结构力学(拱结构)
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江苏大学本科生课程课件
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
江苏大学土木工程与力学学院
第四章 静定拱
概述 4.1 1、拱结构的定义 赵州桥 拱结构：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下， 支座产生水平推力的结构。 世界上最古老的石拱桥。被誉为桥梁 鼻祖，是世界第十二个土木工程里程碑。
拱结构的组成
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解：研究整体
y x
C
f
A
B
l/2
q
l/2
M（x）
y
MB 0
VA
ql2 2
研究AC
MC 0
HA
ql2 8f
任一截面的弯矩 ：
M x
ql ql2 x
qx2 y
0
2 8f 2
ql2/(8f)
A x
ql/2
整理后，可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
3、注意左半拱截面的方向角为正，右半拱截
（4-3）面的方向M1角 M为10 负 H。y1 由式（4-4） Q1 Q10 cos1
H
7 sin
2 1 1 22 61.75 2
1 (7 1 2) 0.8 6
1.5kN m 0.6 0.4kN
（4-5）
N1
N10
sin 1
H
cos1
HA0 = 0 A VA0
P1 K
C
P2 此 作时 为B ，结构H 。H 1f [VA，l1 故P1瞬(l1 变a1体)] 系不能
2x、K 荷载与跨度一定时VB，0 水 MC0 VAl1 P1(l1 a1)
平等推代力梁与计矢算高简成图反比。
H MC0
（4-2）
f
三铰力计算
4.2
三铰拱的内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法;
二、拱通常受压力，所以计算拱时 规定轴力以受压为正; .
三、实际计算时常将拱与相应等代梁对 比通过公式列表完成计算。 .
三铰拱的内力计算
四、竖向荷载作用下三铰拱计算公式的建立
1、支座反力计算
a1
b1
a2
b2
MB 0
VA
1 l
(P1b1
P2b2
)
HA
y
P1 K
φK
P2
A 1与x、K其三等铰yK代拱Cf 梁的的竖反向B力反相力HB
等 ， 水 平x反 力 与 拱 轴
V线A 形l1 状无关l2； VB
MA 0
VB
1 l (P1a1
P2a2
)
V
A
VB
VA0 VB0
（4-1）
l
X 0: HA HB H
三铰拱计算简图 当 f MC时V，Al1结 P构1(l1为a瞬1) 变H体f 系0 ，
y
4f l2
l xx
谢谢各位专家 评委给予指导
谢谢大家！
江苏大学理学院土木工 程系
(VA P1)sinK HcosK QK0 VA0 P1 VA P1
NK QK0 sinK HcosK （4-5）
三铰拱的内力计算
例4-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴方程为
H=6kN
q= 1kN/m
P=4kN
y
2
3
45
C
6
1
4m
7
A0
x
8×2=16m
8 B H =6kN
VA =7kN
6 sin1
qlsin1
1
M1
44 162
(16
2)
2
1.75m
6 cos1 6kN
712sin、、1。计拱0算 轴2原 线m 理 方仍 程Q然 主1 是 要截 用ta面 于n法 确14； 定ldd2fyx截xl1面22xm1的 位146置146及16其 2 2 0.75
法7 cos线1 方7向kN，从而确定截1 面 3上6 52的，,剪si力n1和 0轴.6 力, 方cos向1 ；0.8
2、拱结构的组成
拱结构的种类
3、拱结构的种类
静定拱
超静定拱
三铰拱
静定拱
无铰拱
带拉杆的三铰拱
两铰拱
超静定拱 静定拱
高差h
斜拱
拱结构的特点
4、拱结构的特点
1、弯矩比相应等代梁小； 2、用料省、自重轻、跨度大； 3、可用抗压性能强的工程材料； 4、造型美观，艺术表现力强； 5、构造复杂，施工费用高。
f
q
l
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
B l/2
M 0 1 qlx 1 qx 2 1 qx(l x)
2
2
2
推力H为：
H
M
0 C
ql2
f 8f
令：
MK
M
0 K
H yK
0
可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
B
y
M0 H
1 qx(l 2
ql2
x)
4f l2
(l
x)x
ql/2
8f
合理拱轴
解法2：
轴力图绘制
竖向荷载作用下拱结构的受力特点 2、拱截面上的轴力较大，且一般为压力； 3、总体来看，拱比梁更能发挥材料的作用， 适合较大的跨度和较重的荷载，便于利用 抗压性能好而抗拉性能差的材料。
三铰拱的内力计算
表4-1：三铰拱各截面内力计算表 内力计算时，常通过公式、列表完成
合理拱轴
五、 合理拱轴的概念
HA A
QK0 VA0 P1 VA P1
VA
P1
HA0 = 0 A
KC
P2
B
QK QK0 cosK HsinK
4、轴力计算
（4-4）
可V用A0 抗xK压性能强的工VB程0 材 NK VAsinK P1sinK HcosK
料，计P1算时M0K常通过公式、 列V表A0 完成QK计0 算。
(7
1
2) 0.6
6
0.8
7.8kN
三铰拱的内力计算
3、内力图 绘制
弯矩图绘制
三铰拱的内力计算
弯矩图绘制 等代梁弯矩图 水平推力引起的弯矩图 竖向荷载作用下拱结构的受力特点 1、三铰拱与对应的等代梁相比，弯矩要小得多， 其原因是水平推力的存在所致；
三铰拱的内力计算
剪力图绘制
三铰拱的内力计算
1、合理拱轴的概念
?
