22.1二次根式

x0
（5） m 32
（1）（3）（4）（5）
知识点二 二次根式内字母的取值范围
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 2 1 1 2a
3 a 32
a≥-1
a 1 2
a为一切实数
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零(二次根式有意义)； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2
8 8 3 3
2
2 3 12
2
3
2 3

6
x xy 2 x3 y
2、练习
1
1
2
2
2 1
2 x 12 (x 0) x 1
3 x2 2xy y2 (x y) x y2
yx
( a)2与 a2有区别吗?
1、下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12,
(4) - m(m≤0),
( 5 ) x y(x,y 异号) ，
( 6) a2 1 , ( 7 ) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
2、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
， ⑵ 16
（3） a2 2a 2 ，（4） x
例题讲解
计算：
(1)( 1.5 )2
(2)(2 5 )2
解：(1)( 1.5)2 1.5
(2)(2 5)2 22 ( 5)2 45 20
1、练习
计算： ( 10 )2 (3 3)2 解： ( 10 )2 (3 3)2
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3)
4x2x为全体实数 (4)
1
x0
x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
二次根式内字母的取值范围拓展训练
例1、已知y 2 x x 2 5,则 y ;
解：由已知可知： 2x
a叫被开方数
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
a (a 0)
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
总结：三类非负数
(a)2 0 a 0
a 0
知识点一 二次根式的判定
变式3、如果 (1 x)2 (x 2)2 (x 1) (x 2)， 则x的取值范围是_______ .
二次根式的非负数性质、因式分解及配方法
例2、已知 a 1 3 b (2c 1)2 0，则abc ____.
变式1、已知 x y 3与 x y 3互为相反数， 求xy的值.
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
化简下列各式:
(1)(3 2)2 (2 3)2 (2) (5)2 ( 5)2 (3) m2 16m 64(m 8) (4) a2b2 (a 0,b 0)
九年级数学上册
22.1 二次根式
复习
(1)什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则
这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a a (a≥0)
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 aa (a≥0)表示。

x 2

0 0
x
解得：x=2
把x=2代入已知式子得：y=5
所以 y 5 x2
变式1.若y 3x 6 6 3x x3，则10x 2 y
的平方根是 ±6 ；
变式3、已知x，y为实数，y x2 4 4 x2 1， x2
则3x 4 y的值等于_______.
5、已知：x2 y 2
y 2x 2 0，
求x、y的值.
变式7、化简：x 1 ______. x
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
知识回顾
1.计算：
（1）（ 5）2
，（2）（ 2）2 3
（3）（ 19）2
（4） （ 7）2
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a≤0)
归纳
形 如5，a, a b, ab, s , x2 , 3, a (a≥ 0 )
（5）112 2.化简：
（6）（13）2
（1）（x 1）2 (x 1)
（2） (a 3)2 (a 3)
（3）若 x2 x,则x的取值范围是
；
（4）计算：（1）（3 6）2
（2）（ 2）2 3
( 2009年河南省)实数p在数轴上的位
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为____________.
如图所示的值表示正方形的面
积，则正方形的边长是 b 3
b-3
a2 2500
s

b3
你认为所方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
知识回顾
1.下列各式是二次根式的是
（1） 4 （2） 6 （3） 5 （4） x2 4x 5
（5） (a 2)4 （6） 2 5
(7) a
(8)3 9
2.当x
时， x 3有意义；
3.当x
时， x 2 有意义； x5
4.当 7 有意义时， x的取值范围是
；
x 1
1.若 a 2 2b 7 =0，则 a 2b =__3___。
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1你能求出a+b 的值
吗？ 由已知可得:a=1, b 1 所以a b 3
2
2
3、已知 1有意义,那A(a, a )在 第二 象限.
a
4、2+√3-x的最小值为＿2＿，此时x的值为＿＿3。
5.已知：a b 6与 a b 8 互为相反数，求：a、b、ba的值。
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根。
50米 ?米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
探究
22 2
02 0
0.12 0.1

2
2



2
3 3
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
例题讲解
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解： (1) 8 22 2 2 2
(2) (5)2 52 5
练习
1、计算：
2
探究
2 2 2
2
4 4
2
17 17

1 3
2

1 3
2 0 0
2是2的 算 术 平 方 根 ， 根 据 算术 平 方 根 的 意 义 ， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（2）2 2
知识点三 二次根式的性质
一般地，
( a )2 a（a≥0）
变式2、已知 x2 y2 6x 4 y 13 0，求x3 y 的平方根.
变式3、已知a、b是实数，且a2 4a b2 2b 5 0， 求 (1 ab)2的值.
变式
4、化简：4x2 12x 9 4x2 20x 25
(x 5 ) 2
变式