
x .
设双曲线M 的方程为1222
2=-b y a x ，依题意有232=c a ， 故
33223
232=⋅==
c a ，又9312222=-=-=a c b .
∴双曲线M 的方程为1932
2=-y x .
（Ⅱ）设直线l 与双曲线M 的交点为),(11y x A 、),(22y x B 两点
联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==-3
193
2
2kx y y x 消去y 得 0186)3(22=++-k x k ，
∵),(11y x A 、),(22y x B 两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴032≠-k ∴
018)3(4)6(2
2>⨯--=∆k k 66<<-⇔k ，从而有 36221--
=+k k x x ，318
22
1-=k x x .
又311+=kx y ，322+=kx y
∴9
93183189)(3)3)(3(22
2221212
2121=+---=+++=++=k k k k x x k x x k kx kx y y .
① 若∙
0=，则有 02121=+y y x x ，即09318
2=+-k
112
±=⇒=⇒k k .
∴当1±=k 时，使得∙0=.
② 若存在实数k ,使A 、B 两点关于直线12+=mx y 对称，则必有 m k 1-
=，
因此，当m=0时，不存在满足条件的k ；
当0≠m 时，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=-939322222
121y x y x 得
0)()(322212221=---y y x x 321212121=++⋅--⇒
x x y y x x y y 32121=++⋅⇒x x y y k
2322
121x x y y k +=+⋅⇒ ∵A 、B 中点
)2,2(
2
121y y x x P ++在直线12+=mx y 上，
∴6222
121++=+x x m y y 代入上式得
23622
1
21x x k x x km +=++⋅
12+；又1-=km ， ∴k x x 621=+
将
36221--
=+k k
x x 代入并注意到0≠k ，得 222
±=⇒=k k .
∴当0≠m 时，存在实数2±=k ，使A 、B 两点关于直线12+=mx y 对称. 3．（2008年山东卷，理科，22）
如图，设抛物线方程为
2
2(0),x py p M =>为直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为,.A B （I ）求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列； （II ）已知当M 点的坐标为()2,2p -
时，AB =求此时
抛物线的方程；
（III ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛
物线2
2(0)x py p =>上，其中点C 满足OC OA OB =+（O 为
坐标原点）。

若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。

〖答案〗（I ）证明：由题意设
211(,)2x A x p ，2
2
2(,)
2x B x p ，12,x x <0(,2).M x p -
22x py =，2/,,
2x x y y p p == 12,,MA MB x x
k k p p ∴=
=
1
020:2();:2();
x MA y p x x p x
MB y p x x p +=
-+=-
22
112210202(),2(),22x x x x p x x p x x p p p p +=-+=-
12
120120,2,2x x x x x x x x +=+-+=
所以,,A M B 三点的横坐标成等差数列。

（II ）解：由（I ）知，22
1122122(2),2(2),
22x x x x p x p x p p p p +=-+=- 222
21122440,440,
x x p x x p --=--=
所以
12
,x x 是方程
22
440x x p --=的两根， 212124,4,
x x x x p +==-
2
2
2101221222,2AB
x x x x x p p k x x p p p -
+====-
AB ===1p =或 2.p =
因此所求抛物线方程为22x y =或2
4.x y =
（III ）解：设
33(,),
D x y 由题意得
1212(,)
C x x y y ++，则C
D 中点坐标为
123123
(
,).22x x x y y y Q ++++
设直线AB 的方程为
，)(10
1x x p x y y -=
-
)2,2(321321y y y x x x Q ++++与)2,2(2
121y y x x R ++都在AB 上，代入得303
x p x y =.
若
)
(33y x D ，在抛物线上，则，或，0333032
3
2022x x x x x py x ====即
)
2,2()0,0(2
00p x
x D D 或.
1）当.
)2,0(0200210适合题意，点时，p M x x x x -==+=
2）当
时，
00≠x
（1）对于
.
422)2,2()0,0(0222102
2
212
2
210px x x x p
x x k p x x x C D CD
+=+=+，，
2
2
22122
22
102
22
104,144p x x p x x px x x p x k k CD
AB -=+-=+=+⋅=矛盾.
（2）对于
2002(2,)x D x p ，22
12
0(2,)
2x x C x p +，则CD 与y 轴平行，而0,AB k ≠直线,CD AB 不垂直矛盾。

综上可知，仅存在一点(0,2)M p -适合题意.。