定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而
弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
2、合理拱轴的确定
写出任一截面的弯矩表达式，令其等于零即可确定合 理拱轴。
合理拱轴
例 4-2 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求 其合理拱轴线。
y x
A l/2
A x
ql/2
q C
VB=5kN
y
4f l2
(l
x)x
解： 1、计算支座反力
2、计算各截面内力
VA
VA0
1812 4 4 16
7kN
VB
VB0
18 4 16
4 12
5kN
H MC0 58 4 4 6kN
f
4
三铰拱的内力计算
2、计算各截面内力
截面1
ql
qlcos1
x1 2m 4f
N1 y1 l 2 (l x1 )x1
a2
K
HA A
φK yK f
xK
x
VA
P1 KMK NK
Pb2 2
B
VB
2、弯矩计算
MK [VA xK P1(xK a1 )] H yK
M
0 K
VA0 xK
P1(xK
a1
)
HB
MK
M
0 K
H
yK
（4-3）
3、剪力计算
弯矩比QK相 V应Ac等os代k 梁P1小cosk Hsink
QK
(VA P1)cosk Hsink
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
江苏大学土木工程与力学学院
第四章 静定拱
概述 4.1 1、拱结构的定义 赵州桥 拱结构：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下， 支座产生水平推力的结构。 世界上最古老的石拱桥。被誉为桥梁 鼻祖，是世界第十二个土木工程里程碑。
拱结构的组成
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解：研究整体
y x
C
f
A
B
l/2
q
l/2
M（x）
y
MB 0
VA
ql2 2
研究AC
MC 0
HA
ql2 8f
任一截面的弯矩 ：
M x
ql ql2 x
qx2 y
0
2 8f 2
ql2/(8f)
A x
ql/2
整理后，可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
3、注意左半拱截面的方向角为正，右半拱截
（4-3）面的方向M1角 M为10 负 H。y1 由式（4-4） Q1 Q10 cos1
H
7 sin
2 1 1 22 61.75 2
1 (7 1 2) 0.8 6
1.5kN m 0.6 0.4kN
（4-5）
N1
N10
sin 1
H
cos1
HA0 = 0 A VA0
P1 K
C
P2 此 作时 为B ，结构H 。H 1f [VA，l1 故P1瞬(l1 变a1体)] 系不能
2x、K 荷载与跨度一定时VB，0 水 MC0 VAl1 P1(l1 a1)
平等推代力梁与计矢算高简成图反比。
H MC0
（4-2）
f
三铰力计算
4.2
三铰拱的内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法;
二、拱通常受压力，所以计算拱时 规定轴力以受压为正; .
三、实际计算时常将拱与相应等代梁对 比通过公式列表完成计算。 .
三铰拱的内力计算
四、竖向荷载作用下三铰拱计算公式的建立
1、支座反力计算
a1
b1
a2
b2
MB 0
VA
1 l
(P1b1
P2b2
)
HA
y
P1 K
φK
P2
A 1与x、K其三等铰yK代拱Cf 梁的的竖反向B力反相力HB
等 ， 水 平x反 力 与 拱 轴
V线A 形l1 状无关l2； VB
MA 0
VB
1 l (P1a1
P2a2
)
V
A
VB
VA0 VB0
（4-1）
l
X 0: HA HB H
三铰拱计算简图 当 f MC时V，Al1结 P构1(l1为a瞬1) 变H体f 系0 ，
y
4f l2
l xx
谢谢各位专家 评委给予指导
谢谢大家！
江苏大学理学院土木工 程系
(VA P1)sinK HcosK QK0 VA0 P1 VA P1
NK QK0 sinK HcosK （4-5）
三铰拱的内力计算
例4-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴方程为
H=6kN
q= 1kN/m
P=4kN
y
2
3
45
C
6
1
4m
7
A0
x
8×2=16m
8 B H =6kN
VA =7kN
6 sin1
qlsin1
1
M1
44 162
(16
2)
2
1.75m
6 cos1 6kN
712sin、、1。计拱0算 轴2原 线m 理 方仍 程Q然 主1 是 要截 用ta面 于n法 确14； 定ldd2fyx截xl1面22xm1的 位146置146及16其 2 2 0.75
法7 cos线1 方7向kN，从而确定截1 面 3上6 52的，,剪si力n1和 0轴.6 力, 方cos向1 ；0.8
2、拱结构的组成
拱结构的种类
3、拱结构的种类
静定拱
超静定拱
三铰拱
静定拱
无铰拱
带拉杆的三铰拱
两铰拱
超静定拱 静定拱
高差h
斜拱
拱结构的特点
4、拱结构的特点
1、弯矩比相应等代梁小； 2、用料省、自重轻、跨度大； 3、可用抗压性能强的工程材料； 4、造型美观，艺术表现力强； 5、构造复杂，施工费用高。
f
q
l
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
B l/2
M 0 1 qlx 1 qx 2 1 qx(l x)
2
2
2
推力H为：
H
M
0 C
ql2
f 8f
令：
MK
M
0 K
H yK
0
可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
B
y
M0 H
1 qx(l 2
ql2
x)
4f l2
(l
x)x
ql/2
8f
合理拱轴
解法2：
轴力图绘制
竖向荷载作用下拱结构的受力特点 2、拱截面上的轴力较大，且一般为压力； 3、总体来看，拱比梁更能发挥材料的作用， 适合较大的跨度和较重的荷载，便于利用 抗压性能好而抗拉性能差的材料。
三铰拱的内力计算
表4-1：三铰拱各截面内力计算表 内力计算时，常通过公式、列表完成
合理拱轴
五、 合理拱轴的概念
HA A
QK0 VA0 P1 VA P1
VA
P1
HA0 = 0 A
KC
P2
B
QK QK0 cosK HsinK
4、轴力计算
（4-4）
可V用A0 抗xK压性能强的工VB程0 材 NK VAsinK P1sinK HcosK
料，计P1算时M0K常通过公式、 列V表A0 完成QK计0 算。
(7
1
2) 0.6
6
0.8
7.8kN
三铰拱的内力计算
3、内力图 绘制
弯矩图绘制
三铰拱的内力计算
弯矩图绘制 等代梁弯矩图 水平推力引起的弯矩图 竖向荷载作用下拱结构的受力特点 1、三铰拱与对应的等代梁相比，弯矩要小得多， 其原因是水平推力的存在所致；
三铰拱的内力计算
剪力图绘制
三铰拱的内力计算
1、合理拱轴的概念
?
定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而
弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。
2、合理拱轴的确定
写出任一截面的弯矩表达式，令其等于零即可确定合 理拱轴。
合理拱轴
例 4-2 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求 其合理拱轴线。
y x
A l/2
A x
ql/2
q C
VB=5kN
y
4f l2
(l
x)x
解： 1、计算支座反力
2、计算各截面内力
VA
VA0
1812 4 4 16
7kN
VB
VB0
18 4 16
4 12
5kN
H MC0 58 4 4 6kN
f
4
三铰拱的内力计算
2、计算各截面内力
截面1
ql
qlcos1
x1 2m 4f
N1 y1 l 2 (l x1 )x1
a2
K
HA A
φK yK f
xK
x
VA
P1 KMK NK
Pb2 2
B
VB
2、弯矩计算
MK [VA xK P1(xK a1 )] H yK
M
0 K
VA0 xK
P1(xK
a1
)
HB
MK
M
0 K
H
yK
（4-3）
3、剪力计算
弯矩比QK相 V应Ac等os代k 梁P1小cosk Hsink
QK
(VA P1)cosk Hsink